高等数学课件 第8章 无穷级数 第5节

第八章Advancedmathematics无穷级数高等数学第一节无穷级数的概念与性质目录/Contents第八章无穷级数第二节正项级数及其敛散性判别法第三节任意项级数及其敛散性判别法第四节幂级数第五节函数的幂级数展开式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第五节函数的幂级数展开式一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、函数幂级数展开式的应用一、泰勒级数一、泰勒级数一、泰勒级数称为函数在处的泰勒(Taylor)级数．,称为函数的麦克劳林(Maclaurin)级数．,时,则级数当一、泰勒级数设函数在含的某区间内有任意阶导数,则级数定义8.8一般情况下,的泰勒级数未必收敛于,下面定理给出了泰勒级数收敛于的充要条件．的充要条件是

的阶泰勒公式的余项当则函数

在该区间能展开为泰勒级数．时趋于零,即．一、泰勒级数设函数在含的某区间内有任意阶导数,定理8.18．（必要性）由于函数在含的某区间内能展开为泰勒级数,即则,；一、泰勒级数因为函数在含的某区间内有任意阶导数,所以证明（充分性）由于,则,即．一、泰勒级数,,即函数在收敛域内能展开成幂级数,则必为泰勒级数．证明

因为,对其逐项求各阶导数,再令,就得到关系式,,从而定理得证.定理8.18及定理8.19是函数展开为幂级数的理论依据.一、泰勒级数定理8.19是幂级数在其收敛域内的和函数,则设e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第五节函数的幂级数展开式一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、函数幂级数展开式的应用1.

直接展开法将函数展开成的幂级数的步骤如下：（1）求出函数

处的各阶导数,并求值;在二、函数展开成幂级数展开为幂级数

.将函数直接展开法是利用定理8.18及定理8.19,(4)在收敛域内.

(2)

写出幂级数

,并求其收敛半径,确定其收敛域；二、函数展开成幂级数(3)在收敛域内验证;

则在的Taylor级数的幂级数,也即麦克劳林（Maclaurin）级数)为（即,二、函数展开成幂级数解,故因为展成的幂级数(即麦克劳林（Maclaurin）级数).将函数【例1】故其收敛半径,得其收敛区间为.对于内任意有限的数在与间）,余项的绝对值,由于,二、函数展开成幂级数,故,所以,,.二、函数展开成幂级数有限,而级数收敛,由级数收敛的必要条件知因为,,,,,,,,,二、函数展开成幂级数由于,故解展开成麦克劳林（Maclaurin）级数.【例2】将函数,二、函数展开成幂级数则的麦克劳林（Maclaurin）级数为

对于内任意有限的数

在与间）,余项的绝对值

,二、函数展开成幂级数,由于,得其收敛区间.故其收敛半径

,二、函数展开成幂级数收敛,由级数收敛的必要条件知

,而级数,所以

故2.间接展开法间接展开法是利用已知函数的幂级数展开式,通过幂级数的代数运算（加、减）、分析运算（逐项求导、逐项积分）或变量代变换等方法,求函数幂级数展开式的方法.二、函数展开成幂级数上式两边求导,得,,,.二、函数展开成幂级数展开成的幂函数.【例3】将函数

解由于上式两边积分,有

,即.二、函数展开成幂级数展开成麦克劳林级数.【例4】将函数

,

(),解由于

,

().时,有当.二、函数展开成幂级数发散,在点收敛,因此由于上面展开式在点

公式中

换成,得

,,即,即,二、函数展开成幂级数展开成麦克劳林级数.【例5】将函数

,,解由于公式中

换成,得又由于,

(),,(),二、函数展开成幂级数展开成麦克劳林级数.【例6】将函数

,解

因为

由于上面展开式在点

收敛,在点

收敛,因此,

()

.二、函数展开成幂级数

.上式两边积分,有

,

(),即(1)；(2)

.又,

,公式中换成,得

,,

.于是,二、函数展开成幂级数的幂函数.【例7】将下列函数展开成解

(1)因为,（2）因为,又,（）,

,（）,于是,收敛域为,即,（）.二、函数展开成幂级数(1)

,；(2),

.,又,（）,公式中换成,得,（）,二、函数展开成幂级数的幂函数；【例8】将函数下列函数展开成,则,于是解

(1)令

即,（）,所以,（）,即,().二、函数展开成幂级数即

,(

),公式中换成,得

,(

)

,

又

,(

),（2）令,

,于是,二、函数展开成幂级数所以

,（）,即,（）.二、函数展开成幂级数(1)

,

；(2)

,

；(3)

,

；(4)

,（

）；二、函数展开成幂级数3.常用函数的麦克劳林展开式(5)

,（

）；(6)

,（

）；特别：

,（

）；

,（

）；二、函数展开成幂级数e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第五节函数的幂级数展开式一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、函数幂级数展开式的应用

有了函数的幂级数展开式,就可以用它来进行近似计算,即在展开式的有效区间上,函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来．三、函数幂级数展开式的应用公式中令,得

,三、函数幂级数展开式的应用【例9】计算

的近似值,使其误差不超过.解

由于,

,取前5项和作为近似值,

,其误差,

.三、函数幂级数展开式的应用又,（）,公式中令,

,得,三、函数幂级数展开式的应用【例10】计算

的近似值,使其误差不超过.解

由于