高等数学课件 第9章 微分方程 第2节

第九章Advancedmathematics微分方程高等数学第二节一阶微分方程第三节可降阶的二阶微分方程第四节线性微分方程第五节微分方程的经济应用目录/Contents第九章微分方程第一节微分方程的基本概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、齐次微分方程目录/Contents第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程一、可分离变量的微分方程定义9.10形如的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程,

其中与为连续函数.对,

两边不定积分,

设,

分别是,

的一个原函数.,得

那么微分方程这种将微分方程中的变量分离开来,然后求解的方法称为分离变量法.其中为任意常数.一、可分离变量的微分方程的通解为,【例1】求微分方程的通解.解分离变量,两边不定积分故通解为,一、可分离变量的微分方程得,得,

,其中为任意常数.解分离变量,两边不定积分【例2】求微分方程的通解.得通解,或,一、可分离变量的微分方程其中为任意常数.,得,解分离变量,两边不定积分注意

【例3】求微分方程的通解.得,故通解,一、可分离变量的微分方程得,

,其中为任意正常数.这里把积分常数写成是为了便于化简.【例4】求微分方程的通解.一、可分离变量的微分方程解当时,分离变量,得,两边不定积分,即得通解,从而,即,而是任意常数,把它记作,即.其中为任意常数.一、可分离变量的微分方程当时,微分方程成立,即也是微分方程的解,而这个解恰好对应的情形,于是便得微分方程的通解,,【例5】解初值问题一、可分离变量的微分方程解分离变量,得,两边不定积分,得,其中C为任意常数,即得通解.将初值条件代入通解,得C=2,因此,初值问题的解（满足初始条件的特解）为.目录/Contentse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、齐次微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程二、齐次微分方程定义9.11形如的微分方程称为齐次微分方程,简称齐次方程.通过变量代换,可将齐次方程化为可分离变量的微分方程进行求解,即令,由,可得,将其代入微分方程,得,分离变量,得.二、齐次微分方程两边不定积分,得,设为的一个原函数,则得通解,其中为任意常数,将代入上式,即得到齐次方程的通解.【例6】求微分方程的通解.二、齐次微分方程两边不定积分,解令,则,于是原方程变为,即,分离变量,得,得.二、齐次微分方程即,将代入上式,即得原方程的通解为,或,其中为任意常数.【例7】求微分方程的通解.二、齐次微分方程解该微分方程可化为,因此是齐次微分方程.令,则,于是原方程变为,分离变量,得,两边不定积分,得,即,将代入上式,得原方程的通解为,其中C为任意常数.【例8】求微分方程满足的解.二、齐次微分方程分离变量,得,两边不定积分,解该微分方程可化为,因此是齐次微分方程,令,则,于是原方程变为,即,二、齐次微分方程得,即,将代入上式,即得原方程的通解为,将代入通解,得,所以方程满足的特解,所以.目录/Contentse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、齐次微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程当时,称为一阶齐次线性微分方程.当时,称为一阶非齐次线性微分方程.形如的微分方程称为一阶线性微分方程,定义9.12三、一阶线性微分方程其中和为已知的连续函数.方程,

称为对应于非齐次线性微分方程的齐次线性微分方程.三、一阶线性微分方程下面先讨论一阶齐次线性微分方程的通解.得,

上式两边不定积分即三、一阶线性微分方程方程是可分离变量的微分方程,分离变量,得,,这就是一阶齐次线性微分方程其中为任意常数表示的一个原函数.三、一阶线性微分方程（因为也是微分方程的解,所以可为0）,的通解公式,三、一阶线性微分方程将对应的齐次线性微分方程的通解,下面我们用常数变易法来求一阶非齐次线性微分方程的通解.中的常数换为待定的函数,设一阶非齐次线性方程具有如下形式的解.三、一阶线性微分方程求导得,上式两边不定积分,得,其中为任意常数.将上述两式代入方程,并整理得所以,一阶非齐次线性微分方程的通解为三、一阶线性微分方程上面通解可写成上式右端第一项是对应齐次线性微分方程的通解,三、一阶线性微分方程第二项是非齐次线性微分方程的一个特解.由此可见,一阶非齐次线性微分方程的通解,等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解之和.解这是一阶非齐次线性微分方程,由通解公式得故原方程的通解为【例9】求微分方程的通解.三、一阶线性微分方程其中,

,

,其中C为任意常数.,由通解公式得【例10】求微分方程满足初始条件的特解.三、一阶线性微分方程解这是一阶非齐次线性微分方程,其中,,由初始条件,代入通解,得,于是此方程满足初始条件的特解为.【例11】求微分方程的通解.三、一阶线性微分方程其中,它是关于的一阶线性微分方程.解若将看作是的函数,则此方程不是线性微分方程,但若将看作是的函数,方程改写成,故原方程的通解为,由通解公式得三、一阶线性微分方程其中C为任意常数.转化

1.可分离变量方程

,

或,解分离变量方程

.

内容小结可分离变量方程的解法:C

为任意常数.因此,方程除了通解之外,还可能有一些常数解．若存在y0使g(y0)=0,则y=y0也是方程的一个解,将方程分离变量得,

两端分别积分,得得通解,其中G(y)和F(x)分别是和的一个原函数,内容小结2.齐次方程形如的一阶微分方程叫做齐次方程.代入原方程得,分离变量

两边积分,得,

积分后再用代替u,便得原方程的通解.则,令解法:内容小结使得,