高等数学课件 第9章 微分方程 第3节

第九章Advancedmathematics微分方程高等数学第二节一阶微分方程第三节可降阶的二阶微分方程第四节线性微分方程第五节微分方程的经济应用目录/Contents第九章微分方程第一节微分方程的基本概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、型微分方程目录/Contents第三节可降阶的二阶微分方程一、型微分方程三、型微分方程一、

型微分方程这种方程的通解可以经过两次积分得到.上式两边再不定积分,

方程两边不定积分,其中为任意常数.具体做法如下：得得通解形如的微分方程,特点是它的右边是仅含有自变量的函数,【例1】求微分方程的通解.上式两边再不定积分,其中为任意常数.一、型微分方程解方程两边不定积分,得得通解【例2】求的经过(0,1)点,且在此点与直线相切的积分曲线.一、型微分方程解该几何问题可归结为如下的微分方程如下的微分方程初值问题方程两边不定积分,得,由条件故,上式两边再不定积分,得,又由条件,得,故所求曲线为.得,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、型微分方程目录/Contents第三节可降阶的二阶微分方程一、型微分方程三、型微分方程二、型微分方程形如的微分方程.特点是它的右边不显含未知函数.可先求出,再求出.具体做法如下：设,则,代入原方程,得,二、型微分方程关于的一阶微分方程,如果我们求得它的通解为,将代入上式,又得到一个一阶微分方程,上式两边不定积分,得原微分方程的通解为.这是一个【例3】求微分方程

的通解.二、型微分方程解方程不显含,令,则,代入原方程,得,这是一个关于的一阶线性非齐次微分方程,由通解公式得上式两边再不定积分,得原方程的通解为,其中为任意常数.【例4】求解初值问题二、型微分方程解方程不显含,令,则,代入方程得,这是一个可分离变量的微分方程.分离变量,得,二、型微分方程又由条件,得,故所求特解为.由条件,得,故.上式两边再不定积分,得,得,即,上式两边不定积分,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、型微分方程目录/Contents第三节可降阶的二阶微分方程一、型微分方程三、型微分方程形如可先求出,三、型微分方程再求出.具体做法如下：.的微分方程.特点是它的右边不显含自变量三、型微分方程又得到一个可分离变量的一阶微分方程,对它分离变量并不定积分,得原微分方程的通解为.设,则,代入原方程,得,这是一个关于的一阶微分方程,如果我们求得它的通解为,将代入上式,【例5】求微分方程的通解.三、型微分方程解方程不显含,令,则,代入原方程,得,其中是方程的特解,即,即,得,三、型微分方程当时,