高等数学课件 第10章 差分方程 第4节

第十章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C差分方程Advancedmathematics高等数学e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第四节差分方程的经济应用第十章差分方程第四节差分方程的经济应用这就是一笔本金存入银行后，年利率为，按年复利计息，年末的本利和.解由题意可知，即，与微分方程完全类似的方法，可以建立经济学的差分方程的模型，下面举例说明它的应用.【例1】（存款模型）设是年末存款总额，年利率为，且初始存款为，按年复利计息，求年末的本利和.这是一个一阶常系数齐次线性差分方程，其特征方程为，特征根为，于是，齐次差分方程的通解为，将初始条件代入，得，故年末的本利和为.第四节差分方程的经济应用【例2】（教育经费筹措模型）设某家庭从现在着手，每月从工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育，并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业并用完全部资金，要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要在银行存入多少钱？假设投资的月利率为.解设第个月投资帐户资金为，每月存入资金为元，于是，20年后，关于的差分方程模型为且，，第四节差分方程的经济应用这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，解此方程，得通解将，，代入得从现在到20年内，满足差分方程且，，解此方程，得通解，将，，代入得.第四节差分方程的经济应用即要达到投资目标，20年内共要筹措资金90073.45元，平均每月要存入银行194.95元钱.【例3】（储蓄模型）设为期国民收入，为期储蓄，为期投资，它们之间有如下关系式其中，，设基期的国民收入为已知，试求与的函数关系.第四节差分方程的经济应用故在这个模型的变量（，，）中没有一个有平衡值.因为，又，所以序列是单调递增的，发散于.又因为，所以序列和也都是单调递增的，且发散于，【解】由上述三个方程，得差分方程，因而，解得其解序列的特性取决于常数的值。因为，第四节差分方程的经济应用【例4】（萨谬尔森乘数——加速数模型）设为期国民收入，为期消费，为期投资，为政府财政支出总额（各期相同），它们之间有如下关系式其中，常数为边际消费倾向，，常数为加速数，设基期的国民收入为已知，试求与的函数关系.解将第二、第三个方程代入第一个方程，得第四节差分方程的经济应用（a）若，则特征方程有两个不相等的实根即，改成标准形式为，这是一个二阶常系数非齐次线性差分方程.（1）先求对应的齐次差分方程的通解，原方程对应的齐次差分方程为其特征方程为特征方程的判别式为.于是第四节差分方程的经济应用（b）若，则特征方程有两个相等的实根，于是；（c）若，则特征方程有一对共轭复根，于是，其中，.第四节差分方程的经济应用（2）再求原方程的一个特解对于非齐次差分方程由于，这里是零次多项式