《电磁场与电磁波理论与仿真》-第7章

７.１波动方程根据时谐电磁场理论.已知在无限大的各向同性的均匀线性媒质中.无源区内正弦电磁场满足下列齐次矢量Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程:其中.ｋｃ称为传播常数.εｅ称为等效介电常数.下一页返回７.１波动方程求解上述齐次矢量Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程.即可以得到平面电磁波的传播特性.在直角坐标系中.电场强度Ｅ及磁场强度Ｈ的各个坐标分量分别满足下列齐次标量Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程:上一页下一页返回７.１波动方程上一页下一页返回由此可见.各个坐标分量满足的方程形式相同.它们的解应具有同样结构.可以证明:在直角坐标系中.若正弦电磁场的场矢量仅与一个坐标变量有关.则该正弦电磁场的场矢量不可能具有该坐标分量.例如.若场矢量仅与ｚ变量有关.则可证明Ｅｚ＝Ｈｚ＝０.这是由于.如果场矢量与变量ｘ及ｙ无关.则７.１波动方程在无源区中.∇·Ｅ＝０.∇·Ｈ＝０.由上两式得代入式(７－４ｃ)及式(７－５ｃ)中.求得分量Ｅｚ＝Ｈｚ＝０.所以均匀平面波电磁场的纵向分量(平行于传播方向的电磁场分量.此处为ｚ分量)等于零.上一页返回７.２自由空间中的平面波自由空间是指无任何衰减、无任何阻挡、无任何多径的传播空间.自由空间具有以下特点:(１)没有电荷、电流分布.即ρ＝０.Ｊｆ＝０.Ｊｆ为分布电流.(２)空间中媒质的相对介电常数εｒ和相对磁导率μｒ均恒为１.即磁导率μ＝真空磁导率μ０.介电常数ε＝真空介电常数ε０.(３)媒质是线性的、均匀的、各向同性的.(４)媒质电导率为零.(５)电波传播速度等于真空中的光速.下一页返回７.２自由空间中的平面波(６)由于信号能量在自由空间的扩散.在传播了一定距离后.信号能量也会发生衰减.电磁波的传播与在真空中传播一样.只存在有扩散损耗的直线传播.而不存在反射、折射、绕射、色散、吸收、磁离子分裂等现象.本节讨论自由空间中平面波的传播特性.由时变电磁场理论知道.在自由空间的无限大媒质中.无源区内正弦电磁场满足方程式(７－１).又因为在直角坐标系中.各个分量满足齐次标量Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程式(７－４)及式(７－５).假设电场强度Ｅ仅与坐标变量ｚ有关.即上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波由前节分析得知.电场强度不可能存在ｚ分量.不失一般性.令电场强度方向为ｘ方向.即Ｅ＝ｅｘＥｘ.则磁场强度Ｈ为:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波上一页下一页返回由此可见.磁场强度仅具有ｙ分量.这是因为电场强度仅与ｚ有关.因而磁场也仅与ｚ有关.所以磁场也不可能具有ｚ分量.又知电场与磁场处处垂直.因此.若Ｅ＝ｅｘＥｘ.则Ｈ＝ｅｙＨｙ.既然Ｅｘ与Ｈｙ的关系由式(７－８)确定.所以仅需求解Ｅｘ.然后由式(７－８)即可确定Ｈｙ.由上一节知.电场强度的Ｅｘ分量满足齐次标量Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程式(７－４ａ).由于７.２自由空间中的平面波式(７－９)是一个二阶常微分方程.其通解为:式中第一项代表沿正ｚ方向传播的波.第二项代表沿负ｚ方向传播的波.为了便于讨论平面波的波动特性.仅考虑沿正ｚ方向传播的波.令上式第二项为零.即式中.Ｅｘ０为ｚ＝０处电场强度的有效值.Ｅｘ(ｚ)对应的瞬时值为:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波式中.ωｔ称为时间相位.ｋｃ为复数.称为传播常数.令代入式(７－２)中.得:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波将式(７－１３)代入式(７－１１)中.得:式中第一个指数项ｅ－βｚ表示电场强度的振幅随ｚ增加按指数规律不断衰减.第二个指数项ｅ－ｊαｚ表示空间的相位变化.因此.α称为相位常数.单位为ｒａｄ/ｍ.β称为衰减常数.单位为Ｎｐ/ｍ.可见.在ｚ＝常数的平面上.各点空间相位相等.因此该电磁波的波面为平面.称为平面波.由于在ｚ＝常数的波面上.各点场强的振幅也相等.这种平面波称为均匀平面波.上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波由上述讨论知.无论电场或磁场均与传播方向垂直.即相对于传播方向.电场及磁场仅具有横向分量.因此这种电磁波称为横电磁(ＴｒａｎｓｖｅｒｓｅＥｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ.ＴＥＭ)波.均匀平面波是ＴＥＭ波.只有非均匀平面波才可形成非ＴＥＭ波.但是ＴＥＭ波也可以是非均匀平面波.金属波导只能传输传播方向上具有电场或磁场纵向分量的非ＴＥＭ波.即ＴＭ波(横磁波)或ＴＥ波(横电波).且两者均为非均匀平面波.将式(７－１５)代入式(７－８)中.得:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波式中.εｅｆｆ为等效介电常数.σ为媒质电导率.ω为电磁波角频率.时间相位(ωｔ)变化２p所经历的时间称为电磁波的周期.以Ｔ表示.而一秒内相位变化２p的次数称为频率.以ｆ表示.那么由ωＴ＝２π的关系式.得:空间相位(αｚ)变化２p所经过的距离称为波长.以λ表示.由αλ＝２π关系式.得:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波电磁波的频率描述相位随时间的变化特性.而波长描述相位随空间的变化特性.由式(７－１８)还可以得到:空间相位变化２π相当于一个全波.α的大小又可衡量单位长度内具有的全波数目.所以α又称为波数.有的文献还将α称为空间频率.上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度.相位速度又简称为相速.以ｖｐ表示.令式(７－１２)中正弦均匀平面波的ωｔ－αｚ＝常数.称为等相位面方程.得ωｄｔ－αｄｚ＝０.则相位速度ｖｐ为:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波此式表明.平面波的相速不仅与媒质参数有关.而且还与频率有关.我们已知.携带信号的电磁波总是具有很多频率分量的.由于各个频率分量的电磁波以不同的相速传播.经过一段距离传播后.电磁波中各个频率分量之间的相位关系将必然发生改变.导致信号失真.这种现象称为色散.具有色散现象的媒质称为色散媒质.从等相位面方程“ωｔ－αｚ＝常数”看.空间坐标的变化与时间坐标的变化可以相互补偿以保持相位或者场量的恒定.这就是波动的本质.通常利用等相位面方程来判定电磁波传播方向:时间ｔ增加.欲保持相位不变.ｚ必须增加.因此等相位面是向ｚ增加方向移动.也就是电磁波传播方向是＋ｚ方向.上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波将ω＝２πｆ和式(７－１９)代入式(７－２０).得:式(７－２１)描述了平面波的相速ｖｐ、频率ｆ与波长λ之间的关系.平面波的频率是由波源决定的.它与源的频率始终相同.但是平面波的相速与媒质特性有关.因此.平面波的波长也与媒质特性有关.将式(７－１４ａ)代入式(７－１８)中.得:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波媒质电场强度与磁场强度的振幅之比称为波阻抗.也称为媒质的特征阻抗.或者本征阻抗.以Ｚｃ表示.即由上述讨论可知.平面波的波阻抗为复数.电场强度与磁场强度的空间相位不同.复能流密度的实部及虚部均不会为零.意味着平面波在传播过程中.既有能量的单向传播.又有能量的双向或交换传播.上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波如果空间中填充的是理想电介质.即σ＝０.则等效介电常数、传播常数、相位速度、波长、波阻抗等传播参数公式可简化为:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波因此.平面波在理想电介质中传播时.上述传播参数均为实数.电场强度与磁场强度的相位相同.相位速度与频率无关.所以.理想电介质为非色散媒质.复能流密度矢量只有实部.虚部为零.电磁能量只会单向传播.考虑到真空的介电常数为ε０.磁导率为μ０.得:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波式(７－３０)中为真空中的光速.由于一切媒质的相对介电常数εｒ>１.而且一般媒质的相对磁导率μｒ≈１.因此.理想电介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速.但是要注意.电磁波的相速有时可以超过光速.可见.相速不一定代表能量传播速度.式(７－３０)中是频率为ｆ的平面波在真空中传播时的波长.上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波式(７－３０)表明.λ<λ０.即平面波在媒质中的波长小于真空中的波长.这种现象称为波长缩短效应.或简称为缩波效应.埋入地中或浸入水内的天线.必须考虑这种缩波效应.此外.微带电路及微带天线可以利用这种缩波效应减小设备的尺寸.式(７－３１)中.称为真空波阻抗.一般媒质的波阻抗小于真空波阻抗.均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式表示为:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波或者写为:式(７－３２)和式(７－３３)两式描述了均匀平面波的电场强度与磁场强度之间的关系.若知其中一个矢量.即可利用此二关系式直接简便地求出另一个场量.复能流密度矢量Ｓｃ为:上一页下一页返回７.２自由空间中的平面波均匀平面波的波面是无限大的平面.而波面上各点的场强振幅又均匀分布.因而波面上各点的能流密度相同.可见均匀平面波具有无限大的能量.因此.实际中不可能存在这种均匀平面波.但是.当观察者离开波源很远时.因波面很大.如果仅限于局部区域电磁波特性.则可以近似看作均匀平面波.此外.利用空间傅里叶变换.可将非平面波展开为很多平面波之和.所以.着重讨论均匀平面波具有重要的理论价值和实际意义.本书只讨论均匀平面波.上一页返回７.３平面波的极化特性7.3.1线极化平面波设某一平面波的电场强度仅具有ｘ分量.且沿正ｚ方向传播.则其瞬时值可表示为:显然.在空间任一固定点.电场强度矢量的端点随时间的变化轨迹为与ｘ轴平行的直线.因此.这种平面波的极化特性称为线极化.其极化方向为ｘ方向.下一页返回７.３平面波的极化特性

设另一同频率的平面波的电场强度仅具有ｙ分量.也沿正ｚ方向传播.其瞬时值为:显然.这是一个ｙ方向极化的线极化平面波.上述两个相互正交的线极化平面波Ｅｘ及Ｅｙ具有不同振幅.但具有相同的相位.它们合成后.其瞬时值的大小为:上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

此式表明.合成波的大小随时间的变化仍为正弦函数.合成波的方向与ｘ轴的夹角α为:可见.合成波的极化方向与时间无关.电场强度矢量端点的变化轨迹是与ｘ轴夹角为α图７.１线极化波的一条直线.因此.合成波仍然是线极化波.α叫作方向角.上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

可见.两个相位相同、振幅不等的空间相互正交的线极化平面波.合成后仍然形成一个线极化平面波.反之.任一线极化波可以分解为两个相位相同、振幅不等的空间相互正交的线极化波.显然.两个相位相反的线极化波合成后.其合成波也是一个线极化波.但是.合成波的极化方向位于２、４象限.7.3.2圆极化平面波若上述两个线极化波Ｅｙ的相位比线极化波Ｅｘ的相位滞后π/２.但振幅皆为Ｅｍ.即上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

则合成波瞬时值的大小为:合成波矢量与ｘ轴的夹角α为:即有:上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

对于某一固定的ｚ点.夹角α为时间ｔ的函数.电场强度矢量的方向随时间不断地旋转.但其大小不变.因此.合成波的电场强度矢量的端点轨迹为一个圆.这种变化规律称为圆极化.如图７.２所示.式(７－４０)表明.当ｔ增加时.夹角α不断地增加.合成波矢量随着时间的旋转方向与传播方向ｅｚ构成右旋关系.这种圆极化波称为右旋圆极化波.若Ｅｙ比Ｅｘ导前则合成波矢量与ｘ轴的夹角α＝ｋｚ－ωｔ.可见.对于空间任一固定点.夹角α随时间增加而减小.合成波矢量随着时间的旋转方向与传播方向ｅｚ构成左旋关系.因此.这种圆极化波称为左旋圆极化波。上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

由上可知.两个振幅相等、相位相差的空间相互正交的线极化波.合成后形成一个圆极化波.反之.一个圆极化波也可以分解为两个振幅相等、相位相差的空间相互正交的线极化波.可以证明.一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波.反之亦然.7.3.3椭圆极化平面波若上述两个相互正交的线极化波Ｅｘ和Ｅｙ具有不同振幅及不同相位.即上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

上一页下一页返回则合成波的Ｅｘ分量及Ｅｙ分量满足下列方程:这是一个椭圆方程.它表示对于空间任一点.即固定的ｚ值.合成波矢量的端点轨迹是一个椭圆.因此.这种平面波称为椭圆极化波.如图７.４所示.７.３平面波的极化特性

当φ<０时.Ｅｙ分量比Ｅｘ分量滞后.合成波矢量逆时针旋转与传播方向ｅｚ形成右旋椭圆极化波.当φ>０时.合成波矢量顺时针旋转.与传播方向ｅｚ形成左旋椭圆极化波.利用坐标系旋转.可以证明.椭圆轨迹的长轴与ｘ轴的夹角α为:可见.夹角α与时间无关.为了证明式(７－４３).可令椭圆的长轴及短轴分别为坐标轴ｘ′及ｙ′.如图７.４所示.那么.在ｘ′Ｏｙ′坐标系中.上述椭圆极化波的Ｅ′ｘ及Ｅ′ｙ分量满足的方程为:上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

可见.在ｚ＝０处.可令上述椭圆极化波分量Ｅｘ′及Ｅｙ′分别为:已知在ｘＯｙ坐标平面内.ｚ＝０处的Ｅｘ及Ｅｙ分量由式(７－４１)求得:上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

考虑到将式(７－４５)及式(７－４６)代入式(７－４７)中.得:上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

由于上式对于任何ωｔ均应成立.因此.等式两端的对应系数应该相等.即上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

将式(７－４８ｂ)与式(７－４８ｃ)相乘.可得:将式(７－４８ａ)与式(７－４８ｄ)相乘.可得:由式(７－４９)及式(７－５０).求得:上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

将上式整理后.即得式(７－４３).线极化波、圆极化波均可看作椭圆极化波的特殊情况.由于各种极化波可以分解为线极化波的合成.所以仅讨论线极化平面波的传播特性.就可以推知其他极化波的传播特性.电磁波在媒质中的传播特性与其极化特性密切相关.工程实际应用中必须考虑电磁波的极化特性:比如圆极化波穿过雨区时受到的吸收衰减较小.圆极化波适宜于全天候雷达用.在无线通信中.为了有效地接收电磁波的能量.接收天线的极化特性必须与被接收电磁波的极化特性一致.上一页下一页返回７.３平面波的极化特性

在移动卫星通信和卫星导航定位系统中.由于卫星姿态随时变更.应该使用圆极化电磁波.远距离电磁波传播时发生的电平衰落统计特性同样也与电磁波的极化特性有关.在移动通信或微波通信中使用的极化分集接收技术.其合成理即是利用了极化方向相互正交的两个线极化波的电平衰落统计特性的不相关性.目的是减少信号的衰落深度.此外.在微波设备中.有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的.如铁氧体环行器及隔离器等.上一页返回７.４平面边界上的反射和折射7.4.1任意方向传播的平面波向任意方向传播的平面波可以表示为:式中.ｋ称为传播矢量.其大小等于传播常数ｋ.其方向为传播方向.ｒ为空间任一点的位置矢量.若传播矢量ｋ与坐标轴ｘ、ｙ、ｚ的夹角分别为α、β、γ.下一页返回７.４平面边界上的反射和折射则传播方向ｅＳ可表示为:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射即矢量ｋ的三个分量ｋｘ、ｋｙ、ｋｚ中只有两个是独立的.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射将式(７－５１)代入麦克斯韦方程组.且令外源Ｊ′＝０、媒质的电导率σ＝０.可以证明:在无源区中沿ｋ方向传播的均匀平面波应该满足下列方程:上面各式充分地表明.电场与磁场相互垂直.而且两者又垂直于传播方向.这些关系反映了均匀平面波为横电磁波(ＴＥＭ波)的性质.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射7.4.2Ｓｎｅｌｌ(斯涅耳)定律媒质的电导率σ引起热损耗.所以导电媒质一般又被称为有耗媒质.而理想电介质(完纯介质)称为无耗媒质.定义了这两个概念.就可以介绍斯涅耳定律了.当平面波向平面边界(面)斜投射时.有三个结论:①入射线、反射线及折射线位于同一平面.②入射角θｉ等于反射角θｒ.③若两种媒质都是无耗的.即电导率σ１＝σ２＝０、传播常数ｋｃ＝ｋ＝ωεμ.则折射角θｔ与入射角θｉ的关系为:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射上一页下一页返回这三项结论总称为斯涅耳定律.该定律是菲涅耳(Ａｕｇｕｓｔｉｎ－ＪｅａｎＦｒｅｓｎｅｌ.也译为菲涅尔)公式的一个组成部分.而菲涅尔公式描述折、反射波(复)振幅与入射波(复)振幅之间的关系.是物理光学中的一组基本公式.在光学中.通常令则折射角与入射角的关系又可表示为:７.４平面边界上的反射和折射式中.ｎ２１称为媒质②对于媒质①的折射指数.斯涅耳定律的证明:建立直角坐标系.令ｚ＝０平面为边界面.入射面位于ｘＯｚ平面内.显然入射线对于ｙ轴的方向余弦为ｃｏｓβｉ＝０.则入射波的电场可以表示为:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射根据ｚ＝０边界上电场切向分量必须连续的边界条件.媒质①中合成电场的切向分量必须等于媒质②中折射波电场的切向分量.即上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射考虑到Ｓｎｅｌｌ定律得证.Ｓｎｅｌｌ定律获得广泛应用:例如美军Ｂ２及Ｆ１１７等隐形飞机的底部均为平板形状.致使目标的反射波被反射到前方.单站雷达无法收到回波.从而达到飞机电磁隐身的目的.因此.收发分开的双站雷达是发现隐身目标的反隐形有效手段之一.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射电磁波隐身飞机的隐身功能８５％依靠外形设计.１５％依靠表面涂覆的吸波材料.式(７－６７ｂ)还表明:反射波及折射波的相位沿着边界的变化始终与入射波保持一致.因此.该式又称为相位匹配条件.7.4.3反射系数和透射系数平面波的反射系数及透射系数与其极化特性有关.定义:电场方向与入射面平行的平面波称为平行极化波.电场方向与入射面垂直的平面波称为垂直极化波..任意取向极化的平面波总可以分解为一个平行极化波与一个垂直极化波的合成.根据边界条件.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射可以推知:无论平行极化平面波或者垂直极化平面波.它们在平面边界上被反射及折射时.极化特性都不会发生变化.即反射波及折射波与入射波的极化特性相同.虽然平行极化波入射后.由于反射波和折射波的传播方向偏转.因此其极化方向也要随之偏转.但仍然是平行极化波.对于平行极化波.根据边界上电场切向分量必须连续的边界条件.得:考虑到相位匹配条件式(７－６７ｂ).上述等式变为:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射根据边界上磁场切向分量必须连续的边界条件.类似可得:定义:边界上反射波电场分量与入射波的电场分量之比为边界上的反射系数.以Ｒ表示.边界上的透射波电场分量与入射波电场分量之比为边界上的透射系数.以Ｔ表示.由式(７－６８)及式(７－６９)可以求得平行极化波投射时的反射系数Ｒ｜｜(脚标“‖”表示平行极化.后同)及透射系数Ｔ｜｜分别为:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射可以证明:平行极化波的反射系数与透射系数的关系为:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射由此求得垂直极化波的反射系数Ｒ⊥(脚标“⊥”表示垂直极化.后同)及透射系数Ｔ⊥分别为:可以证明:垂直极化波的反射系数Ｒ⊥及透射系数Ｔ⊥的关系为:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射当入射角θｉ→０时.前述情况变为正投射.可以由式(７－７０)及式(７－７２)推得:可见.Ｒ｜｜＝－Ｒ⊥.Ｔ｜｜＝Ｔ⊥.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射7.4.4无反射和全反射由式(７－７０ａ)可知.如果媒质参数给定.当入射角满足Ｚ１ｃｏｓθｉ＝Ｚ２ｃｏｓθｔ时.平行极化波的反射系数Ｒ｜｜＝０.这种现象称为无反射.发生无反射的入射角称为布鲁斯特角(Ｂｒｅｗｓｔｅｒ.ｓａｎｇｌｅ).考虑到波阻抗上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射则可以推得:对于大多数媒质.可以认为磁导率μ１≈μ２.则由式(７－７７)可知.垂直极化波不可能存在布鲁斯特角.只有平行极化波才会发生无反射现象.若μ１≠μ２.ε１＝ε２.则结果恰好相反.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射由式(７－７０ａ)及式(７－７２ａ)可知.若入射角满足:无论何种极化.Ｒ｜｜＝Ｒ⊥＝１.这种现象称为全反射.由式(７－７９)可知.此时折射角已增至θｔ＝π２.电磁波没有进入媒质②.当入射角大于发生全反射的角度时.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射全反射现象继续存在.定义开始发生全反射时的入射角为临界角.以θｃ表示.由式(７－７８)求得：由此可知.因函数ｓｉｎθｃ<１.所以只有当ε１μ１>ε２μ２时才可能发生全反射现象.对于一般媒质.考虑到μ１≈μ２.即只有当ε１>ε２时才可能发生全反射现象.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射也即当平面波由介电常数较大的光密媒质进入介电常数较小的光疏媒质时.才可能发生全反射现象.由此可得光导纤维的导波原理:光导纤维由两种介电常数不同的媒质层形成.其内部芯线的介电常数大于外层介电常数.当光束以大于临界角的入射角度自芯线内部向边界投射时.即可发生全反射.光波局限在芯线内部传播.7.4.5导电媒质中的折射波设媒质①为理想电介质.媒质②为导电媒质.即σ１＝０.σ２≠０.空气与地面的边界就属于这种情况.为了计算平面波在这种边界上的反射系数及透射系数.对媒质②可引入等效介电常数.即令.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射则媒质②的波阻抗为:将式(７－７０)及式(７－７２)中的Ｚ２换为Ｚｃ２.即可用来计算导电媒质边界上的反射系数及透射系数.由于Ｚｃ２为复数.反射系数及透射系数也均为复数.无反射及全反射现象将不会发生.需要详细讨论的是导电媒质中的折射波的传播特性.已知σ２≠０.媒质②的传播常数为复数.即上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射式中α２及β２由式(７－１４)决定.将ｋｃ２代入Ｓｎｅｌｌ折射定律式(７－６０).得:因为ｓｉｎθｉ一定是实数.则ｓｉｎθｔ应为复数.由上式整理后得:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射则式(７－８６)可写为:将式(７－８７)及式(７－８８)代入上式并整理得:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射由式(７－８９)可知.导电媒质中的折射波振幅沿正ｚ方向逐渐衰减.而相位变化与ｘ及ｚ有关.根据波面方程ｘｋ１ｓｉｎθｉ＋ｚη＝Ｃ(常数).可以求出折射波的传播方向与ｚ轴的夹角θ′ｔ的正弦为:这个结果如图７.６所示.由图可见.导电媒质中折射波的等幅面与波面不一致.因此折射波是一种非均匀平面波.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射式(７－９１)可改写为:称之为修正折射定律.如果媒质②为良导体.即满足σ２≫ωε２.则有:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射由式(７－８８)及式(７－９０)可得:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射上一页下一页返回又因σ２≫ωε２.上式可进一步简化为:７.４平面边界上的反射和折射由此可知.平面波在良导体边界上发生折射以后.无论入射角大小如何.折射波的方向均几乎垂直于边界.所以.当平面波由空气向海面投射时.若对于给定的频率海水可当作良导体.则无论入射角大小如何.进入海水中的折射波几乎全部垂直向下传播.例如.当频率为３０ＭＨｚ的平面波自空气向海水投射时.已知σ＝４(Ｓ/ｍ).μｒ＝１.εｒ＝８１.满足σ≫ωε.海水可以当作良导体.由式(７－９６)得:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射由此可知.即使θｉ＝π/２.则θ′ｔ＝１.６°.折射波近乎垂直向下进入海水.因此.在潜艇通信中.为了有效地接收由海面进入海水中的电磁波.接收天线的最强接收方向要指向上方.7.4.6平面波的趋肤效应如果σ≠０.则在无外源(Ｊ′＝０)区域中.导电媒质中正弦电磁场应满足齐次矢量亥姆霍兹方程:其解分别为式(７－１５)和式(７－１６).它们不仅表明电场强度的相位逐渐滞后.且与磁场强度的相位不同.而且反映了平面波在导电媒质中电场强度及磁场强度一个重要的共同特点:振幅随ｚ增加不断衰减.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射且衰减常数为β＝其波形如图７.７所示.由于电场强度与磁场强度的相位不同.复能流密度的实部及虚部均不会为零.这就表明平面波在导电介质中传播时.既有单向流动的传播能量.又有来回流动的交换能量.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射(１)σ≪ωε.即电导率极低的情况.可以近似认为:上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射(２)当σ≫ωε.即在良导体中.有下列近似:称δ为集肤深度或趋肤深度.显然趋肤深度与电磁波频率紧密相关.上一页下一页返回７.４平面边界上的反射和折射趋肤效应给电磁屏蔽理论及其工程技术应用提供了理论基础:一定厚度的金属板即可屏蔽高频时变电磁场.对应于比值的频率称为临界频率.它是划分媒质属于低耗完纯(理想)介质或导体的界限.由于有关系式Ｊ＝σＥ.Ｊｄ＝ｊωεＥ.则可知.电磁波(电磁信号)的传播在非理想介质中以位移电流为主.而在良导体中以传导电流为主.上一页返回７.５多层媒质中的平面波7.5.1多层媒质的正投射以三种媒质为例.说明平面波在多层媒质中的传播过程及其求解方法.当平面波自媒质①向边界垂直入射时.在媒质①和媒质②之间的第一个边界上发生反射和透射.当透射波到达媒质②和媒质③之间的第二个边界时.再次发生反射与透射.而且此边界上的反射波回到第一条边界时又发生反射及透射.由此可见.在两个边界上发生多次反射与透射现象.根据一维波动方程解的特性.可以认为媒质①和②中仅存在两种平面波.其一是沿正ｚ方向传播的波.以Ｅ＋及Ｈ＋表示.另一是沿负ｚ方向传播的波.以Ｅ－及Ｈ－表示.在媒质③中仅存在一种沿正ｚ方向传播的波.下一页返回７.５多层媒质中的平面波

各层媒质中的电场及磁场可以分别表示为:上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波上一页下一页返回及７.５多层媒质中的平面波

由于两条边界ｚ＝－ｌ和ｚ＝０上电场切向分量必须连续.得:上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波

式(７－１００)及式(７－１０１)中的Ｅ＋ｘ１０是给定的.四个方程中只有Ｅ－ｘ１０、Ｅ＋ｘ２０、Ｅ－ｘ２０及Ｅ＋ｘ３０等四个未知数.因此完全可以求解.注意.上述各式中的脚标ｉ０(ｉ＝１.２.３)表示在区域(层)ｉ中相应的场量在ｚ＝０处的幅值.上述分析方法自然可以推广到ｎ层媒质.对于ｎ层媒质.由于入射波给定.且第ｎ层媒质中只存在透射波.因此.总共只有２ｎ－２个待求的未知数.根据ｎ层媒质形成的ｎ－１条边界可以建立２(ｎ－１)个方程.可见这个方程组足以求解全部的未知数.这种利用分界面上的边界关系.建立联立方程组.然后求解各层媒质中的场量的方法称为边界条件法.边界条件法也可用于求解多层边界的斜投射.上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波

7.5.2多层媒质的总反射如果仅需计算第一条边界上的总反射系数.引入输入波阻抗概念可以简化求解过程.在上述例子中.将媒质②中任一点的合成电场与合成磁场之比定义为该点的输入波阻抗.以Ｚｉｎ表示.即已知媒质②中的合成电场为:上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波

式中.Ｒ２３为媒质②和③之间边界的反射系数.根据反射系数定义.得:同理媒质②中的合成磁场表示为:将式(７－１０３)、式(７－１０４)及式(７－１０５)代入式(７－１０２)中.同时利用欧拉公式ｅｊｘ＝ｃｏｓｘ＋ｊｓｉｎｘ.得:上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波

根据边界关系.已知在ｚ＝－ｌ边界上两侧合成电场及合成磁场必须连续.由式(７－１００ａ)及式(７－１０１ａ)求得:上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波

比较式(７－１０８)与式(７－７５ａ)可知.引入输入波阻抗以后.对第一层媒质来说.第二层及第三层媒质可以看作波阻抗为Ｚｉｎ(－ｌ)的一种媒质.已知第二层媒质的厚度和电磁参数以及第三层媒质的电磁参数即可求出输入波阻抗Ｚｉｎ(－ｌ).利用输入波阻抗的方法计算多层媒质的总反射系数.实质上是电路中经常采用的网络分析方法.即只需考虑后置媒质的总体影响.不必关心后置媒质中的场分布.上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波

7.5.3多层媒质的斜投射极化波的斜投射当平面波向多层边界斜投射时.反射和折射特性与极化特性有关.仍以三层媒质为例.各层媒质中的射线轨迹如图７.１０所示.对于垂直极化波.各层媒质中的电场分量为上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波

已知在ｚ＝－ｌ和ｚ＝０两条边界上电场切向分量必须连续.得:上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波

式(７－１１０)和式(７－１１１)中.Ｅ＋ｙ１０是给定的.而且入射角θ１也是已知的.因而折射角θ２和θ３可以根据Ｓｎｅｌｌ折射定律求出.则上述４个式中只有Ｅ－ｙ１０、Ｅ＋ｙ２０、Ｅ－ｙ２０和Ｅ＋ｙ３０等４个未知数.因此足以求解.对于平行极化波.由图７.１１可见.只要适当地替换场分量即可求得下列４个方程:上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波

基于上述４个方程足以求解各层媒质中的场分量.对于ｎ层媒质的斜投射.也可利用边界关系求解各层媒质中的场分量.如果仅关心总反射系数.也可利用输入波阻抗方法进行计算.对于斜投射情况.输入波阻抗公式(７－１０９)中的传播常数ｋｃ２应改为ｋｃ２ｃｏｓθ２.有:上一页下一页返回７.５多层媒质中的平面波

式中折射角θ２可以根据Ｓｎｅｌｌ折射定律由入射角θ１求出.如果上述夹层媒质的相对介电常数等于相对磁导率.即εｒ＝μｒ.那么.夹层媒质的波阻抗等于真空的波阻抗.当这种夹层置于空气中.平面波向其表面投射时.无论夹层的厚度如何.反射现象均不可能发生.即这种媒质对于电磁波是完全透明的.若使用这种媒质制成保护天线的天线罩.其电磁特性十分优越.但是这种材料的制备非常困难.因为普通媒质的磁导率很难与介电常数达到同一数量级.关于多层媒质的斜投射的分析还有其他方法.可参阅相关电磁理论文献.上一页返回７.６波速、相速和群速描述电磁波传播速度的参数有相速、群速和能量速度.此外.还有一个重要