自动控制原理 课件 第四章 线性系统的根轨迹分析法

自动控制原理第四章

线性系统的根轨迹分析法目录第一节

根轨迹的基本概念第二节

绘制根轨迹的规则第三节

自动控制系统动态根轨迹的分析“根轨迹法”是W.R.伊万思（Evans）提出的一种求特征方程根的简单方法。如果系统具有可变的环路增益，当增益变化时，闭环极点的位置会有变化。极点位置对系统的稳定性、准确性和快速性的影响。根轨迹法指出，开环极点和零点的变化使系统的响应满足性能要求，在设计线性控制系统时非常实用。本章重点：根轨迹法的基本概念掌握绘制根轨迹图的一般步骤和规则熟悉应用MATLAB进行根轨迹分析的方法当参变量K从0向

变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化轨迹，表4-1列出了当参变量K从0向

变化时，特征根s1和s2相应的变化关系系统闭环特征方程式为：闭环系统的特征根：图4-1，二阶系统C(s)R(s)-对图4-1所示二阶系统，系统开环传递函数为：一、根轨迹K00.250.51…∞S10-0.5-0.5+j0.5-0.5+j0.87…0.5+j∞s2-1-0.5-0.5-j0.5-0.5-j0.87…-0.5-j∞表4-1根与K的关系1)0≤K＜¼，s1、

s1为两相异的实数根（过阻尼状态）2)K=¼，s1=s2=-0.5，（临界阻尼）3)¼＜K＜∞，s1

、s2为一对共轭复根（欠阻尼）对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态一、根轨迹图4-2如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为4%，求一对希望的闭环极点。求得ξ=0.707，由于arctan0.707=45°在图4-2上过坐标原点作与负实轴夹角为45°的射线，它与根轨迹的交点S=-0.5±j0.5，这就是所求的希望闭环极点。一、根轨迹根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征根分布的影响。

定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。是一种用图解方式表示特征方程的根于系统某一参数的全部数值关系的方法。一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参量根轨迹。一、根轨迹图4-3特征方程：上式改写为：于是得：二、相角和幅值条件假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：二、相角和幅值条件则上式改写为：于是得：图4-4二、相角和幅值条件幅值条件与K有关，相角条件与K无关满足相角条件的点必然满足幅值条件结论：幅值条件：反之，满足幅值条件点未必能满足相角条件。图4-5系统的等增益轨迹是一簇同心圆，对于某一个确定的K值，对应圆周上有无穷多个S值都满足方程，其中只有同时满足相角条件的S值才是方程的根。根轨迹就是S平面上满足相角条件点的集合。绘制根轨迹步骤1）先找出S平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；2）用幅值条件确定相应点对应的K值。例4-1求图4-1所示系统的根轨迹解：1）用相角条件绘制根轨迹2）用幅值条件确定增益K二、相角和幅值条件图4-6二、相角和幅值条件开环传递函数有如下两种表示：其中，K为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益，它们之间的关系为：规则1：根轨迹的对称性由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根或为实数，或为共轭复数，根轨迹必然对称于S平面的实轴。规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点闭环特征方程：当k0由变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称为根轨迹的一条分支；因为n≥m，所以根轨迹分支共计为n条；根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0=0时有：根轨迹终点就是当时根的位置；由此可知，开环传递函数的零点-zi(i=1,…,m)是m条根轨迹分支的终点条根轨迹的终点也需确定当规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点幅值条件规则3：根轨迹在实轴上的分布实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点si右方实轴上开环极点数与零点数之和的数是否为奇数。mr和

nr分别为右方实轴上开环零点和开环极点数图4-7实轴上根轨迹的确定1、渐近线的倾角2、渐进线与实轴交点3、用分子除以分母得规则4：根轨迹的渐近线则：方程有（n-m）条根轨迹分支，它们是由实轴上点出发的射线，这些射线于正实轴的夹角为

由于G(s)H(s)和W(s)分母中前两项高阶次项完全相同，因而当s→∞时，G(s)H(s)就能近似地用W(s)来表征。方程1+G(s)H(s)=0的(n-m)条根轨迹分支便会趋向于1+W(s)=0的根轨迹。即它们有相同的渐近线。规则4：根轨迹的渐近线规则5：分离点与会合点当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，此交点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复平面走向实轴时，它们在实轴上的交点称为会合点图4-8根轨迹的分离点和会合点图4-9根轨迹的复数分离点求解根轨迹的分离点和会合点规则6：出射角与入射角根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角称根轨迹的出射角，根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角图4-10根轨迹出射角的确定设系统的开环零、极点的分布如图4-10所示，取试验点si十分靠近开环复数极点-p4(因而可以认为开环的零点和其它极点指向si点矢量的相角和它们指向极点-p4

矢量的相角相等)，若试验点si在根轨迹上，则计算出射角的一般表达式为同理，计算入射角的一般表达式为式中，就是根轨迹离开复数极点-P4

的出射角图4-10根轨迹出射角的确定规则6：出射角与入射角规则7：根轨迹与虚轴的交点1、利用劳斯判据（该部分内容将在第5章介绍）；规则8：特征方程式根之和与根之积2、将

带入特征方程，再分别令实部和虚部等于零，即可求出ω和K值。这里求得的ω值就是根轨迹与虚轴交点的频率。相应于每个交叉频率的K值是交叉点上的增益。如果n-m≥2则闭环特征方程于是得：令特征方程的根，则规则8：特征方程式根之和与根之积图4-11控制系统方框图例4-1绘制图4-11所示系统的根轨迹1）有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2）2）三条根轨迹分支的终点均在无限远处解：4）实轴上的0至-1和-2至-∞间的线段为根轨迹（见P114）3）渐近线与正实轴的夹角(s2舍去)5）分离点图4-11控制系统方框图例4-1绘制图4-11所示系统的根轨迹（见P114图4-9）G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);rlocus(G);gridtitle('Root_LocusPlotofG(s)=K/[s(s+1)(s+2)]')xlabel('RealAxis')%给图形中的横坐标命名。ylabel('ImagAxis')%给图形中的纵坐标命名。[K,P]=rlocfind(G)一、闭环零、极点对系统动态性能的影响①为保证系统稳定，所有的闭环极点必须在s平面之左半部；②为提高系统的快速性，某一极点对应的分量要衰减快，即该闭环极点要远离虚轴。③若系统的某一闭环极点与一个闭环零点靠得很近，且与其它极点及虚轴相距较远，则称该零、极点为偶极子。偶极子的极点对应的响应分量很小，以至于在

中可忽略不计。工程中，对那些在响应中对系统性能影响不利的极点，有意识地在其附近安排一个零点，使其影响抵销，从而改善系统的性能。④在复平面上，系统中离虚轴最近的极点，且在其附近又无零点，该极点对系统性能影响最大，称为主导极点。系统的响应主要由主导极点来决定。一般认为，跟虚轴的距离与其它极点与虚轴的距离小于1/5，且其附近又无零点，可将该极点作为主导极点。一、闭环零、极点对系统动态性能的影响闭环极点的位置与系统性能指标之间的关系：①闭环极点的实部反映了系统的过