电路分析(第2版) 课件 chap3-3and3-5 一阶电路的三要素公式

1

uC=

(U0

−

US)e−t/

+

US齐次解暂态响应transientresponse,TR

特解稳态响应steady-stateresponse,SSRUS+uC－CuC(0)=U0Si

由激励决定的又称强制响应（forced-response，FR）

由电路决定的（齐次方程，特征根）又称固有响应（naturalresponse，NR）3.5一阶电路的三要素公式

uC=

(UC(0)−

UC(∞))e−t/

+

UC(∞)2

uC=

(U0

−

US)e−t/

+

USRUS+uC－CuC(0)=U0Si3.5一阶电路的三要素公式

uC=

(UC(0)−

UC(∞))e−t/

+

UC(∞)TRSSx(t)=[x(0)–x(∞)]e–t/

+x(∞)三要素：初始值x(0+)、稳态值x(

)和时间常数

3状态变量：非状态变量：f(t)=[f(0+)–f(∞)]e–t/

+f(∞)证明：设外激励为直流W，根据置换定理和叠加定理f(t)=k1W+k2x(t)=k1W+k2{[x(0+)–x(∞)]e–t/

+x(∞)}=k1W+k2x(∞)+k2[x(0+)–x(∞)]e–t/

∵f(∞)=k1W+k2x(∞)f(0+)=k1W+k2x(0+)

f(0+)–f(∞)=k2x(0+)–k2x(∞)

∴f(t)=f(∞)+[f(0+)–f(∞)]e–t/

证毕一响应的一般形式x(t)=[x(0+)–x(∞)]e–t/

+x(∞)4三要素法：在直流一阶电路中的所有电流和电压f(t)都可以在求得它们的初始值f(0+)、稳态值f(

)和时间常数

后，直接写出:一般要求

满足0<

<。但实际上，

<0也能使用本方法，因此只要

≠0即可。f(t)=[f(0+)–f(∞)]e–t/

+f(∞)5L+us–R1R2S1、时间常数

：（1）求t>0（换路后）时动态元件两端的戴维宁等效电阻R0（2）

=R0C（电容）或

=G0L（电感）二三要素的计算时间常数

是开关换路（这里是闭合）后的时间常数

=L/R262、稳态值f()

求t=

（换路后）的直流稳态值（C开路、L短路）iL(0)=0，iL(

)=5AuC(0)=10V，uC(

)=0+10V–2

S3

1H1F+uC–iL73、初始值f(0+)

f(0+)=k1W+k2x(0+)两步（1）求状态变量初始值

x(0+)：

t<0（换路前）的稳态值x(0-)（C开路、L短路）

若x(0+)=x(0−)不违反KVL、KCL，则x(0+)=x(0−)

否则，用电荷守恒、磁链守恒计算x(0+)（跃变）（2）求非状态变量初始值f(0+)：作t=0+（换路后）等效电路；

以独立源置换x(0+)，求f(0+)8例1：开关断开前电路已稳定，求在开关断开后各电压电流的初始值。解：先求uC(0)，再求其它初始值。10V+–20k

30k

0.1Ft=0−

等效电路10V+–20k

30k

+–uC(0−)10V+–20k

30k

6V+–iC(0+)i1(0+)t=0+

等效电路i+uR−uC(0–)=10×3030+20=6V

故

uC(0+)=6Vi1(0+)=0i(0+)=iC(0+)=(10–6)/20=0.2mAuR(0+)=Ri(0+)=4V9例2：求电路在开关闭合后各电压、电流的初始值。在开关闭合前电路已经稳定。解：先求iL(0)。10V+–R1=4

0.1HR=1

iLiL(0–)=101+4=2At=0–等效电路10V+–R1=4

R=1

iL(0–)=2Ai1(0–)=0故iL(0+)=2Ai1(0+)=8Ai(0+)=10AuR(0+)=10VuR1(0+)=8V10V+–R1=4

R=1

t=0+等效电路iL(0+)i1(0+)10从波形图找三要素：f(t)=[f(0+)–f(∞)]e–t/

+f(∞)t0f(0)f(∞)f(t)τt0f(0)f(∞)f(t)τ11例3：（1）已知i(0)=–5A，i(

)=10A，

=2s，试绘出i(t)按指数变化的波形图，并写出i(t)的表达式。（2）已知i(0)=–5A，i(

)=–15A，

=3s，重复（1）中要求。解：（1）

i(t)=[i(0)–i(

)]e–t/

+i(

)=10–15e–t/2

Oi(A)t(s)10–524684.48（2）i(t)=[i(0)–i(

)]e–t/

+i(

)=–15+10e–t/3

Oi(A)t(s)–15–53–11.32691212例4：电路在t=0时刻开关由a转向b。绘出i(t)、iL(t)的波形图，并写出表达式。设换路前电路已稳定。3ViL(t)1

1

2

i(t)3Hba3V解：（1）求

。开关转向b以后，戴维宁等效电阻为

R0=1+2/3=5/3

时间常数：

=L/R0=9/5s（2）求iL(

)和i(

)此时电感相当于短路。1

1

2

i(

)3Vt=

时的等效电路iL(

)i(

)=95A，iL(

)=65A133i(0+)+2∙(6/5)=3i(0+)=0.2A51

1

2

i(0+)A3Vt=0+时的等效电路6（3）求iL(0+)和i(0+)。

换路前电路已稳定，电感相当于短路，故iL(0+)=iL(0–)=–56A3ViL(t)1

1

2

i(t)3Hba3V时间常数：

=L/R0=9/5si(

)=95A，iL(

)=65A14Oi(A)t(s)95651565–

iL(t)i(t)得：iL(t)=1.2–2.4e–5t/9Ai(t)=1.8–1.6e–5t/9Ai(0+)=0.2AiL(0+)=–56A时间常数：

=L/R0=9/5si(

)=95A，iL(

)=65A15例5：开关在t=0时闭合，（1）

=10，（2）

=–5，求iL解：戴维宁等效求uOC：因i1=4

故uOC=

i1+4i1=4

+16

42H–

i1+iLi14Au=4+

∴R0=u/i1=4+

4–

i1+iLi1+u–2H+

16+4

–iL4+求R0：电流源开路，设i1=116

=2/(4+

)

iL(0)=0，iL(∞)=4（1）

=10

=2/(4+10)=1/7

∴iL(t)=4–4e–7tA（t

≥0）（2）

=–5

=2/(4–5)=–2∴iL(t)=4–4et/2A（t

≥0）42H–

i1+iLi14A2H+

16+4

–iL4+17故

=

1，

uC(t)

=12−10e−t

V(t≥0)设i1=1，则u=4+4+2=10V

R0=10Ω例6：已知uC(0)

=2V，求uC(t)（t≥0）i1

=2，uOC=4i1+2i1=12VR0：

10Ω+uC－0.1F+12V－4Ω+uC－0.1F4Ω+2i1−2Ai1t=0解：（1）求戴维宁等效

uOC:i14Ω4Ω+2i1−2A+uOC－4Ω4Ω+2i1−i1+u－18图示电路处于稳定状态，iL(0)=2A，求uL。iL(t)

=2e−4t

V(t≥0)uL(t)

=−16e−4t

A(t≥0)19例6：开关在t=0时闭合，已知uC1(0−)=1V，uC2(0−)=0V。

求uC1。解：求

（t>0）：

C=(1×0.5)/(1+0.5)=1/3F

=1s求uC1(0+)：∵i=(uC1

–uC2)/3<∞

∴

uC1(0+)=uC1(0−)=1V求uC1(∞)：方法1

∵i(∞)=0∴uC1(∞)=uC2