《实变函数》教学大纲

《实变函数》教学大纲一、课程名称：《实变函数论》二、课程性质：数学与应用数学专业必修课，信息与计算科学专业选修课先修课程：数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程等课程三、课程的地位及教学目的《实变函数》是在数学分析的基础上发展起来的一门学科，是数学专业的一门重要的专业基础课。其内容主要是以n维欧氏空间上的实值函数为对象，介绍勒贝格测度和勒贝格积分理论。《实变函数》这一课程无论在思想方法上，还是在理论上都把数学分析往前推进了一步，在经典数学与现代数学之间起着承前启后的作用。教学目的是通过对该课程的学习，使学生掌握《实变函数》的基本理论和基本方法，特别是勒贝格测度理论和勒贝格积分理论，进一步充实、拓宽和加深已经学过的数学基础知识和分析功底，提高对数学概念和数学方法的认识水平，同时也提高学生分析抽象问题和解决应用问题的能力，为今后从事《分析学》领域的研究工作打下坚实的基础。四、教学原则与教学方法按照数学学科的特点和规律，《实变函数》这一课程应采取精讲、讨论与自学相结合的手段。考虑到《实变函数》这一课程具有高度的抽象性，在教学过程中应主要采用精讲的方式，个别内容可以进行讨论或留给学生自学。采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。五、总学时68课时（含复习考试）六、课程教学内容要点及建议学时分配第一章集合（10学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）集合的运算，重点是无穷集合的运算及集合的极限运算；（2）掌握基数概念，理解并较熟练应用伯恩斯坦定理；（3）掌握可数集和不可数集的基本知识。二、教学原则与教学方法综合运用线性代数，数学分析的相关知识，将集合的运算推广到无穷多个集合上；引入集合间的对等概念进而给出基数概念，进而讨论与此有关的一系列相关问题，如集合列的收敛性、可数集、不可数集的性质的讨论等。教学方法以讲解和讨论为主。1.1集合的概念1.2*集合的运算（2课时）1.3*对等与基数（4课时）1.4*可数集与不可数集（4课时）1.5半序集与Zorn引理（简单介绍）作业要求：完成13~15道基础性练习题，1~2提高性练习题。第二章点集（11学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）度量的概念，集合与空间的关系与区别；（2）点与集合之间的位置关系；（3）开集、闭集、完备集及其性质。二、教学原则与教学方法欧氏空间中以领域为工具确定点与集合之间的位置关系因而引入开集、闭集、完备集的概念并研究它们的性质及构造。教学方法以讲解和讨论为主。2.1度量空间,维欧氏空间（2课时）2.2*聚点，内点，界点（3课时）2.3*开集，闭集，完备集（3课时）2.4*直线上的开集，闭集和完备集的构造（3课时）作业要求：完成8~10道基础性练习题，1~2提高性练习题。第三章测度论（12学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）外侧度、测定的概念及性质；（2）可测集类及其性质。二、教学原则与教学方法欧氏空间中引入外侧度和测度概念并讨论它们的性质；讨论可测集类的性质及其构造。教学方法以讲解和讨论为主。3.1*外测度（3课时）3.2*可测集（4课时）3.3*可测集（续）（4课时）3.4不可测集（简单介绍）（2课时）作业要求：完成6~8道基础性练习题，1~2提高性练习题。第四章可测函数（15学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）可测函数的概念及性质；（2）叶果洛夫定理及几乎处处收敛与一致收敛的关系；（3）可测函数的构造；（4）依测度收敛的概念及各种收敛之间的关系。二、教学原则与教学方法引入可测函数的概念和依测度收敛的概念，进而讨论与此有关的一系列相关问题，如可测函数的性质及构造；几种收敛之间的联系等。教学方法以讲解和讨论为主。4.1*可测函数及其性质（4课时）4.2*叶果洛夫定理（4课时）4.3*可测函数的构造（3课时）4.4*依测度收敛（4课时）作业要求：完成8~10道基础性练习题，1~2提高性练习题。第五章积分论（18学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，（1）让学生进一步认识和理解黎曼积分，在此基础上引入勒贝格积分的概念；（2）研究勒贝格积分的性质；（3）研究积分极限定理。二、教学原则与教学方法在进一步理解黎曼积分的基础上引入勒贝格积分的概念，在此基础上研究勒贝格积分的性质及极限理论等，如黎曼积分与勒贝格积分的关系、勒贝格可积函数及勒贝格积分的性质、极限理论等。5.1*黎曼积分（3课时）5.2*勒贝格积分的定义及性质（3课时）5.3*一般可积函数（4课时）5.4*积分的极限定理（4课时）5.5勒贝格积分的几何意义，Fubini定理（2课时）作业要求：完成10~12道基础性练习题，1~2提高性练习题。第六章微分与不定积分（4课时）一、教学目的与要求通过对这一章选学部分内容，让学生了解有界变差函数和不定积分，为今后继续学习做准备。二、教学原则与教学方法以讲解内容为主，使了解这部分内容，不要求掌握。6.3有界变差函数与不定积分（简单介绍）（2课时）6.4不定积分（简单介绍）（2课时）七、课程的考试与评估精心设计试题与试卷，使之真正反映学生的学习水平，课程考核按平时成绩（作业、出勤、测验或期中考试）占30%，期未考试占70%的方法来计算。认真评估，给学生恰如其分的成绩。通过详细填写“期末考试试卷分析表”，并结合学生的考试成绩对课程进行评估。八、课程的实践教学环节要求为了巩固所学习知识，理解和掌握《实变函数论》的思想方法，要求学生在学习过程中，独立完成相关习题60—70道。实践环节主要以习题练习的形式来实现。实践课以习题课的形式进行。九、教材：实变函数与泛函分析基础（第二版），程其襄等编，高等教育出版社，2004十、参考书：