《数学分析（三）》教学大纲

PAGEPAGE4《数学分析》（三）教学大纲一、课程名称：《数学分析》（三）二、课程性质：数学及应用数学专业、信息与计算科学专业的必修基础课与主干课。三、课程教学目的：使学生在一元微积分学的基础上，掌握多元微积分学的知识，提高对空间问题，复杂问题的处理能力，并为进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程打下坚实的基础。同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练，学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。四、课程教学原则与教学方法：课堂教学应具有：讲授、讨论、研究对多使学生掌握其基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、运算能力、分析问题解决问题的能力和创新能力。五、课程总学时：112学时六、课程教学内容及学时分配：第十三章多元函数的极限与连续（14学时）要求学生掌握平面点集和多元函数的有关概念；弄清二重极限与累次极限之间的区别和联系，深刻理解二元函数连续性；熟悉有界闭域上连续函数性质。1平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等）。平面点集的基本定理——区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。2二元函数概念。二重极限。累次极限。3二元函数的连续性。复合函数的连续性定理。有界闭域上连续函数的性质n维空间与n元函数（距离、三角不等式、极限、连续等）*第十四章多元函数的微分学（22学时）要求学生理解并掌握偏导数、全微分、方向导数和梯度等概念，能熟练地计算多元函数偏导数和全微分；弄清多元函数的偏导数存在、可微、连续三者之间的关系。记住混合偏导数与求导顺序无关的条件；会求二元函数极值。1可微性与全微分，偏导数及其几何意义。全微分概念。全微分的几何意义。全微分存在的充分条件。全微分在近似计算中的应用。2复合函数的偏导数与全微分。一阶微分形式的不变性。3方向导数与梯度。4高阶导数及其与顺序无关性。高阶微分。二元函数泰勒定理。5二元函数极值。第十五章隐函数定理及其应用（16学时）要求学生理解隐函数和隐函数组的概念，掌握隐函数（组）存在定理的条件和结论。会求平面曲线的切线和法线、空间曲线的切线与法平面、空间曲面的切平面与法线；会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。1隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导。2隐函数组概念。隐函数组定理。隐函数组求导。反函数与坐标变换。函数行列式。函数相关*3几何应用（平面曲线的切线和法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。4条件极值与拉格朗日乘数法。第十六章含参量积分（14学时）第十七章曲线积分（8学时）1第一型曲线积分。第十八章重积分（24学时）要求学生掌握二重积分与三重积分的定义和性质；能熟练运用适当的积分法计算二重积分和三重积分；熟悉重积分在几何方面的应用。要求学生掌握格林公式及曲线积分与路径无关的条件和它们的应用。1平面图形面积*。二重积分定义与存在性。2格林公式、曲线积分的与路径的无关性。3二重积分计算（化为累次积分）。二重积分的换元法（极坐标交换与一般交换）。4三重积分定义与计算。三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换）。5重积分应用（体积，曲面面积，重心，转动惯量等）。n重积分*。6无界区域上反常二重积分的收敛性概念。无界函数的反常二重积分。第十九章曲面积分（14学时）要求学生掌握第一型和第二型曲面积分概念和计算方法；掌握高斯公式、斯托克斯公式的条件和它们的应用。1第一型曲面积分概念计算。2第二型曲面积分概念计算。3奥斯特罗格拉特基-高斯公式。斯托克斯（Stokes）公式。4场论初步（场的概念、梯度场、散度场、旋度场、管量场与有势场）。七、课程的实践教学环节要求：为了以后的后续课程的需要，要求学生在学习的过程中，独立完成相关的习题，并写出一篇较高质量的学期论文。八、教材和主要参考书：1复旦大学数学系陈传璋编数学分析北京：人民教育出版社，2007年第3版。2刘玉琏、傅沛仁编数学分析讲议北京：高等教育出版社，1992年6月第3版。3华4张筑生编数学分析新讲北京：北京大学出版社1990年1月第一版。吉林大学数学系编数学分析。九、课程考试与评估精心设计试题与试卷，