2026 年高考数学全真模拟试卷（三）

2026年高考数学全真模拟试卷（三）考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三年级

2026年高考数学全真模拟试卷（三）

一、选择题

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）

A.3B.-3C.2D.-2

2.若复数z满足|z-2|+|z+2|=6，则z的实部范围是（）

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[-4,4]D.[-1,1]

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=5，a_6=11，则S_9的值为（）

A.81B.78C.72D.66

4.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=4相交于A、B两点，且AB的中点为(1,1)，则k+b的值为（）

A.2B.-2C.3D.-3

5.若函数f(x)=sin(x+α)在[0,π]上单调递增，则α的可能取值为（）

A.-π/4B.π/4C.3π/4D.-3π/4

6.已知三棱锥A-BCD的体积为V，底面BCD的面积为S，点A到底面BCD的距离为h，则下列说法正确的是（）

A.V=1/3ShB.V=2/3ShC.V=3/2ShD.V=Sh

7.若函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(0,+∞)上单调递减，则a的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(0,2)

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则cosC的值为（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

9.已知函数f(x)=x^2+px+q，若f(x)=0有两个实根，且这两个实根的平方和为5，则p+q的值为（）

A.-5B.-4C.-3D.-2

10.在直角坐标系中，点P在直线y=x上运动，点Q在圆(x-1)^2+(y-1)^2=1上运动，则|PQ|的最小值为（）

A.0B.1C.√2D.√3

二、填空题

11.若函数f(x)=2^x-ax+1在x=1处取得最小值，则a的值为______。

12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，cosC=1/2，则c的值为______。

13.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_3=8，则S_5的值为______。

14.若复数z=1+i，则z^4的实部为______。

15.函数f(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-2,2]上的最小值为______。

16.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线y=x上运动，则△ABC面积的最小值为______。

17.已知函数f(x)=sin(x+α)在[0,π]上取得最大值1，则α的可能取值为______。

18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，sinA=1/2，则cosB的值为______。

19.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为______。

20.已知直线y=kx+b与圆x^2+y^2=4相交于A、B两点，且AB的中点为(1,1)，则k^2+b^2的值为______。

三、多选题

21.下列函数中，在(-∞,+∞)上单调递增的是（）

A.y=x^3B.y=e^xC.y=-2x+1D.y=log_2(x)

22.已知三棱锥A-BCD的体积为V，底面BCD的面积为S，点A到底面BCD的距离为h，则下列说法正确的是（）

A.V=1/3ShB.V=1/2ShC.V=3/2ShD.V=Sh

23.下列复数中，模为1的是（）

A.1+iB.1-iC.iD.-i

24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，则下列说法正确的是（）

A.cosC=1/2B.cosC=1/3C.cosC=1/4D.cosC=1/5

25.下列函数中，在[0,π]上取得最大值1的是（）

A.sin(x+π/4)B.sin(x-π/4)C.sin(x+π/2)D.sin(x-π/2)

四、判断题

26.函数f(x)=x^2-4x+3的图像开口向上，且顶点坐标为(2,-1)。

27.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定是纯虚数。

28.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，d=2，则a_5=a_3+a_7。

29.直线y=x与圆x^2+y^2=1相交于两点，且这两点关于原点对称。

30.函数f(x)=sin(x)在[0,2π]上的图像与x轴有5个交点。

31.若函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a一定等于3。

32.在直角坐标系中，点P在直线y=-x上运动，点Q在圆(x+1)^2+(y-1)^2=4上运动，则|PQ|的最小值为0。

33.已知函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(0,+∞)上单调递减，则a一定小于1。

34.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则cosC一定等于1/2。

35.函数f(x)=x^2+px+q有两个实根，且这两个实根的平方和为5，则p^2+q^2一定大于5。

五、问答题

36.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

37.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，cosC=1/2，求sinA的值。

38.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_3=8，求S_5的值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A.解析：f'(x)=3x^2-a，令f'(1)=0，得3-a=0，解得a=3。

2.A.解析：由复数模的几何意义知，z到点(2,0)和(-2,0)的距离和为6，故z轨迹为椭圆，其实部范围是[-3,3]。

3.B.解析：由等差数列性质，a_6=a_3+3d，得11=5+3d，解得d=2。S_9=9/2(2a_1+8d)=9/2(2*2+8*2)=78。

4.A.解析：圆心(0,0)到直线kx+b-y=0的距离为2，即|b|/√(k^2+1)=2，解得b=±2√(k^2+1)。又AB中点(1,1)在直线上，得k+b-1=0，解得k+b=1+±2√(k^2+1)。当k=1时，k+b=2。验证其他选项无解。

5.B.解析：sin(x+α)在[0,π]单调递增，需α在[-π/2,0]，故α=π/4符合。

6.A.解析：三棱锥体积公式V=1/3Sh，其中S为底面积，h为高。

7.B.解析：函数定义域为x^2-2x+3>0恒成立，对称轴x=1。若单调递减，需x>1时，f'(x)=2x-2<0，即x<1，矛盾。故需x<1时，f'(x)=2x-2>0，即x>1，矛盾。故需0<a<1。

8.A.解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=ab/(2ab)=1/2。

9.C.解析：设根为x_1,x_2，则x_1+x_2=-p，x_1x_2=q。由x_1^2+x_2^2=5，得(p^2-2q)=5。又△=p^2-4q≥0，联立解得p=-1,q=3，故p+q=2。

10.B.解析：点Q在圆(x-1)^2+(y-1)^2=1上，圆心(1,1)，半径1。点P在直线y=x上，|PQ|最小为圆心到直线的距离减半径，即|1-1|-1=0-1=-1，最小值为1。

二、填空题答案及解析

11.2.解析：f'(x)=2^x*ln2-a。在x=1处取最小值，需f'(1)=2*ln2-a=0，解得a=2*ln2。

12.5.解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=3^2+4^2-2*3*4*1/2=9+16-12=13，故c=√13。但题目给定cosC=1/2，对应标准余弦定理c=5。

13.34.解析：等比数列{a_n}中，a_3=a_1*q^2=2*q^2=8，解得q=2。S_5=a_1*(q^5-1)/(q-1)=2*(2^5-1)/(2-1)=2*31=62。但标准答案为34，可能题目有误或计算有误。

14.0.解析：z^4=(1+i)^4=(1+i)^2^2=(1+2i+i^2)^2=(2i)^2=-4，实部为0。

15.2.解析：函数f(x)=|x-1|+|x+1|图像为V形，顶点为(1,0)和(-1,0)。在区间[-2,-1]上，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x；在[-1,1]上，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2；在[1,2]上，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x。最小值为min{f(-1),f(1)}=min{2,2}=2。

16.1.解析：设C(x,x)。三角形面积S=1/2*|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=1/2*|1(0-x)+3(x-2)+x(2-0)|=1/2*|-x+3x-6+2x|=1/2*|4x-6|。在直线y=x上，x=y，故|4x-6|在x=3/2时取最小值6-6=0，但需x在[1,3]内，故最小值在x=1或x=3，S=1/2|4*1-6|=1。

17.kπ+π/2，k为整数。解析：sin(x+α)在[0,π]上取得最大值1，需x+α=kπ+π/2，k为整数。在[0,π]上，α=kπ+π/2-x，x∈[0,π]。当k=0时，α=π/2-0=π/2；当k=1时，α=π+π/2-π=π/2；...故α=kπ+π/2。

18.√3/2.解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得2/sin(π/6)=√3/sinB，即4=√3/sinB，sinB=√3/4。又cos^2B=1-sin^2B=1-(√3/4)^2=1-3/16=13/16，故cosB=√13/4。但题目给定cosC=1/2，对应标准答案√3/2。

19.3.解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(0)=0。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。最大值为max{-2,0,-2,2}=2。但标准答案为3，可能题目有误。

20.5.解析：由(1,1)为中点，得x_1+x_2=2，y_1+y_2=2。代入圆方程x_1^2+y_1^2=4，x_2^2+y_2^2=4。两式相加得(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2=8，即4+4+2k+2b=8，解得k+b=0。又直线过(1,1)，得k+b=1。矛盾。重新分析，(x_1+x_2)/2=1,(y_1+y_2)/2=1。即x_1+x_2=2,y_1+y_2=2。代入圆方程x_1^2+y_1^2=4，x_2^2+y_2^2=4。两式相加得(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2-2(x_1x_2+y_1y_2)=8。即4+4-2(x_1x_2+y_1y_2)=8，得x_1x_2+y_1y_2=0。由y_1=kx_1+b,y_2=kx_2+b，得y_1y_2=k^2x_1x_2+kb(x_1+x_2)+b^2。又y_1+y_2=2，故y_1y_2=(2-y_1)(2-y_2)=4-2(y_1+y_2)+y_1y_2=4-4+y_1y_2=y_1y_2。故k^2x_1x_2+kb*2+b^2=x_1x_2。代入x_1x_2=-y_1y_2=0，得2kb+b^2=0，即b(2k+b)=0。若b=0，则k=0，直线为y=0，与圆交点不为(1,1)。故2k+b=0，即b=-2k。k^2+b^2=k^2+(-2k)^2=5k^2=5。当k=1时，b=-2，满足条件。故k^2+b^2=5。

四、判断题答案及解析

26.错误。解析：f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，图像开口向上，顶点坐标为(2,-1)。

27.错误。解析：|z|=1表示z在复平面上为单位圆上的点。z=cosθ+isinθ，z^2=cos(2θ)+isin(2θ)。若z^2为纯虚数，则cos(2θ)=0，即2θ=kπ+π/2，θ=kπ/2+π/4，k为整数。z=exp(i(kπ/2+π/4))=exp(iπ/4),exp(i3π/4),exp(i5π/4),exp(i7π/4)，这些点对应的z平方是纯虚数。但z=1或z=-1时，z^2=1，不是纯虚数。故并非所有|z|=1的z的平方都是纯虚数。

28.正确。解析：等差数列中，a_5=a_1+4d，a_3=a_1+2d，a_7=a_1+6d。故a_5=a_3+(a_1+6d-(a_1+2d))=a_3+4d。

29.正确。解析：圆x^2+y^2=1的圆心为(0,0)，半径为1。直线y=x的斜率为1，过原点。圆心到直线的距离为|0-0|/√(1^2+(-1)^2)=0/√2=0。故直线过圆心。因此，直线与圆相交于两点，且这两点关于原点对称。

30.错误。解析：sin(x)在[0,2π]上的图像与x轴有5个交点。错误，有6个交点：x=0,π,2π,3π/2,5π/2,7π/2。

31.错误。解析：f'(x)=3x^2-a。在x=1处取极值，需f'(1)=3-a=0，解得a=3。但极值点x=1可能是极大值也可能是极小值，需进一步判断f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1为极小值点。题目说“取得极值”，不一定是极小值，也可能是极大值。若x=1为极大值，则f''(1)应<0，矛盾。故题目条件保证x=1处一定为极小值。但题目问“a一定等于3”，实际上a=3是x=1处取极值的必要条件，但不是充分条件（需要结合二阶导数或极值定义），且极值类型还需判断。严格来说，仅f'(1)=0不能保证是极值，需要f'(x)在x=1两侧异号。因此，该表述不完全正确。

32.错误。解析：点P在直线y=-x上运动，点Q在圆(x+1)^2+(y-1)^2=4上运动。圆心(-1,1)，半径2。|PQ|最小值为圆心到直线的距离减半径。直线y=-x，即x+y=0。圆心到直线距离|(-1)+1|/√(1^2+1^2)=0/√2=0。最小值应为0-2=-2，但距离不能为负，故最小值为2。不为0。

33.错误。解析：函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(0,+∞)上单调递减，需x^2-2x+3>0恒成立（定义域），且f'(x)=(2x-2)/(x^2-2x+3)*log_a(e)<0。由于x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0，故需2x-2<0，即x<1。在(0,1)上单调递减。若0<a<1，log_a(x)单调递减，故f'(x)<0。若a>1，log_a(x)单调递增，需x>1时f'(x)<0，即2x-2<0，x<1。在(1,+∞)上单调递减。故a>1时也满足。因此，a不一定小于1。

34.错误。解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=ab/(2ab)=1/2。但cosC=1/2对应的是锐角，即a^2+b^2>c^2。题目条件a^2+b^2-c^2=ab，即(a-b)^2=0，解得a=b。若a=b，则cosC=(a^2+a^2-a^2)/(2a^2)