图形的相似-初中数学中考一轮分层训练 （含答案解析）2025-2026学年中考一轮复习

第第页图形的相似——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（）A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm2．如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB=23，若A．65 B．125 C．1853．在平面直角坐标系中，A−2,4，B1,3，现以原点O为位似中心画出A'B'，使A'BA．−1,2 B．−4,8C．−1,2或1,−2 D．−4,8或4,−84．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则A．12 B．1 C．2 D．5．如图，小明为了测量树AB的高度，在离B点8.2米的E处水平放置一个平面镜，小明沿直线BE方向后退4.1米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C）到地面的高度CD是1.6米，则树的高度AB为（）A．4.8m B．3.2m C．8m D．20m6．如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是.7．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若DEBC=138．如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：，使△AOB∽△COD．9．如图，△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，分别交CB、CD于点E和点F.（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6，CF10．如图，在▱ABCD中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F．（1）求证：△ABE∽△CFB；（2）若△DEF的面积为4，DFCF=211．如图，在等边△ABC中，点P、D分别是BC、AC边上的点，连接AP、PD，且∠APD=60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若BP=4，CD=3；求二、能力题12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB，A．23 B．733 C．513．如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（）A．S△DEF=14S△BCF B．S△ADE=1C．S△DBF=12S△BCF D．S△ADC＝S14．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，OA=AD．若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（）A．8 B．12 C．16 D．1815．已知abc=bA．2 B．3 C．4 D．616．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，BC=22，分别以AB，BC为直角边，以B为直角顶点向△ABC外部作Rt△ABD和Rt△CBE，且∠DAB＝∠E，M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AD=33，则MN的长度为17．如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F若AB=2，则AF=.18．如图，在△ABC中，AB=6，CA=4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AB上一点，连结DE交AC于点F，将线段DE绕点D逆时针旋转至DE'，使得∠EDE'=∠ADC，若BDAC=1

20．如图，在△ABC中，AB＝32，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．（1）AC的长为．（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．21．如图，矩形ABCD中，AB＜AD.（1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若AB=2,AD=4,，求（1）中所作的正方形的边长.三、拓展题22．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下：实践报告活动课题测量河的宽度活动工具标杆、卷尺测量过程如图，为了测量河的宽度AB，小康所在的数学兴趣小组设计了如下测量方案：【步骤一】小康站在河岸BD的点B处立了一根标杆BC(BC⊥BD)；小明站河岸的另一端点D处，立了另一根标杆DE(DE⊥BD)；【步骤二】小英适当调整自己所处的位置，在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，E恰好在同一条直线上；【步骤三】其他同学用卷尺测出标杆BC、DE及河岸BD的长；【步骤四】记录数据(单位：m)标杆BC1.5标杆DE1.8河岸BD10解决问题根据以上数据计算河的宽度．请你帮助兴趣小组解决以上问题．23．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即CBAC（1）【问题初探】如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．∵CBAC∴⋯⋯请补全以上解题过程；（2）【问题再探】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（3）【知识迁移】如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；（4）【延伸拓展】如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．24．综合与实践（1）【初步感知】如图①，△ABC和△ADE中，∠C=90°，AE⋅AB=AD⋅AC，∠CAD=∠EAB，求∠E的度数；（2）【深入探究】如图②，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是线段BC上一点，连接AE，过点A在AE上方作FA⊥EA，使S△AEF=12S矩形ABCD，连接（3）【学以致用】如图③，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=8，BC=16，点E是线段AB的中点，点F是线段BC上一点，连接EF，过点E在EF上方作GE⊥FE，使S△EFG=18S

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：设较小三角形的周长为xcm，则较大三角形的周长为(48-x)cm，

∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，

∴x：(48-x)=6：10，

解得x=18，

即较小三角形的周长为18cm.故答案为：B.

【分析】设较小三角形的周长为xcm，则较大三角形的周长为(48-x)cm，根据相似三角形的性质得到x：(48-x)=6：10，然后利用比例的性质求出x即可解答.2．【答案】C【解析】【解答】解：∵DE∥BC∴∵AC=6，

∴∴∴CE=185【分析】

本题考查平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。在三角形中，若一条直线平行于三角形的一边，截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，根据平行线分线段成比例定理。结合DE∥BC可得：ADDB=AE3．【答案】C【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心画出A'B'，使A'B而A−2,4∴A的对应点A'的坐标为−2×12即−1,2或1,−2．故选：C．【分析】根据位似图形性质即可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵DE∥BC

∴ADDB故答案为：B.

【分析】先由平行线分线段成比例定理得ADDB=AE5．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得：AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABE=∠CDE=90°，由光的反射原理可得：∠AEB=∠CED，∴△AEB∽△CED，∴AB∵BE=8.2米，DE=4.1米，CD=1.6米，∴AB∴AB=3.2米．故答案为：B．

【分析】由垂直定义得∠ABE=∠CDE=90°，由光的反射原理可得∠AEB=∠CED，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEB∽△CED，再利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.6．【答案】1：3【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，△AOB与△COD，OB和OD是对应边；

由图可知OB=2，OD=6；

相似比为对应边的比，即△AOB与△COD的相似比=OBOD=26=故答案为：1：3.【分析】通过坐标系确定△AOB与△COD对应边OB、OD的长度，计算其比值得到相似比。7．【答案】19【解析】【解答】解：∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴S故答案为：1【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.8．【答案】AB∥CD（答案不唯一）【解析】【解答】题中已给出一组对顶角相等，我们只要再给出另一组对应角相等，或两组对应边成比例即可．∵∠COD=∠AOB，∴只要∠OAB=∠OCD，∠ODC=∠OBA，∠OAB=∠ODC，∠OCD=∠OBA，AB∥CD等等，其中一项符合即可，答案不唯一．【分析】由图知，∠COD=∠AOB，根据相似三角形的判定添加的条件可以是∠A=∠C（答案不唯一，只要符合相似三角形的判定定理即可）。9．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠DCB=9∵CD⊥AB∴∠B+∠DCB=9∴∠ACD=∠B∵AE平分∠CAB∴∠CAE=∠EAB∴△ACF∽△ABE（2）解：∵△ACF∽△ABE∴∴6AB=∵∠ACB=9∴BC=【解析】【分析】(1)根据等角的余角相等以及角平分线的定义即可证明△ACF∽△ABE；

(2)利用相似三角形的性质可求AB，再由勾股定理求解。10．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC,∠A=∠C，

∴∠CBE=∠E，

∴△ABE∽△CFB。（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD,AB=CD，

∴△DEF∽△AEB，

∵DFCF=23

∴DFCD=DFAB=2【解析】【分析】（1）本题首先根据平行四边形的性质得出AD∥BC,∠A=∠C，然后结合平行线的性质得出∠CBE=∠E，最后利用AA即可证明三角形相似；（2）首先结合平行四边形的性质以及平行关系，即可得出△DEF∽△AEB，从而得出对应边成比例DFCD=DFAB=（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,∠A=∠C，∴∠CBE=∠E，∴△ABE∽△CFB；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD，∴△DEF∽△AEB，∵DF∴DFCD∴S∵S∴S11．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠BPA=120°，∵∠APD=60°，∴∠CPD+∠BPA=120°∴∠BAP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD．（2）解：由（1）△ABP∽△PCD，∴ABCP=即AB4∴AB=16．【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠B=∠C=60°，根据三角形内角和定理可得∠BAP+∠BPA=120°，根据补角可得∠CPD+∠BPA=120°，则∠BAP=∠CPD，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.

（2）根据相似三角形性质可得ABCP=BP（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠BPA=120°，∵∠APD=60°，∴∠CPD+∠BPA=120°∴∠BAP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD．（2）由（1）△ABP∽△PCD，∴ABCP=即AB4∴AB=16．12．【答案】A【解析】【解答】解：延长BE，AC交于点F，

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，

∴∠ABC=90°-30°=60°，

∵tan∠ABC=ACBC=tan60°，

∴AC=3BC；

∵BE⊥AD，

∴∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，

∴点A，C，E，B四点共圆，

∵CE⏜=CE⏜，

∴∠CAD=∠CBF，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD，

∠F=90°-∠CAD，∠ABF=90°-∠BAD，

∴∠F=∠ABF，

∴AF=AB，

∵AE⊥BF，

∴BE=EF即BF=2BE；

∵∠BCF=∠ACD，

∴△ACD∽△BCF，

∴【分析】延长BE，AC交于点F，在Rt△ABC中，可求出∠ABC的度数，利用解直角三角形可得到AC与BC的数量关系，再证明∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，可证得点A，C，E，B四点共圆，利用圆周角定理可证得∠CAD=∠CBF，利用角平分线的概念可推出∠CAD=∠BAD，同时可证得∠F=∠ABF，利用等角对等边可证得AF=AB，利用等腰三角形的性质可得到BF=2BE；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACD∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出结果.13．【答案】B【解析】【解答】解：由题知，因为BE，CD为△ABC的中线，所以点F为△ABC的重心，所以DE∥BC,DE=所以△DEF∽△CBF,所以S所以S故A选项不符合题意.因为DE‖BC,所以△ADE∽△ABC,所以S所以S△ADE故B选项符合题意.因为点F为△ABC的重心，所以DF=所以S故C选项不符合题意.因为DE∥BC，所以，S所以，S故D选项不符合题意.故答案为：B.

【分析】根据重心的性质，结合相似三角形的判定与性质，对所给选项依次进行判断即可.14．【答案】C【解析】【解答】解：∵OA=AD，∴2OA=OD，∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，∴△OAB∽△ODE，∴AB∴S∵S∴S故答案为：C．【分析】根据根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△OAB∽△ODE，根据相似三角的形的性质得到ABDE15．【答案】D【解析】【解答】解：∵abc=bac=cab=2，

∴a2abc=b2abc=c2abc故答案为：D.【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.16．【答案】57【解析】【解答】解：连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P

∵AB＝3，AD=33，∠ABD=90°

∴BD=332−32=32

∵M，N分别时AD，CE的中点，∠ABD=∠CBE=90°

∴BM=12AD=AM=332，BN=12CE=CN

∴∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN

∵∠DAB=∠E，∠CBE=∠E+∠BCE=90°

∴∠CBN+∠ABM=90°

∵∠ABC=30°

∴∠MBN=30°+90°=120°

∴∠PBN=60°

∵∠P=90°

∴∠PMB=30°

∴PB=12BM=334

∴故答案为：57【分析】连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P，根据勾股定理可得BD，根据直角三角形斜边上的中线性质可得BM=12AD=AM=17．【答案】1【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD=AB=2，∴△AEF∽△DEC，∴AFCD∵DE=2AE，∴AF2∴AF=1，故答案为：1．【分析】利用平行四边形的性质得AB∥CD，CD=AB=2，然后推理得到△AEF∽△DEC，根据对应边成比例解答即可．18．【答案】3或43【解析】【解答】解：∵点D为AC中点，CA=4，

∴AD=2，

∵△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似：

①当AEAD=ABAC时，

∵∠A=∠A，

∴∆AED~∆ABC，

∴AE=AB×ADAC=6×24=3，

②当ADAE=ABAC时，

∵故答案为：3或43【分析】先由中点的定义得到AD=2，由题干△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似，分AEAD=AB19．【答案】9【解析】【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转至DE'，

∴ED=E'D，

∴∠DEE'=∠DEO=12(180°-∠EDE')，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=DC=AB，

∴∠DAO=∠DCO=12(180°-∠ADC)，

∵∠EDE'=∠ADC，

∴∠DEE'=∠DAO，

∵∠AFD=∠EFO，

∴△AFD∽△EFO，

∴AF：EF=FD：FO，

∴AF：FD=EF：FO，

∵∠AFE=∠DFO，

∴△AFE∽△DFO，

∴∠AEF=∠DOF=90°，

∵BDAC=12，

∴设BO=a，则AO=2a，

∴AD=AB=OA2+OB2=5a.

∵S△ABD=2×12OA·OB=12AB·DE，

∴2×12×2a·a=12故答案为：931

【分析】先利用菱形的性质，证明△AFD∽△EFO，列出比例式，设BO=a，利用勾股定理用a表示出AD，再通过求S△ABD，求出用a表示DE，再利用勾股定理求出AE，然后求出S△AEFS△AOB20．【答案】（1）7（2）解：当D在线段AB上运动时，y=1当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，∵FP'BP，∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，∴△CFP∽△CBP，∴CP'CP∴7−x4解得：FP'=21−3x∴y＝S△APD+S梯形PP'FB=12x2+3+21−3x42∴y=1（3）解：当正方形APDE的对称中心与点B重合时，∴AD=2AB=62∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，即2AP2＝72，解得：AP＝6，∴x＝6．【解析】【解答】解：（1）当B，D重合时，如下图：∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，AB2=A解得：AP＝3（负的舍去），∵BC＝5，∠DPC＝90°，∴PC=B∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，故答案为：7；

【分析】（1）根据勾股定理求出AP长，进而求出PC的值解答即可；

（2）分为点D在线段AB上运动和D在线段AB的延长线上运动两种情况，利用相似三角形的判定和性质表示面积即可；

（3）画出图形，根据勾股定理解答即可.21．【答案】（1）解：如图，四边形EFGH就是所求作的正方形.​​​​​​​（2）解：连接EG交BD于点O.∵四边形EFGH是正方形，∴OE=OG.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC.∴ODOB∴OB=OD.在Rt△ABD中，AB=2，AD=4，∴BD=∴OD=12∵四边形EFGH是正方形，∴EG⊥FH，∴∠DOE=∠DAB=90°.又∵∠ODE=∠ADB，∴△EOD∽△BAD，∴OEAB∴OE=5在Rt△EOH中，OE=OH，∴EH=2OE=即正方形EFGH的边长为10【解析】【分析】（1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可；

（2）利用勾股定理求出BD，OD，再根据△EOD∽△BAD，利用边的比例关系求解即可.22．【答案】解：∵BC⊥BD,DE⊥BD，

∴∠ABC=∠BDE=90°，

∴BC∥DE，

∴△ABC∽△ADE，

∴BCDE=ABAD，

∵BC=1.5，DE=1.8，BD=10，

∴1.51.8=ABAB+10，

【解析】【分析】先推出BC∥DE，得△ABC∽△ADE，根据相似三角形对应边成比例性质求出AB的值即可.23．【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．∴ACAB即x1解得x=5即黄金比为5（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，∵点C为线段AB的黄金分割点，∴ACAB∴CDAB∴△EAB∽△BCD（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，∴△AME∽△AED，∴AE：AD＝AM：AE，∴AE2＝AD•AM，∵AE＝DE＝DM，∴DM2＝AD•AM，∴点M是AD的黄金分割点【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程x1=1−xx，求解即可；

（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为5−1的线段，斜边AB的长为5，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则AD=5−1，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则AE=5−1，故点E是AC的黄金分割点；

（3）由点C是AB