8.一元二次方程-初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

第第页一元二次方程——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．关于x的一元二次方程x2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能判定2．2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（）A．100(1+x)2=600C．100+100(1+x)=600 D．100+100(1+x)+1003．若关于x的一元二次方程a+2x2+x+a2A．2 B．−2 C．2或−2 D．14．若方程x2−5．已知x1，x2是方程.2x2−3x+1=0的两根，则代数式x6．解下列一元二次方程：（1）（x-1）2=2；（2）x2=8x+9；（3）（x+4）（x-2）=3（x-2）；（4）2x2-x-5=0.7．解下列方程：（1）(x+1)2（2）x28．“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数．9．已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x=0，且m为正数，求m的值．10．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y=14x+25（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）．二、能力题11．正比例函数y=mx的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程x2A．有两个不相等的实数根 B．有实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根12．若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简16−8a+aA．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定13．某网络学习平台2021年的新注册用户数为81万，2023年的新注册用户数为144万．设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则有（）A．81（1＋2x）＝144 B．81（1＋x2）＝144C．81（1＋x）2＝144 D．144（1－x）2＝8114．已知x1，xA．x1≠x2 B．x1215．定义新运算：a⊗b=a2−b(a≤0)−a+b(a>0)例如：−2⊗4=(−2)2−4=016．如果x=2是方程x2−c=0的一个根，这个方程的另一个根为17．解方程：（1）x−32（2）2xx−318．解方程：（1）x2（2）xx+119．已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值.20．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？三、拓展题21．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC=（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ=BQ?22．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2（1）写出一元二次方程x2+3x−10=0的“友好方程”（2）已知一元二次方程x2+3x−10=0的两根为x1=2，x2=−5，它的“友好方程”的两根x3=12、x4=．根据以上结论，猜想ax（3）已知关于x的方程2021x2+bx−c=0的两根是x1=−1，x

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵一元二次方程为x2+mx−1=0，

∴△=m2-4×1×（-1）=m2+4，

∵△=m2+4＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根，

故答案为：A.

【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；2．【答案】D【解析】【解答】解：设浏览量平均每月增长率为x，由题意得：

100+100(1+x)+100(1+x)故答案为：D．

【分析】准确理解题目中的增长模式，并据此列出符合实际情况的方程即可．3．【答案】A【解析】【解答】解：a+2x2+x+∴a+2≠0，即a≠−2由一个根x=0，代入a+2x可得a2−4=0，解之得a=±2由①②得a=2；故选：A.

【分析】根据题意得到a+2≠0，a24．【答案】k≥1【解析】【解答】解：∵方程x2∴Δ=∴k>−3；又∵k−1≥0，∴k≥1，综上：k≥1；故答案为：k≥1.

【分析】根据一元二次方程根的情况，若方程有两个不相等的实数根，列出判别式大于零，再根据二次根式的有意义的条件，进行求解即可．5．【答案】1【解析】【解答】解：∵x1+x2=3故答案为：1.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，将所求的值代入代数式即可求解.6．【答案】（1）解：（x-1）2=2

两边开平方可得：x+1=±2

解得：x1（2）解：x2=8x+9

移项可得：x2-8x-9=0

∴(x+1)(x-9)=0

∴x+1=0或x-9=0

解得：x1=-1，x2=9（3）解：（x+4)(x-2）=3(x-2)

移项可得：(x+4)(x-2)-3(x-2)=0

∴(x+4-3)(x-2)=0

∴x+4-3=0或x-2=0

解得：x1=-1，x2=2（4）解：2x2-x-5=0

∴x=1±−12−4×2×−5【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.

（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.

（3）根据因式分解法解方程即可求出答案.

（4）根据公式法解方程即可求出答案.7．【答案】（1）解：原方程即为(x+1)2两边开平方，得x+1=±9，解得：x1=8，（2）解：原方程可变形为x−1x+5=0，

∴x−1=0或x+5=0，

解得：x1【解析】【分析】（1）将81移项后，可以利用直接开平方法进行计算，得出x+1=±9，然后求解即可；（2）将原方程利用十字相乘法因式分解，变形得到x−1x+5（1）解：原方程即为(x+1)2两边开平方，得x+1=±9，解得：x1=8，（2）解：原方程可变形为x−1x+5∴x−1=0或x+5=0，解得：x1=1，8．【答案】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是x，

根据题意可列方程为：16（1+x）2=25，

解得：x=0.25或x=-2.25（不符合题意，故舍去），

∴0.25=25%，

答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是25%.（2）解：根据题意可知，7月份的游客人数=25×（1+25%）=25×1.25=31.25万人，

答：7月份的游客人数是31.25万人.【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，根据4月份和6月份的游客人数列出一元二次方程，求解即可得出答案；（2）由（1）可知月增长率，据此列式计算即可得出答案.（1）解：设月平均增长率为x由题意可得16解得x1=0.25，答：这两个月平均增长率为25%（2）25×(1+25%答：7月份的游客人数为31.25万人．9．【答案】（1）证明：∵△=(−3m)∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵该方程的一个根为x=0，∴m2∵m是正数，∴m=【解析】【分析】(1)求出判别式Δ=−3m(2)将x=0代入方程，解关于m的方程可得m的值.10．【答案】（1）解：设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为p=kx+b，代入数据得：k+b=782k+b=76解得：k=−2b=80∴日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为p=−2x+80；（2）解：设日销售利润用w表示，w=(−2x+80)(=−=−1当x=10时，销售利润最大，w最大=450元；（3）解：∵p=−2x+80，k=-2＜0，y随x的增大而减小，∴x=1时，p最大=−2×1+80=78盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），∵y=14x+25，k=14＞0∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，根据题意：(30−a−20)(78+7a)=450+30，整理得7a解得a1∴a的值为6．【解析】【分析】（1）设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为p=kx+b，利用待定系数法可求得函数关系式；

（2）设日销售利润用w表示，根据题意可得w=(−2x+80)(14x+25−20)=−12(x−10)11．【答案】A【解析】【解答】解：∵正比例函数y=mx的图象过第二、四象限，∴m<0，∵x∴Δ∴方程x2故选：A．【分析】由正比例函数的图象与系数的关系可得m<0，再利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．12．【答案】B【解析】【解答】解：∵方程x2＋4x＋a＝0无实根，∴Δ＝42﹣4a＜0，∴a＞4，16−8a+a2＝∵a＞4，∴|4﹣a|＝a﹣4，故答案为：B．【分析】根据一元二次方程无实根的条件可得△<0，据此列不等式求出a的范围，然后根据二次根式的性质“a213．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：81（1＋x）2＝144.

故答案为：C.

【分析】根据2021年的新注册用户数×（1+增长率）2=2023年的新注册用户数，列出方程即可.14．【答案】D【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−2x=0的两个实数根，

∴x1+x2=2，x1⋅x215．【答案】74或【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=−34，

∴x2=14，

解得x1=12(舍去)，x2=−12；

当x＞0时，由新运算可得-x+1=−34，

解得x=故答案为：74或−【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.16．【答案】x=-2【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x2，则2+x2=0，解得x2=-2，故答案为：x=-2.【分析】设方程的另一个根为x2，利用根与系数的关系得到2+x2=0，即可求出另一个根.17．【答案】（1）解：x−32x−3=±3，x−3=3或x−3=−3，∴x1=6，（2）解：2xx−32xx−3x−32x−1x−3=0或2x−1=0，∴x1=3，【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.

（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.（1）解：x−32x−3=±3，x−3=3或x−3=−3，∴x1=6，（2）解：2xx−32xx−3x−32x−1x−3=0或2x−1=0，∴x1=3，18．【答案】（1）解：x2−1=0，

移项，得解得：x1（2）解：xx+1移项，得xx+1−2x+1=0，

方程左边分解因式，得x−2x+1=0，解得x1【解析】【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方求解；（2）先移项，再利用提公因式法分解因式，得到两个一元一次方程求解．（1）解：∵x2∴x2解得x1（2）解：∵xx+1∴xx+1∴x−2x+1∴x+1=0或x−2=0，解得x119．【答案】（1）证明：Δ=b∵12m∴4+12m∴该方程总有两个不相等的实数根（2）解：∵方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，α+β=2，α⋅β=−3m∵α+2β=5，∴α=5−2β，∴5−2β+β=2，解得：β=3，α=−1，∴−3m2【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；

（2）由根与系数关系可知α+β=2①，α⋅β=−3m2②，由α+2β=5③，联立①③可求出α，β的值，再代入20．【答案】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为y=kx+b，把点（25，50）和点（35，30）代入，得

25k+b=5035k+b=30，解得k=−2b=100，

∴一次函数的解析式为（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，则(x−10)×(−2x+100)=600，

解得：x1=40，x2=20（3）解：根据题意，则w=(x−10)×(−2x+100)，

整理得：w=−2(x−30)2+800；

∵−2<0，

∴当x=30时，w有最大值，最大值为800；【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）设当天玩具的销售单价是x元，再根据利润=单利润×销售量列一元二次方程，解方程即可；（3根据利润=单利润×销售量列w与x的函数关系式，然后化为顶点式求出最值解题即可．（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为y=kx+b，把点（25，50）和点（35，30）代入，得25k+b=5035k+b=30，解得k=−2∴一次函数的解析式为y=−2x+100；（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，则(x−10)×(−2x+100)=600，解得：x1=40，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）解：根据题意