17.相交线与平行线-初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

第第页相交线与平行线——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．如图，直线a∥b，直线c分别与直线a，b交于点A，B，以点A为圆心，任意长为半径画弧交直线c于M，N两点，分别以点M，N为圆心，大于12A．35° B．45° C．55° D．65°2．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接最出A，B间的距离。为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：方案1①如图1，选定点O；②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接BO，并延长到点D，使OD=OB：③连接DC，测量DC的长度即可。方案2①如图2，选定点O：②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA：③连接EF，测量EF的长度即可。对于方案1和方案2，下列说法正确的是（）A．1、2都不可行 B．1不可行、2可行C．1可行、2不可行 D．1、2都可行3．如图，∠1和∠2是同位角的是（）A． B．C． D．4．如图，在△ABC中，BC=6，AB=4，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为（）A．8 B．9 C．10 D．115．如图，平行线a，b被直线c所截，若∠1=45°，则∠2等于()A．35° B．65° C．55° D．45°6．如图，当∠=∠时，AB∥CD．7．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=7，∠ABC的平分线交AD于E，交CD8．如图、点A、E、F、C在同一直线上，AD//BC，AD=CB，AE=CF．求证：∠B=∠D．9．如图，已知∠1=40°，∠B=50°，AB⊥AC，AD=BC．（1）求证：AD//（2）求∠D的度数．10．如图，C是线段AB的中点，.∠A=∠ECB,CD‖BE.（1）求证：△DAC≅△ECB;（2）连接DE，若AB=16,求DE的长.二、能力题11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）．A．15° B．20° C．30° D．40°13．如图，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射向水中时，要发生折射现象．在相同介质中光线是平行的．如图，水面与杯底互相平行，若∠1=45°，∠2=120°，则A．90° B．105° C．120° D．135°14．如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝36°，AB＝10，则CD的长等于（）A．20π B．74π C．715．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB=1，∠EBC=30°，则△ABF的面积为.16．如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为.17．如图，在△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．18．已知：如图：在△ABC中，D，F分别为边AB、BC的中点，∠AED＝∠DFB．求证：（1）△AED≌△DFB；（2）∠C＝∠EDF．19．如图．在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线对称．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE=3，AD=5，求线段OC长．20．如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD=5．求证：△ADE≅△FCE，并求BF的长.三、拓展题21．项目学习项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底，从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.项目主题景物的测量与计算驱动问题如何测量内栏培围成泉池的直径活动内容利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算交流过程方案说明图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上.图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE，CF均表示步道的宽，BE=CF图中各点都在同一竖直平面内.数据测量在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计.计算……交流展示……请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).22．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．活动主题测量纪念碑的高度实物图和测量示意图测量说明如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N,E,测量数据DE=2备注点F,根据以上信息，解决下列问题．（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA，请说明理由．（2）求纪念碑AB的高度．（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．23．开启作角平分线的智慧之窗（1）问题：作∠AOB的平分线OP作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得OP为∠AOB的平分线；讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是；对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②；对丙同学的作法陷入了沉思．（2）任务：①请你将上述讨论得出的依据补充完整；②完成对丙同学作法的验证．已知∠AED=∠AOB，EP=EO，求证：OP平分∠AOB．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：如图，

∵a∥b，

∴∠DAP=∠1=55°，

根据作图可得AP⊥c，

∴∠PAN=90°，

∴∠2=90°-∠DAC=90°-55°=35°，

故答案为：A.

【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠DAP=∠1=55°，然后根据作图可得AP⊥c，然后根据角的和差解答即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：方案1：在△AOB与△COD中，

AO=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，

∴△AOB≅△COD(SAS)，

∴AB=CD.

方案2：在△AOB与△EOF中，

AO=EО，

∠AOB=∠EOF，

OB=OF

∴△AOB≅△EOF(SAS)，

∴AB=EF.故答案为：D.

【分析】根据已知条件发现方案1，方案2都可以利用SAS证明两个三角形全等，即两种方案都可行，由此即可解答.3．【答案】D【解析】【解答】解：A：∠1和∠2是内错角，不符合题意；B：∠1和∠2不是同位角，不符合题意；C：∠1和∠2是同旁内角，不符合题意；D：∠1和∠2是同位角，符合题意.故答案为：D.【分析】同位角的判定需满足两条直线被第三条直线所截，且两个角位于截线的同侧，被截直线的同方向。观察各选项中∠1与∠2的位置关系，判断是否符合“F”型结构。观察选项图示：

-A选项中两角位于被截直线内侧，形成“Z”型，为内错角；

-B选项中两角位于截线两侧，不符合同位角定义；

-C选项中中两角位于截线两侧且同旁，构成“U”型，为同旁内角；

-D选项∠1与∠2位于截线同侧，且分列两条直线的同方向，呈现“F”型.4．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得：MN∥BC，∴∠AMN=∠ABC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠MBE，∴∠AMN=2∠MBE，∵∠AMN=∠MBE+∠MEB，∴∠MBE=∠MEB，∴MB=ME，同理，NC=NE，∴C故选：B．【分析】根据直线平行性质可得∠AMN=∠ABC，再根据角平分线定义可得∠ABC=2∠MBE，根据三角形外角性质可得∠AMN=∠MBE+∠MEB，则∠MBE=∠MEB，根据等角对等边可得MB=ME，同理，NC=NE，再根据三角形周长即可求出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，∵a∥b∴∠3=∠1=45°，∴∠2=∠3=45°．故答案为：D．【分析】根据平行线的性质推出∠3=∠1，由对顶角的性质得到∠2=∠3即可．6．【答案】1；2【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠4，故当∠1=∠4时，AB∥CD，故答案为：1，4．【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.7．【答案】4【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD=BC=7，AB=CD=3，

∴∠ABE=∠CFE，

∵∠ABC的平分线交AD∴∠ABE=∠CBF，∴∠CBF=∠CFB，∴CF=BC=7，∴DF=CF−CD=7−3=4故填：4．【分析】本题着重考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质.在平行四边形中出现角平分线时，构造等腰三角形是解题的关键.本题充分体现了平行四边形性质在几何线段长度求解中的应用，是对学生几何推理能力的考查．8．【答案】证明：∵AD∥BC

∴∠A=∠C

∵AE=CF

∴AE+EF=EF+FC，即AF=CE

在△ADF和△CBE中

AD=CB∠A=∠CAF=CE

∴△ADF和△CBE(SAS)

【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠A=∠C，再根据边之间的关系可得AF=CE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.9．【答案】（1）证明：∵AB⊥AC

∴∠BAC=90°

∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠B=50°

∴∠ACB=40°=∠1

∴AD（2）解：∵AD//BC，AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

【解析】【分析】(1)利用三角形内角和定理可求出∠ACB=40°，再根据平行线的判定说明AD//BC；10．【答案】（1）证明：∵C是线段AB的中点，

∴AC=CB，∵CD∥BE，

∴∠DCA=∠B，在△DAC和△ECB中，∠A=∠ECBAC=BC∴△DAC≅△ECBASA（2）解：∵AB=16，C是线段AB的中点，

∴BC=12AB=8，

∴CD=BE，又∵CD∥BE，

∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE=BC=8.【解析】【分析】（1）先根据线段中点定义以及平行线性质得AC=CB，∠DCA=∠B，根据全等三角形判定定理”ASA“得证结论；

（2）先求出BC=8，根据全等三角形对应边相等得CD=BE，于是证出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到DE的长.11．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线

∴CD=12AB

∴CD=AD=BD

∴∠B=∠BCD

∵AD=CD，DE⊥AC

∴∠ADE=∠CDE

∵∠A+∠ADE=90°，∠A+∠B=90°故答案为：C【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCD，根据等腰三角形性质可得∠ADE=∠CDE，再根据余角定义即可求出答案.12．【答案】B【解析】【解答】解：延长FA与直线b交于点H，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠F=(6−2)×18∴∠2=∠H,∵a‖b,∴∠3=∠H,∴∠2=∠3=180∘−∠F−∠1=180∘−12故答案为：B.【分析】延长FA与直线b交于点H，先求出正六边形的内角∠F的度数，再由平行线的性质得到∠2=∠3,然后根据三角形内角和定理求解即可.13．【答案】B【解析】【解答】解：添加辅助字母，如图所示：

∵在相同介质中光线是平行的，∴a∥b，∴∠4=∠1=45°，∵AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，∴∠3=180°−∠2=180°−120°=60°，∴∠3+∠4=45°+60°=105°，故答案为：B．

【分析】先根据两直线平行，同位角相等可判断∠1=∠4，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠3，再进行计算即可.14．【答案】D【解析】【解答】解：连接AC，如图所示

∵AB=AD

∴∠ABD=∠ADB=36°

∵l1∥l2

∴∠CBD=∠ADB=36°

∵∠ABC=∠ABD+∠CBD

∴∠ABC=36°+36°=72°

∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-72°=108°

∵AB=AC

∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-72°-72°=36°

∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=108°-36°=72°

lCD⏜=7218015．【答案】3【解析】【解答】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABC=90°

∴∠ABC=∠FMC

∴AB∥FM

∵S△ABF=12AB·FN，S△ABM=12AB·BM

∴S△ABF=S△ABM

∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=BC，∠EBC=30°

∴故答案为：3【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，根据正方形性质可得∠ABC=90°，再根据直线平行判定定理可得AB∥FM，根据三角形面积可得S△ABF=S△ABM，根据含30°角的直角三角形性质可得16．【答案】43°【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°，∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，∵GD∥HF，∴∠OFH=180°-∠DOF=180°-47°=133°∵FI是⊙O的切线，∴OF⊥FI，∴∠OFI=90°，∴∠IFH=133°-90°=43°，故答案为：43°.【分析】根据平行线的性质求出∠OFH，根据切线的性质得到∠OFI=90°，进而求出∠IFH即可.17．【答案】3【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接ME，

∵∠BAC的平分线交BC于点D，

∴∠EAM=∠NAM，

在∆AME与∆AMN中

AE=AN

∠EAM=∠NAM，

AM=AM

∴∆AME≅∆AMN（SAS），

∴ME=MN，

∴BM+MN=BM+ME≥BE，

∵BM+MN有最小值，

∴当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，

又AB=6，∠BAC=30°，

∴BE=3，

∴BM+MN的最小值是3.故答案为：3.

【分析】在AC上截取AE=AN，连接ME，由角平分线的定义得∠EAM=∠NAM，即可由SAS证明∆AME≅∆AMN，再根据BM+MN有最小值，可知当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，再利用30°直角三角形的性质计算即可解答.18．【答案】（1）证明：∵点D、F分别为AB、BC的中点，∴DF∥AC，AD＝BD，∴∠A＝∠FDB，在△AED和△DFB中，∠AED=∠DFB∠A=∠FDB∴△AED≌△DFB（AAS）（2）证明：由（1）知：△AED≌△DFB，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠DFB，∵DF∥AC，∴∠C＝∠DFB，∴∠EDF＝∠C．【解析】【分析】（1）根据根据三角形中位线定理可得DF∥AC，AD＝BD，再根据直线平行性质可得∠A＝∠FDB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.

（2）根据全等三角形性质可得∠ADE＝∠B，根据直线平行性质可得∠EDF＝∠DFB，∠C＝∠DFB，则∠EDF＝∠C，即可求出答案.19．【答案】（1）证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称，BD⊥AC，BO=DO，∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，在△ABO和△CDO中，∠ABO=∠CDO,∴△ABO≅△CDO（ASA），∴AB=CD，又AB∥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，又BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形（2）解：由(1)得：四边形ABCD是菱形，∴OC=OA=1∴BE=BC+CE=5+3=8，∵DE⊥BC，∴∠DEB=90在Rt△CED中，由勾股定理得：DE=C在Rt△BED中，由勾股定理得：BD=B∵S菱形ABCD=DE⋅BC∴DE⋅BC=OC⋅BD，∴OC=DE⋅BC【解析】【分析】

(1)根据轴对称的性质和平行线的性质，利用ASA证明△ABO≅△CDO，利用全等三角形的性质和已知条件课判定四边形ABCD是平行四边形，从而可解答；

（2）根据菱形的性质和线段的和差可得BE=8，利用勾股定理计算得到DE，BD的长；再根据菱形的面积公式计算即可解答.20．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC//AD，BC=AD=5，

∴∠D=∠FCE，

∵E是CD的中点，

∴DE=CE，

在∆ADE和∆FCE中，

∠D=∠FCEDE=CE∠AED=∠FEC

∴△ADE≅∆FCE(ASA)，

∴FC=AD=5，

【解析】【分析】现根据平行四边形的性质得到BC//AD，BC=AD=5，再利用平行线的性质得到∠D=∠FCE，结合中点的定义得到DE=CE，即可由ASA证明△ADE≅∆FCE(ASA)，再由全等三角形的性质即可解答.21．【答案】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形.∴EF=AD=26，AD//EF.∴∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5°.设BE=CF=x米，则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠ABE=AE∴AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°.在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=AE∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°∴x·tan37°=(26-x)·tan8.5°.解，得x≈∴BC=26-2×133答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米.【解析】【分析】由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，利用矩形的性质得到EF=AD=26，AD//EF，进一步可得∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5°，设BE=CF=x米，则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.利用正切的定义建