26.4 解直角三角形的应用（教学课件）数学冀教版九年级上册

26.4解直角三角形的应用数学（冀教版）九年级

上册第二十六章

解直角三角形

学习目标1.巩固解直角三角形相关知识？3.能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题？2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角、方向角、坡度有关的实际问题？

温故知新在直角三角形中，除直角外，由已知两元素(必有一边)

求其余未知元素的过程叫解直角三角形。1.解直角三角形(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系：sinA＝accosA＝ＡＣＢabcbctanA＝ab讲授新课知识点一

与方位角有关的实际问题方向角：如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．30°45°BOA东西北南讲授新课东北ABC25°例：如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.一货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55º的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25º的C处.之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？55°讲授新课AB55°C25°你是怎样想的？与同伴进行交流.20海里Dx

Rt△ABD中,

Rt△ACD中,∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25°∴x=≈20.79海里∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.讲授新课典例精析【例1】如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数)？APCB北65°34°讲授新课APCB北65°34°解：如图，在Rt△APC中，PC=PA•cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，

因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130nmile.讲授新课知识点二

仰角、俯角问题仰角和俯角：

如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．仰角俯角视线铅垂线水平线视线仰角俯角讲授新课典例精析【例2】欣赏完图片后，如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30º,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60º,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).DABC┌50m30º60º讲授新课DABC┌50m30º60º答:该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m.设CD=x,

则∠ADC=60º,∠BDC=30º,讲授新课练一练1、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角讲授新课解：如图，α

=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277.1m.ABCDαβ讲授新课归纳总结常见的俯角仰角问题的基本图形45°30°450βαABOPABOP30°45°45045°30°200米POBD45°30°PA200米CBO60°45°20020045°30°讲授新课知识点三

利用坡角解决问题坡度和坡角：如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．坡角坡度lhαα为坡角坡度和坡角有什么区别？讲授新课典例精析【例3】某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).40°35°ABCD∟AC-AB=CD-BDCBAD=AB·sin40°AC=ADsin35°讲授新课如图,∠ADB=90°,40°35°ABC∟D求(1)AC-AB.AB=4m.∠ABD=40°,∠C=35°,解：∵sin40°ABAD=∴AD=AB·sin40°∵sin35°ACAD=∴AC=ADsin35°=AB·sin40°sin35°=4×0.6430.574≈4.48(m)答:调整后的楼梯会加长约0.48m.AC-AB=4.48-4≈0.48(m)讲授新课如图,∠ADB=90°,40°35°ABC∟D求CBAB=4m.∠ABD=40°,∠C=35°,(AD=sin40°)AB解：∵tan40°BDAD=tan40°∴BD=AD∵tan35°CDAD=tan35°∴CD=AD∴CB=CD-BDtan35°=ADtan40°-ADtan35°1tan40°-1=AD()=4×0.643(0.70010.839-1)≈0.61(m)答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.讲授新课练一练1、一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米,）.

45°30°4米12米ABCD讲授新课解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知

DE＝CF＝4（米），

CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．答：路基下底的宽约为22.93米．45°30°4米12米ABCEFD当堂检测1.课外活动小组测量学校旗杆的高度。当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米，那么旗杆的高度约是()A.12米B.米

C.24米

D.米B当堂检测2.一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为45°，则这棵大树高是

米。ACB4米45°当堂检测FEA30°15m3.（1）小华去实验楼做实验,两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？北ABDC20m15mEF南解：过点E作EF∥BC∴∠AFE=90°，FE=BC=15m即南楼的影子在北楼上的高度为∴当堂检测(2)小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米?AB20m?m北DC南答案：BC至少为当堂检测4.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆.拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）G解：作AG⊥CD于点G，则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.∴(米).∴CD=CG+DG=(+1.5)(米)，∴(米).当堂检测解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.∵BD∥CE∥AF，∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.5、如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？北东ACB60°30°DEF当堂检测又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12海里，∴AF=AC·cos30°=6(海里)，6≈10.392＞8，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．北东ACB60°30°DEF当堂检测6、水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；

ADBCi=1:2.5236αi=1:3解：

斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α为22°.当堂检测解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F，由题意可知BE=CF=23m,EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m).EFADBCi=1:2.5236αi=1:3当堂检测=69+6+57.5=132.5(m).在Rt△ABE中，由勾股定理可得在Rt△DCF中，同理可得故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.EFADBCi=1:2.5236αi=1:3当堂检测7.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AD＋BD＝AB，∴在Rt△BCD中，

在Rt△ACD