大学数学教程第3篇 概率论与数理统计

第一章随机事件及概率§1.1随机事件§1.2随机事件的概率§1.3条件概率§1.4事件的独立性在现实生活中人们越来越多地使用“概率”这一专有名词，那什么是概率呢？说来并不陌生，我们日常说话，如也许、大概、可能……就具备概率意义.概率就是用来刻画随机事件发生可能性大小的数量指标.概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律性的一门数学学科，它已被广泛地应用于工业、国防、国民经济及工程技术等领域.

1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢

c局便算赢家,若在一赌徒胜

a局(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念概率论的诞生及应用1.概率论的诞生2.概率论的应用

概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.一、随机现象

二、随机试验

三、样本空间

四、随机事件

五、事件的集合表示

六、事件的关系及运算

七、事件间的运算规律

§1.1随机事件在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象

“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象

一、随机现象“函数在间断点处不存在导数”等.在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.2.随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.确定性现象的特征条件完全决定结果结果有可能为:1,2,3,4,5或6.实例3

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例2

用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.结果:弹落点会各不相同.实例4

从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:

正品

、次品.实例5

过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.实例6

出生的婴儿可能是男,也可能是女.实例7

明天的天气可能是晴

,也可能是多云或雨.随机现象的特征概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性

,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.二、随机试验

要对随机现象的统计规律性进行研究，就需要对随机现象进行重复观测，我们把对随机现象进行观测的过程称为试验.例如：(1)掷一枚硬币，观察出现正反面的情况.(2)记录射击弹着点到目标中心的距离.(3)从一批产品中随意抽取10件产品，观察取到的次品数.(4)预测明天某城市的天气情况.

上述试验具有以下共同特征：(1)可重复性：试验在相同条件下可以重复进行；(2)可观察性：每次试验中可能出现的各种不同结果是明确的；(3)不确定性：每次试验中有且只有一种结果会出现，且在试验之前无法预知到底哪个结果会出现.在概率论中，我们将具有上述三种特征的试验称为随机试验，记作E

说明

1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”或“测量”等.实例

“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”.分析

2.随机试验通常用E来表示.(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;1.抛掷一枚骰子,观察出现的点数.2.从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验.(2)试验的所有可能结果:字面、花面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.3.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.4.考察某地区10月份的平均气温.5.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.三、样本空间虽然一个随机试验将要出现的结果是不确定的，但其所有可能结果是明确的.我们把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，记作ω.由所有样本点构成的集合称为该试验的样本空间，记作Ω.实例1抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.实例2抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例3从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.实例4记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.实例5

考察某地区12月份的平均气温.实例6从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.实例7

记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.答案写出下列随机试验的样本空间.1.同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.2.生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.课堂练习

2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.例如

对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为若观察出现正面的次数,则样本空间为说明1.试验不同,对应的样本空间也不同.说明

3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.四、随机事件在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，往往还关心试验的结果是否具备某一指定的可观察的特征.在概率论中，把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件.事件可分为三类：

1、随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件.通常用字母A、B、C等表示.例如：在抛一枚骰子的试验中，用A表示“出现的点数不少于3”，则是一个随机事件.

2、必然事件：在每次试验中都必然会发生的事件.通常用字母Ω表示.例如：在抛一枚骰子的试验中，“点数小于7”是一个必然事件.

3、不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件.通常用字母表示.例如：在抛一枚骰子的试验中，“点数为7”是一个不可能事件.

显然，必然事件与不可能事件都是确定性事件，为了讨论方便，可将它们看作特殊的随机事件，并将随机事件简称为事件.几点说明例如抛掷一枚骰子,观察出现的点数.可设A=“点数不大于4”,B=“点数为奇数”等等.随机事件可简称为事件,并以大写英文字母A,B,C,

来表示事件(2)随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件五、事件的集合表示

样本空间是随机试验的所有可能结果（样本点）构成的集合，所以我们可用一个事件所对应的样本点构成的集合来表示该事件.六、事件的关系及其运算因为事件是样本空间的一个子集，故事件之间的关系和运算可比照集合的关系和运算来处理，不过在概率论的研究中，有其专用的术语和含义.

1.包含关系若事件A出现,必然导致B出现,则称事件B包含事件A,记作实例

“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”.图示

B包含

A.ΩBA

2.A等于B

若事件A包含事件B，而且事件B包含事件A，则称事件A与事件B相等，记作A=B.3.事件

A与

B的并(和事件)实例

某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件

A与

B的并.

ΩBA4.事件

A与

B的交(积事件)图示事件A与B

的积事件.ΩABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.和事件与积事件的运算性质5.事件

A与

B的差由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作A-B.图示A与B的差.ΩABΩAB实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.6.事件

A与

B互斥(互不相容)若事件A的出现必然导致事件B不出现,B出现也必然导致A不出现,则称事件A与B互不相容,即实例抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.“骰子出现1点”“骰子出现2点”图示A与B互斥.ΩAB互斥实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.设A表示“事件A出现”,则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记作实例

“骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.ΩB若A与B互逆,则有A7.事件

A的对立事件对立对立事件与互斥事件的区别ΩΩABABA、B对立A、B互斥互斥对

立注：两个互为对立的事件一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件8.完备事件组若事件满足：显然，与构成一个完备事件组则称构成一个完备事件组.(1)(2)七、事件间的运算规律（5）自反律:

注：除自反律外上述运算律1-4均可推广到有限个或无限可列个事件的情形.例1设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(1)A出现,B,C不出现;(5)三个事件都不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;(6)不多于一个事件出现;(7)不多于两个事件出现;(8)三个事件至少有两个出现;(9)A,B至少有一个出现,C不出现;(10)A,B,C中恰好有两个出现.解例2某人看管甲、乙、丙三台机床，A、B、C分别表示甲、乙、丙三台机床运转正常，试用A、B、C的运算表述下列事件：(1)仅甲机床运转正常(2)三台机床中恰有一台发生故障(3)至少有一台发生故障(4)恰好有两台正常运转(5)至少有两台正常运转(6)不多于两台正常解：(1)｛仅甲运转正常｝=｛甲正常，乙、丙均出故障｝(2)｛三台机床中恰有一台发生故障｝=｛仅甲出故障或仅乙出故障或仅丙出故障｝=(3)｛至少有一台发生故障｝=｛甲乙丙不可能同时正常运转｝=(4)｛恰好有两台正常运转｝=｛恰有一台发生故障｝=(2)(5)｛恰好有两台正常或三台均正常｝=｛至少有两台正常｝(6)｛三台均不正常或仅一台正常或仅两台正常｝=｛至少有一台出故障｝=｛三台不能同时正常｝===例3甲,乙,丙三人各射一次靶,记“甲种靶”,“乙中靶”,“丙中靶”,则可用上述三个事件的运算(1)(3)(4)(2)“甲未中靶”:“甲中靶而乙未中靶”:“三人中只有丙未中靶”:“三人中恰好有一人中靶”:来分别表示下列各事件:(5)“三人中至少有一人中靶”:或(6)“三人中至少有一人未中靶”:或“三人中恰有两人中靶”:(7)(8)“三人中至少有两人未中靶”:(9)“三人中均未中靶”:(10)“三人中至多一人中靶”:(11)“三人中至多两人中靶”:或注:

用其它事件的运算来表示一个事件,方法往往不唯一,如本例中的(6)和(11)实际上是同一事件,读者应学会用不同方法表达同一事件,特别在解决具体问题时,往往要更具需要选择一种恰当的表示方法.例4指出下列各等式命题是否成立,并说明理由:(1)(2)(3)(4)解(1)成立.(分配律)(2)不成立.若发生,则必有发生,发生,必有不发生,从而不发生,故不成立.发生,即必然有发生.由于发生,故必然不发生,从而不发生,立.故(3)不成(4)成立.(3)(4)解(3)不成立.若发生,即发生且例4指出下列各等式命题是否成立,并说明理由:例5化简下列事件:(2)(1)解(1)(分配律)(因)(交换律)(结合律)(对偶律)(2)例6考虑某教育局全体干部的集合，令A为女干部，B为已婚干部，C为具有硕士学历的干部.已婚非硕士解表示教育局里不具有硕士学历的已婚女干部，男表示教育局里不具有硕士学历的干部，可以是男干部或者已婚干部.表示教育局里单身干部.分配律例6考虑某教育局全体干部的集合，令A为女干部，B为已婚干部，C为具有硕士学历的干部.解“硕士学历的单身女干部”“不是已婚硕士的干部”例7掷两颗骰子.令A为点数的和是奇数的事件，B为至少出现一个一点的事件，解表示两颗骰子，一颗出现幺点，另一颗出现偶数点的事件.点数之和是奇数，或者至少出现一个幺点的事件.点数之和是奇数，且没有一个出现幺点的事件.§1.2随机事件的概率

对于一个随机事件，在一次试验中既可能发生也可能不发生，我们关注的是它发生的可能性有多大.为了刻画出事件发生的可能性大小，我们要引入概率的概念.在概率论的发展过程中，人们曾针对不同的问题，从不同角度去研究事件的概率，以下我们将分别介绍之.§1.2随机事件的概率一、概率的统计定义二、概率的古典定义三、概率的公理化定义历史上著名的投掷硬币试验记录0.51810.50690.50160.500610612048601912012204840401200024000DeMorganBuffonPearonPearon正面频率(/n)正面次数()投掷次数(n)试验者一、概率的统计定义大量重复的实验表明:

出现正面和反面的频率接近一个稳定值0.5.可见频率的稳定值与事件发生的可能性大小之间存在内在的联系.它还表明事件发生的可能性大小是可用数值来度量的.

人们在长期的实践中发现：设在n次重复试验中，事件A发生了m次，则随着试验次数n的增加，带有随机性的频率就越来越稳定

地在某一常数p的附近摆动.n越大，频率与这个常数p出现偏差的情况越稀少，呈现出一种稳定性，而且这个常数p客观存在，不依赖于任何主观意愿.由于频率的大小在一定的程度上能反映事件发生可能性的大小，但是频率的值带有随机性，因此就用频率的稳定值p来刻画事件A发生的可能性大小.概率的统计定义就是根据频率的稳定性提出来的.频率性质设A是随机试验E的任一事件,则定义1.1(概率的统计定义)概率性质非负性规范性样本空间，即必然事件的概率为1.可加性例1我国某地区2001年所生婴儿的统计数为则有婴儿总数男婴数女婴数男婴频率5443428181262530.5177例2将一枚硬币在一定条件下重复抛掷几次，两位学者的试验结果如下表：从表中可以看出，频率的稳定值为0.5，则例3

圆周率3.1415926……是一个无限不循环小数,我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位,这个纪录保持了1000多年!以后有人不断把它算得更精确.1873年,英国学者沈克士公布了一个的数值,它的数目在小数点后一共有707位之多!但几十年后,曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.他统计了的608位小数,得到了下表:说出他怀疑的理由?因为是一个无限不循环小数,所以,理论上每个数码出现的次数或它们出现的频率但7出现的频率过小.应近似相等,应都接近于0.1,例410205010015020030001357111600.0500.0600.0500.0470.0550.053抽取产品总件数次品数次品频率

检查某工厂一批产品的质量,从中分别抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件检查,检查结果及次品出现的频率列如下表.由上表可以看出,在抽出的n件产品中,次品数随着n的不同而取不同值,但次品频率仅在0.05附近有微小变化.这里0.05就是次品频率的稳定值.重要结论频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增大时,频率趋于稳定值,这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的概率．日常生活中提到的“某疾病的死亡率”“某校的升学率”等等都是统计定义得到的概率.统计概率易于理解，但有事先要作大量重复试验的限制，故而带来较大的局限性.

二、概率的古典定义

我们称具有下列两个特征的随机试验为古典概型：(1)有限性：随机试验只有有限个可能结果，即样本空间由有限个样本点构成；(2)等可能性：每个结果发生的可能性相同，即每个样本点出现的可能性相同.古典概型在概率论的产生和发展过程中，它是最早的研究对象，而且在实际应用中也是最常见的一种概率模型.定义1.2设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含

m个样本点，则事件A出现的概率记为:称此为概率的古典定义.

定义设试验E为古典概型,共有n个样本点,其中事件A包含m个样本点.则事件A的概率为：寻找试验E和事件A的样本点个数，成为解题的关键.该定义的优点：缺点：使用受到限制可计算，计算简便；对于样本点为无限时，无法使用.根据古典概型的特征，我们给出以下定义：概率性质：非负性规范性可加性古典概率的定义：非负实数m=n根据概率的古典定义，也很容易得到概率的性质.样本点不重合的多个事件的概率，等于每个事件概率之和.例1解显然设则由于m=3，n=6，所以例2一枚硬币抛两次，观察出现正反面的情况，求事件A=“出现一次正面”，B=“两次都是正面”的概率.解易知

{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}A

={(正，反)，(反，正)}B

={(正，正)}

所以例3把一只白球，一只黑球随机地放入编号1,2,3的三只盒子中，设A表示盒1中没有球，B表示盒3中恰有一球，C表示盒2中至少有一球，D表示两球均在同一个盒子里.求事件A、B、C、D的概率.解：（1）（2）（3）（4）或令F=“盒2中无球”，则例4一个袋子中装有10个大小相同的球，其中3个黑球，7个白球.求：(1)从袋子中任取一个球，这个球是黑球的概率.(2)从袋子中任取两球，刚好取到一个白球一个黑球的概率.

解：（1）（2）三、概率的公理化定义

任何一个数学概念都是对现实世界的抽象，这种抽象使得其具有广泛的适用性.上面我们从不同角度给出了计算概率的统计定义和古典定义，在运用中我们发现了它们在使用上的局限性及理论上的不充分性，因此它们都不能作为概率的严格数学定义.经过漫长的探索历程，直到1933年，前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫在他的《概率论的基本概念》一书中给出了现在已被广泛接受的概率公理化体系，第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.定义1.3:

设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一件事件A赋予一个实数,记为P(A),若P(A)满足下列三个条件:1.非负性:对每一个事件A,有2.完备性:3.可列可加性:对任意可数个两两互不相容的事件有则称P(A)为事件A的概率.概率的性质性质2性质1性质3性质4若则容的事件，则有(有限可加性)设是两两不相对任一事件A，性质6性质5注：性质6可推广到任意有限个事件的并的情形.例如,推论1推论2性质3证明因且由性质2,得证毕.性质4特别地,若则(1)(2)证明因且再由概率的有限可加性,即得所以SABAB则有又由概率的非负性知,则有证毕性质5对任一事件A,证明因由性质4,得证毕.性质6对任意两个事件A,B,有证明因且故得证毕SABAB一般地,对任意n个事件有例1已知求(1)(2)解(1)因为且与是不相容的,故有于是(2)例1已知(3)(4)解(3)(4)

例2学校有2个课外活动小组，经调查，该校学生参加第一个小组的有45%，参加第二个小组的有35%，都参加的有10%，现从该校任选一名学生，求他只参加了一个课外活动小组的概率.所求的概率为{参加第二个小组}解令{参加第一个小组}解SABAB某学生凭猜测回答两道是非题，求该生答对一道题的概率.例4解提示与分析：样本点个数有限，该问题为古典概型.“学生凭猜测回答两道是非题”为试验E，“学生凭猜测回答两道是非题，答对一道题”，记为事件A.试验样本点个数：4事件A中样本点个数：2试验的样本点为：{对,错}，{错,对}，{对,对}，{错,错}.综上，答对一道题的概率为0.5.(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率；

(2)至少有一类问题能答出的概率；

(3)两类问题都答不出的概率.

例5某学生参加“智力答题”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求设事件A={能答出甲类问题}

B={能答出乙类问题}解提示与分析：表达出所求事件与已知事件的关系，利用性质求解(2)(3)(1)例6

为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而双方都具有文化程度的占10％，问从学生中任抽一名，父代至少有一个具有大学文化程度的概率是多少？解设

A表示父亲具有大学文化程度，B表示母亲具有大学文化程度.由已知得：父代中至少有一个具有大学文化程度的概率：父代中至少有一个具有大学文化程度的概率为40%.§1.3条件概率一、条件概率定义二、乘法公式三、全概率公式和贝叶斯公式

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如父代的文化程度对子女文化程度会产生影响.任意取一名大学生，他的父代是大学生的概率是多少？一、条件概率定义又如在股票交易中,如果用A表示股票的发行量,B表示股票价格指数,则在已知股市价格指数的情况下,对发行量是会产生影响的.一、条件概率定义

在实际应用中,有时会在事件B已经发生了的条件下求事件A的概率,这样的概率称为条件概率,记作.

例1假设有10个灯泡，其中6个合格品，4个次品，已知属于甲厂生产的7个中有5个合格.现从这10个灯泡中任取一个，已知它是甲厂产品，求它是合格品的概率

因为附加了条件“已知取到的是甲厂产品”所以相当于从属于甲厂生产的7个灯泡中任取一个，求取得合格品的概率.故解令“取到合格品”，“取到甲厂产品”，要计算的是在发生的条件下的概率即显然，产生这种差异的原因是求时的样本空间改变了，由于附加了条件“已经发生”，故样本空间缩小了，即由缩减为，那能否在原样本空间中求呢？如上例中下面我们在一般的概率模型中引入条件概率的数学定义.在事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率.记作P(A|B)，一般P(A|B)≠P(A).

如何求解呢？

条件概率亦即事件A的概率在事件B的概率中所占比例.定义1.4

设A、B为同一试验的两个事件,且P(B)>0

,在事件

B发生的条件下，事件

A发生的条件概率为同理可得注：用维恩图表达(1)式.若事件A已发生,且为事件B中的样本点,即此点必属于AB.因已知B已发生,故A成为新的样本空间.计算条件概率的两种方法：在中直接计算的概率即为2.在原样本空间中，计算及，由定义缩减为发生的条件下，原样本空间由1.在

一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次从袋中各取一球(不放回).(1)(2)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.例2(1)在已知发生,即第一次取到的是黑球的条件下,第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球共9个球中任取一个,根据古典概率计算,取到黑球的概率为2/9，即有解记为事件“第次取到的是黑球”计算(1)用定义计算;(2)根据加入条件后改变了的情况来计算.

在已知发生,即第二次取到的是黑球的条件下,求第一次取到黑球的概率.但第一次取球发生在第二次取球之前,故问题的结构不像(1)那么直观.我们可按定义计算我们可按定义计算解例3已知某家庭有3个孩子，且至少有一个是女儿，求该家庭至少有一个儿子的概率．解设{3个小孩至少有一个女儿}{3个小孩至少有一个儿子}则

例4已知某动物从出生活到10岁的概率为0.8，从出生活到15岁的概率为0.5；已知有一只这种动物已经10岁了，问它能活到15岁的概率为多大？解

设事件“从出生活到10岁”“从出生活到15岁”，所求的概率为显然例5一盒子装有4只产品,其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”事件B为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率P(B|A).解由条件概率的公式得例6某师范大学教育系一年级共有学生100人，其中女生80人，来自甲省的40人中，有女生35人，设事件A为从一年级学生中任抽一人为女生，事件B为从一年级学生中任抽一人来自甲省，求从来自甲省的学生中任抽一人为女生的概率.由题意我们可以得到如下表格所示信息：解从一年级学生中任抽一人为女生的概率从一年级学生中任抽一人来自甲省的概率从甲省中任抽一人为女生的概率1008020合计604515非甲省40355甲省合计女男性别生源由表可得：从甲省中任抽一人为女生的概率条件概率定义合理从一年级学生中任抽一人为女生的概率从一年级学生中任抽一人来自甲省的概率8010040100P(B)由条件概率定义立即得到:(1)注意到及A、B的对称性可得到：(2)(1)式和(2)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率.二、乘法公式乘法公式易推广到多个事件的情形设为n个事件,且则则设且为3个事件,

例7有一批产品，其中甲厂生产的占80%，乙厂生产的占20%，甲厂的次品率为0.05，乙厂的次品率为0.1，现从这批产品中任取一件，求它是甲厂生产的次品的概率.解设“任取一件是甲厂产品”“任取一件是次品”例8某工厂有批零件共100个，其中有10个次品，从中无放回地取两次，求两次都取得正品的概率.解设“第次取到正品”，则例9设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.解例10

一袋中装有10个球,其中3个黑球、7个白球,先后两次从中随意各取一球(不放回),求两次取到的均为黑球的概率.解于是根据乘法公式,有设表示事件“第i(i=1,2)次取到的是黑球”则表示事件“两次取到的均为黑球”由题设知三、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式是概率论中的一个很重要的基本公式，它将一个复杂事件的概率问题，转化为在不同情况下的简单事件概率的求和问题.定理1.1设是一完备事件组,且有则对任一事件B,这个公式是常用的.Ω证特别地,若取n=2,并将记为A,则就是于是，全概率公式称为例11某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．若选一名一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，现随机选一人参加比赛，求该射手在比赛中射中目标的概率．解：设B=“该射手在比赛中射中目标”，Ai=“选到一名i级射手”，i=1,2,3,4由全概率公式得

例12三人同时向一架飞机射击，设三人都射不中的概率为0.09，三人中只有一人射中的概率为0.36，三人中恰有两人射中的概率为0.41，三人同时射中的概率为0.14.如果无人射中，飞机不会坠毁；只有一人射中，飞机坠毁的概率为0.2；两人击中，飞机坠毁的概率为0.6；三人射中，飞机一定坠毁.求三人同时向飞机进行一次射击，飞机坠毁的概率.解令“飞机坠毁”“三人同时向飞机射击，恰有(

)

人击中飞机”由全概率公式可得：解

根据某地气象和地震资料知：大旱年、大涝年、正常年的概率分别为0.2，0.3，0.5，而在大旱年、大涝年、正常年发生地震的概率分别为0.6，0.3，0.4，求当地发生地震的概率.例13设A1={出现大旱年}，

A2=

{出现大涝年}，A3=

{出现正常年}，B={发生地震}.由全概率公式得所以当地发生地震的概率为0.41.

根据某地气象和地震资料知：大旱年、大涝年、正常年的概率分别为0.2，0.3，0.5，而在大旱年、大涝年、正常年有地震的概率分别为0.6，0.3，0.4，求当地有地震的概率.某厂有四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别占全厂总产量的15%，20%，30%，35%.又知这四个分厂的次品率分别是0.05，0.04，0.03，0.02，现从该厂产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率为多少？例14解设Ai

表示任取一件为第i个分厂的产品，i=1,2,3,4；B表示任取一件为次品.由已知得由全概率公式得所以从该厂中任取一件产品，恰好抽到次品的概率为3.15%.次品率为0.05，0.04，0.03，0.02占全厂总产量的15%，20%，30%，35%定理1.2设是一完备事件组,则对贝叶斯公式由条件概率的定义及全概率公式即可得证.Ω有任一事件例15老师在出考题时，平时练习过的题目占60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试中答对的的概率为95%，平时没有练习过的题目在考试中答对的概率为5%.求

（1）考生在考试中答对题目的概率；（2）若考生将该题答对了，那么求这题平时没有练习过的概率.解令“平时练习过的题目”“考生在考试中答对题目”由题意知(1)(2)

例16肠癌普查问题设事件Ai表示第i次检查为阳性,事件B表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：某患者首次检查反应为阳性,试判断该患者是否已患肠癌？若三次检查反应均为阳性呢？解由贝叶斯公式得：所以，首次检查反应为阳性患肠癌的概率并不大.如果两次检查反应均为阳性呢？于是，接连两次检查为阳性患肠癌的可能性过半.两次检查之间相互独立两次检查反应均为阳性,还不能断定患者已患肠癌.连续三次检查为阳性几乎可断定已患肠癌.三次检查之间相互独立求连续三次检查反应为阳性，患肠癌的概率.设100个男人中有5个色盲者，而10000个女人中有25个色盲者，今从人群中任选一人，并发现他是色盲，求此人是男性的概率.例17提示与分析：描述事件间的关系，找到所求事件.解据已知得由贝叶斯公式得：此人是男性的概率是95.2%.也相互独立.若两事件A、B独立，则证假设你正在马路上散步，注意到公共卫生部门正在为某一种疾病作一个免费医疗检查.这个试验在下列意义下有90%的可靠性；如果一个人有这种疾病，试验结果呈阳性的概率是0.9；反之，如果一个人没有这种疾病，试验结果呈阳性的概率是0.1.疾病检测如何求？数据表明得这种疾病的机会只是万分之一.做次试验，一些天后，你了解到检查结果是阳性.问你有这种疾病的概率是多少？贝叶斯公式的原型已知试验数据和至少两个互不相容的事件，修正不确定事件的概率.Back则有§1.4事件的独立性我们来看一个例子：若袋中有a只黑球，b只白球，现每次从中取一球，观察后放回.令：A={第一次取出白球}

B={第二次取出白球}则这表明，事件A是否发生对事件B发生的概率是没有影响的，即事件A与事件B呈现出某种独立性.事实上，由于是有放回取球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，故第二次取出白球的概率自然也未改变.由此，我们引出事件独立性的定义.且设是两事件，若相互独立，定义1.5性质1若两事件满足则称独立，或称

相互独立.则反之亦然.

证明必要性：若A、B相互独立，即(A|B)=P(A),其中P(B)>0故P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A)充分性：若P(AB)=P(A)P(B),由乘法公式，当P(B)>0时，有P(B)P(A|B)=P(A)P(B)上式的两边同时除以P(B)得P(A|B)=P(A)所以A、B相互独立.与与与证由得故与相互独立，由此易推得与与相互独立.性质2设事件相互独立，则下列各对事件也相互独立：三事件两两相互独立的概念三事件相互独立的概念注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立若事件A、B、C两两独立，且

P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件

A、B、C相互独立性质3

若事件相互独立，则性质4

若事件相互独立，则证明因为事件相互独立所以例1有三个人独立地破译某个密码，若他们译出密码的概率分别为0.9，0.8，0.7，求该密码被译出的概率.解令Ai=“第i个人一译出密码”，i=1,2,3显然A1,A2,A3相互独立，则例2甲，乙，丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8及0.85.求在这段时间内有机床需要工人照管的概率.

解用事件A、B、C分别表示在这段时间内机床甲、乙、丙需要工人照管.由题意，事件A、B、C相互独立，并且所求概率为：例3设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?射击问题解事件B为“击落飞机”,例4甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.解

A,B,C分别表示甲、乙、丙击中飞机因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为伯恩斯坦反例例5

一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A，B，C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C是否相互独立?解由于在四面体中红、白、黑分别出现两面因此故有因此A，B，C不相互独立.则三事件A,B,C两两独立.由于又由题意知例6同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点数分别为7与11的概率.解事件A为两次所得点数分别为7与11.则有第二章随机变量及其分布

§2.1随机变量

§2.2离散型随机变量及其分布

§2.3随机变量的分布函数

§2.4连续型随机变量及其分布

§2.5随机变量函数的分布§2.1随机变量

上一章中我们讨论的随机事件中有些是直接用数量来标识的，例如，抽样检验灯泡质量，试验中灯泡的寿命；而有些则不是直接用数量来标识的，如性别抽查试验中所抽到的性别.为了更深入地研究各种与随机现象有关的理论和应用问题，我们有必要将样本空间的元素与实数对应起来.即将随机试验的每个可能的结果ω都用一个实数X来表示.例如，在性别抽查试验中用实数“1”表示“出现男性”，用“0”表示“出现女性”.显然，一般来讲此处的实数X值将随ω的不同而变化，它的值因ω的随机性而具有随机性，我们称这种取值具有随机性的变量为随机变量.随机变量即为定义在样本空间上的实值函数.随机变量X的取值由样本点决定.反之，使X取某一特定值a那些样本点的全体构成样本空间的一个子集，即

定义2.1设E是随机试验，它的样本空间是.如果对于每一个，有一个实数与之对应，这样就得到一个定义在上的单值函数,称为随机变量注：(1)随机变量的取值是随机的,但有着统计规律性.(2)随机变量一般用希腊字母x

,η,ζ等或大写字母

X

，Y

，Z

表示.而表示随机变量所取的值时,一般用小写字母x，y

，

z

表示.实例1

在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.S={红色、白色}

非数量将S数量化可采用下列方法红色白色即有X(红色)=1,X(白色)=0.这样便将非数量的S={红色，白色}数量化了.实例2

抛掷骰子,观察出现的点数.S={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换且有则有

(1)随机变量的取值随试验结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，只有在试验之后才知道它的确切值；而试验的各个结果出现有一定的概率，故随机变量取各值有一定的概率.这些性质显示了随机变量与普通函数之间有着本质的差异随机变量与普通的函数不同(2)普通函数是定义在实数集或实数集的一个子集上的，而随机变量是定义在样本空间上的（样本空间的元素不一定是实数），这也是二者的差别.

随机变量的引入，使随机试验中的各事件可通过随机变量的关系式表达出来.

例如，掷骰子一次，出现的点数X是一随机变量事件{出现点数1}可表为事件{出现点数不少于3}可表为事件{出现点数不多于4}可表为；

实例3

掷一个硬币,观察出现的面,共有两个结果:若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有即X(e)是一个随机变量.实例4

在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:若用X表示该家女孩子的个数时,则有可得随机变量X(e),实例5

设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则是一个随机变量.实例6

设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:且X(e)的所有可能取值为:实例7

设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:实例8

某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:

由此可见，随机事件这个概念是包容在随机变量这个更广的概念中，随机事件是以静态的观点来研究随机现象的，而随机变量是以动态的观点来研究随机现象的.引入随机变量后，对随机现象的研究，就由对事件及事件的概率的研究转化为对随机变量及其取值规律的研究，并可利用微积分的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.

随机变量因取值方式不同,通常分为离散型和非离散型两类.而非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.今后,我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.

随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.随机变量X

的可能值是:随机变量连续型

观察掷一个骰子出现的点数.实例11,2,3,4,5,6.非离散型其它实例2

若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X

的可能值是:实例3

设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”

则X

的所有可能取值为:实例2

随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误差”.则X的取值范围为(a,b).实例1

随机变量X为“灯泡的寿命”.(2)连续型

随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为§2.2离散型随机变量及其分布

如果随机变量所有可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称这种随机变量为离散型随机变量.

容易知道，要掌握一个离散型随机变量X的统计规律，必须知道X的所有可能的取值以及取每一个可能取值的概率.定义2.2设离散随机变量的所有可能的取值为称为的概率分布或分布律，也称概率函数.常用表格形式来表示的概率分布：

由概率的性质容易推得，任一离散型随机变量的分布律，都具有下述两个基本性质：

(1)非负性：(2)规范性：

例1设一汽车在开往目的地的道路上需通过4盏信号灯，每盏灯以0.6的概率允许汽车通过，以0.4的概率禁止汽车通过（设各盏信号灯的工作相互独立）.以X表示汽车首次停下时已经通过的信号灯盏数，求X的分布律.

将代入上式，所得结果如表

则有解例2

某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9,求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解可取0,1,2为值且于是,的概率分布可表示为1.两点分布定义

若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为则称X服从x1，x2处参数为p的两点分布.特别地，若X服从x1=1,x2=0处参数为p的两点分布，即则称X服从参数为p的分布.记作分布

则服从参数为0.98的两点分布.于是,例3200件产品中,有196件是正品,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定若一个随机变量的概率分布为：则称服从参数为的二项分布记为易见，2.二项分布在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为用表示重伯努利试验中事件发生的次数，则的可能取值为且对每个事件的k次”的数学模型即为“次试验中事件恰好发生注：当时，二项分布转化为此时，随机变量即服从分布.

例4

一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解每答一道题相当于做一次贝努里试验则答5道题相当于做5重贝努里试验．

设为该学生靠猜测能答对的题数，则

例5

某一大批产品的合格品率为98%，现随机地从这批产品中抽样20次，每次抽一个产品，求抽得合格品个数的概率分布.

解这是不放回抽样.由于这批产品的总数很大，而抽出的产品的数量相对于产品总数来说又很小，那么取出少许几件可以认为并不影响剩下部分的合格品率，因而可以当作放回抽样来处理，这样做会有一些误差，但误差不大.

我们将抽检一个产品看其是否为合格品看成一次试验，显然，抽检20个产品就相当于做20次贝努里试验，以X记20个产品中合格品的个数.

于是得到：例6

已知100个产品中有5个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解

因为这是有放回地取3次,因此这3次试验的条件完全相同且独立,它是伯努利试验,依题意,每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数,则于是,所求概率为:解因此例7§2.3随机变量的分布函数为了研究随机变量的统计规律，并由于随机变量X的可能的取值不一定能逐个列出，因此我们在一般情况下需要研究随机变量落在某区间(x1，x2]中的概率，即求，但由于由此可见要研究就归结为研究形如的概率问题了.不难看出，的值随不同的x而变化，它是x的函数，我们称这函数为分布函数.一、随机变量的分布函数定义2.3设X是一个随机变量，称为X的分布函数，有时记作或分布函数的性质(2)若则非降性

.(3)(4)右连续性.即如果一个函数满足上述(2)、(3)、(4)三条性质，它一定可以作为某一随机变量X的分布函数．例1解二、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量的概率分布为则X的分布函数为解例2如图，是一个阶有跳跃，跳其概率分布亦由分布函数唯一确定.它在梯函数，跃度恰为随机变量X点处的概率在反之，若一个随机变量X和分布函数为阶梯函数，则X一定是一个离散型随机变量，例3设随机变量X的分布函数为求X的概率分布.解由于F(x)是一个阶梯型函数，故知X是一个离散型随机变量,F(x)的跳跃点分别为1,2,3,对应的跳跃高度分别为9/19,6/19,4/19,如图.故X的概率分布为注对任意实数随机点落在区间的概率因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任意区间(x1，x2]上的概率，在这个意义上，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.例4设随机变量的分布律为求F(x)当时,故解当时,当时,当时,故的图形是阶处有跳跃其跃度分别梯状的图形,在等于§2.4连续型随机变量及其分布

上一节我们研究了离散型随机变量，这类随机变量的特点是它的可能取值及其相对应的概率能被逐个地列出.这一节我们将要研究的连续型随机变量就不具有这样的性质了.连续型随机变量的特点是它的可能取值连续地充满某个区间甚至整个数轴.例如，测量一个工件长度，在理论上说这个长度的值X可以取某个区间上的任何一个值.§2.4连续型随机变量及其分布

此外，连续型随机变量取某特定值的概率总是零.例如，抽检一个工件其长度X丝毫不差刚好是其固定值（如1.824cm）的事件几乎是不可能的，可以认为.因此讨论连续型随机变量在某点的概率是毫无意义的.于是，对于连续型随机变量就不能用对离散型随机变量那样的方法进行研究了.定义2.4

如果对随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数f(x)使得对任意实数x有则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数.连续型随机变量X的分布函数F(x)是连续函数.由分布函数的性质及F(x)单调不减，知F(x)是一条位于直线y=0与y=1之间的单调不减的连续(但不一定光滑)曲线.(1)非负性：

(2)规范性：

概率密度f(x)具有下列性质：

=(3)

X落在区间上的概率之下的曲边梯形面积等于区间上概率密度曲线(4)

若在点处连续，则由定义和积分上限函数导数公式即得：这种形式恰与物理学中线密度定义相类似，这也正是称为概率密度的原由.同样我们也指出，反过来，任一满足以上(1)、(2)两个性质的函数f(x)，一定可以作为某个连续型随机变量的密度函数.注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关若X是连续型随机变量，{X=a}是不可能事件，则有若X为离散型随机变量,注意连续型离散型

例1设X的概率密度为求A解由规范性例2设连续型随机变量X的分布函数为试求：（1）系数A

（2）X落在区间（0.3，0.7）内的概率（3）X的密度函数.解(1)

由于X为连续型随机变量，故是连续函数，因此有即，于是有(3)的密度函数为(2)例3设型随机变量X的概率密度为(1)求常数使得(2)求常数使得解由于X是连续型随机变量，(1)例4设随机变量X的分布函数为求(1)概率(2)的密度函数.解由连续型随机变量分布函数的性质,有(1)(2)X的密度函数为(1)均匀分布若连续型随机变量X的概率密度为其它易见，则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为注:在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量X，其取值落在(a,b)中任意等长度的子区间内的概率是相同的，且与子区间的和度成正比.X的分布函数密度函数分布函数x01

x10例5

某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达.此站,如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解以7:00为起点0,以分为单位,依题意即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.为使候车时间X少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站,故所求概率为解由题意知X在(-1,1)上服从均匀分布，其密度函数为例6随机地向区间(-1,1)投掷一点，X为其横坐标，求关于t的二次方程有实根的概率.方程有实根的充分必要条件是即故方程有实根的概率例7设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率.解已知X~U[2,5],对X进行三次独立观察，相当于3次独立重复试验.“观察值大于3”即事件A={X>3},求A事件至少发生两次的概率.设Y为三次独立观察中事件A发生的次数.显然，因为P(A)=P{X>3}=2/3,于是所求概率为Y~B(3,P(A))定义若随机变量X的概率密度为其中和都是常数，则称X服从参数为和的正态分布，记为易见，易证，(2)正态分布

一般来说,一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，则它服从正态分布.例如，产品的质量指标，元件的尺寸，某地区成年男子的身高、体重，测量误差，射击目标的水平或垂直偏差，信号噪声，农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布.正态分布的图形特征正态概率密度函数的几何特征正态分布的分布函数

标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布，此时，其密度函数和分布函数常用和表示：记作（1）的图形关于轴对称；.（2）例8设随机变量求解一般正态分布与标准正态分布的关系

（1）（2）（3）若，则有由一般正态分布与标准正态分布的关系有：若（1）（2）（3）对于任意区间，有例9设随机变量

，试求解例10公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X服从的正态分布，即X~N(170,)，问车门高度应如何确定？解设车门高度为h(cm),按设计要求，因为，故，查表得，故取即h=184.设计车门高度为184(cm)时，可使成年男子与车门碰头的机会不超过1%.§2.5随机变量函数的分布

一、随机变量的函数