岩石力学与工程岩石本构关系与强度理论

3.流变本构关系

如果岩石在外载荷作用条件不变的条件下，岩石的应变或应力还随时间而变化，则称该岩石具有流变性，此时的本构关系称为岩石的流变本构关系。（2）强度理论

指采用判断、推理的方法，推测材料在复杂应力状态下破坏的原因，而建立强度准则，所提出的一些假设。总之，岩石的力学性质可分为变形性质和强度性质两类，变形性质主要通过本构关系来反映，而强度性质则主要通过强度准则来反映。

2026/3/3115.2岩石弹性问题的求解（1）岩石弹性问题的求解步骤（2）平衡微分方程2026/3/312（3）几何方程

（4）物理方程（弹性本构关系）

2026/3/313（5）边界条件

1.位移边界条件2.应力边界条件3.混合边界条件2026/3/314（在上）（在上）5.3岩石流变理论5.3.1概念（1）研究背景1.各种岩土工程，无一不和时间因素有关；2.是岩石力学的重要研究内容之一；3.存在的问题尚多，理论与实验研究仍有待进一步加强。（2）流变现象

1.流变性质：是指材料的应力-应变关系与时间因素有关的性质。

2.流变现象：材料变形过程中具有时间效应的现象。

3.岩石的流变包括蠕变、松弛和弹性后效。

2026/3/3154.蠕变：是当应力不变时，变形随时间的增加而增长的现象。

5.松弛：是当应变不变时，应力随时间增加而减小的现象。6.弹性后效：是加载或卸载时，弹性应变滞后于应力的现象。7.粘性流动：即蠕变一段时间后卸载，部分应变永久不恢复的现象。（3）研究蠕变的意义1.中硬以下岩石及软岩中开挖的地下工程，大都需要经过半个月甚至半年时间变形才能稳定；或处于无休止的变形状态，直至破坏失稳。2.解决地下工程的设计和维护问题。2026/3/316（4）蠕变的三个阶段

如图5-1中的abcd曲线所示，蠕变过程可分为三个阶段：1.第一蠕变阶段：如曲线中ab段所示，应变速率随时间增加而减小，故称为减速蠕变阶段或初始蠕变阶段；2.第二蠕变阶段：如曲线中bc段所示，应变速率保持不变，故称为等速蠕变阶段；3.第三蠕变阶段：如曲线中cd段所示，应变速率迅速增加直到岩石破坏，故称为加速蠕变阶段。

2026/3/317εdcbat0图5-1岩石蠕变曲线

（5）岩石的长期强度

当岩石的应力超过某一临界值时，蠕变向不稳定蠕变发展；当岩石的应力小于该临界值时，蠕变按稳定蠕变发展。通常称此临界应力为岩石的长期强度。5.3.2流变模型理论流变性主要研究岩石在流变过程中的应力、应变和时间的关系，即通过应力、应变和时间组成的流变方程来表示。流变方程主要包括本构方程、蠕变方程和松弛方程。在一系列的岩石流变试验基础上建立反映岩石流变性质的方程，通常有两种方法：2026/3/318（1）经验方程法

即根据岩石蠕变试验结果，由数理统计学的回归拟合方法建立的方程。通常形式为：（2）微分方程法

本方法是将岩石介质理想化，归纳成各种模型，模型可用理想化的具有基本性能（弹性、塑性和粘性）的元件组合而成。通过这些元件不同形式的串联和并联得到一些典型的流变模型体，相应地推导出它们的有关微分方程。

2026/3/319（5-10）

5.3.3基本元件（1）弹性元件（虎克体H）

1.定义

如果材料在载荷作用下，其变形性质完全符合虎克定律，即是一种理想的弹性体，则称此种材料为虎克体，用符号H代表。

2.力学模型2026/3/3110图5-2虎克体力学模型及其动态3.本构方程

4.虎克体的性能

1）具有瞬时弹性变形性质，无论载荷大小，只要不为零，就有相应的应变，当为零时，也为零，说明虎克体没有弹性后效，即与时间无关；2）应变恒定时，应力也保持恒定不变，应力不会因时间增长而减小，故无应力松弛性质；3）应力保持恒定时，应变也保持不变，即无蠕变性质。2026/3/3111（5-11）

（2）塑性元件（库仑体C）

1.定义

当物体所受的应力达到屈服极限时，便开始产生塑性变形，即使应力不再增加，变形仍然不断增长，具有这一性质的物体为塑性体，用符合Y来代表。

2.力学模型

2026/3/3112图5-3塑性体力学模型及其动态3.本构方程4.塑性体的性能1）当物体所受的应力小于屈服极限时，模型表现为刚形体；2）当物体所受的应力大于或等于屈服极限时，模型表现为理想塑性体，即具有塑性流动的特点。2026/3/3113（5-12）

（3）粘性元件（牛顿体N）

1.定义

牛顿流体是一种理想粘性体，即应力与应变速率成正比，用符号N表示

。

2.力学模型

2026/3/3114图5-4牛顿流体力学模型及其动态3.本构方程

将（5-13）式积分，得：式中：C——积分常数，当时，C=0，则：4.牛顿体的性质1）从（5-15）式可以看出，当t=0时，ε=0。当应力为时，完成其相应的应变需要时间，说明应变与时间有关，牛顿体无瞬时变形。2026/3/3115或（5-13）

（5-14）

（5-15）

2）当时，即，积分后得，表明除去外力后应变为常数，活塞的位移立即停止，不再恢复，只有再受到相应的压力时，活塞才回到原位。所以牛顿体无弹性后效，有永久形变。3）当应变时，，说明当应变保持某一恒定值后，应力为零，即无应力松弛性能。2026/3/31165.4组合流变模型

三种基本元件进行组合时应力、应变的计算规则：

1.串联组合体中各元件的应力相等；应变等于各元件应变之和。

2.并联组合体中各元件的应变相等；应力等于各元件应力之和。5.4.1圣维南体（St.V:H-C）（1）力学模型

2026/3/3117图5-5圣维南体力学模型（2）本构方程

本构图形2026/3/3118（5-16）图5-6圣维南体本构关系示意图

（3）卸载特性

如在某一时刻卸载，使，则弹性变形全部恢复，塑性变形停止，但已发生的塑性变形永久保留。（4）圣维南体的特性

1.代表理想弹塑性体，它无蠕变，无松弛也无弹性后效。

2.本构关系与时间t无关，故不属于流变模型，但它是复合体模型中常见的一个组成部分。2026/3/31195.4.2马克斯威尔体（M:H-N）（1）力学模型（2）本构方程

由串联关系可得：

2026/3/3120图5-7马克斯威尔体力学模型

由于所以本构方程为：（3）蠕变方程

在恒定载荷作用下，则，其本构方程可化简为：解此微分方程，代入初始条件，得蠕变方程：

2026/3/3121

（5-17）

（5-18）

（4）松弛方程

当保持不变时，则有，因此本构方程可变为：解此方程，代入初始条件，可得松弛方程：（5）松弛时间

令，则（5-19）式可变为：当t=t1时定义：规定应力降到初始应力的37%时，所需要的时间为松弛时间。2026/3/3122（5-19）

（6）马克斯威尔体的特性

1.具有瞬时变形，并随着时间增长应变逐渐增大，即具有等速蠕变的性质；

2.当应变恒定时，应力随时间的增长而逐渐减小，即马克斯威尔体模型具有松弛效应。

2026/3/3123图5-8马克斯威尔体的蠕变曲线和松弛曲线5.4.3开尔文体（K:H/N）（1）力学模型（2）本构方程

由于二元并联关系可得：因此开尔文体的本构方程为：

2026/3/3124图5-9开尔文体力学模型（5-20）

（3）蠕变方程

如果在时，施加一个不变的应力后，保持恒定，根据本构方程可得：解上述微分方程，代入初始条件，可得蠕变方程：（4）卸载方程

在时卸载，即，代入本构方程：

2026/3/3125（5-21）

解上述微分方程可得：当时，，结合本构方程，可得卸载方程

：由式（5-21）和（5-22）可得如下曲线2026/3/3126或

（5-22）

图5-10开尔文体蠕变曲线和弹性后效曲线

（5）松弛方程

当模型的应变恒定时，即，此时的本构方程为：

由（5-23）式可以看出，当应变保持恒定时，应力也保持恒定，并不随时间增加而减小，即本模型没有应力松弛性质。（6）开尔文体的特性

1.属于稳定蠕变模型；

2.具有弹性后效性质，没有松弛性质。

2026/3/3127（5-23）

5.4.4理想粘塑性体（C/N）（1）力学模型

2026/3/3128图5-11理想粘塑性体力学模型（2）本构方程

根据并联规则：

这两个元件的本构关系为：根据本构关系可知，当时，，说明此时模型表现为刚体性质。但当时，，此时为理想粘塑性体。因此，本模型的本构方程为：2026/3/3129（5-24）

（3）蠕变方程

1.当时，本模型属于刚体，没有蠕变性质。

2.当时，设有恒载，代入本构方程有：解此微分方程，代入初始条件，可得蠕变方程：（4）理想粘塑性体特性

本模型没有弹性和弹性后效，有不稳定蠕变。2026/3/3130（5-25）

5.4.5广义开尔文体（广义K:H-K）（1）力学模型

（2）本构方程

由于串联有：对于弹簧有：对于开尔文体有：2026/3/3131图5-14广义开尔文体力学模型所以2026/3/3132化简上式可得广义开尔文体本构方程：

（5-26）

（3）蠕变方程在恒定载荷作用下，由于广义开尔文体由弹簧和开尔文体两部分组成，其蠕变也是由两部分组成。对于弹簧只有瞬时变形，对于开尔文体，其蠕变方程为，可应用叠加法，所以广义开尔文体在恒定应力作用下的蠕变方程为：

2026/3/3133（4）弹性后效（卸载效应）

如果在时刻卸载，虎克体产生的弹性变形立即恢复，但是开尔文体的变形则需要经过较长时间才能恢复到零，其卸载方程和开尔文体的卸载方程相类似，只是用代替即可。其蠕变曲线和弹性后效曲线，如图5-15所示。

2026/3/3134蠕变曲线t0弹性后效图5-15广义开尔文体蠕变曲线和卸载曲线5.4.6饱依丁-汤姆逊体（PTh：H/M）（1）力学模型（2）本构方程

本模型是由马克斯威尔体与虎克体并联而成，由并联规则：2026/3/3135图5-16饱依丁-汤姆逊体力学模型由马克斯威尔体的本构关系可得：由虎克体可得：即：代入化简，即可得到本模型的本构方程：

2026/3/3136则：

且有

（5-28）

（3）蠕变方程当在恒定的应力作用下，此时，则本构方程变为：解上述式微分方程，可得：从（5-29）分析可以得出：

1.当时，；

2.当时，可得：。2026/3/3137（5-29）

由1、2可知（5-29）式所表达的蠕变曲线如图5-17所示，且此蠕变属于稳定蠕变。（4）卸载方程（弹性后效）若本模型在受恒载的时刻突然卸载，此时产生的蠕变应变为：

2026/3/31380t图5-17饱依丁-汤姆逊体蠕变曲线

为了研究模型卸载后应变变化情况，因此令此时刻为零时刻，即，并且有，根据本构方程可得：解上式微分方程可得：从（5-30）式可以看出：当时的应变；当时，。应力在时刻就已经为零了，而应变则需要更长时间才能回零，因而，本模型具有弹性后效性质。2026/3/3139（5-30）

（5）松弛效应

饱依丁-汤姆逊体是由一个马克斯威尔体和一个虎克体并联而成，马克斯威尔体具有松弛效应，因此，如果保持本模型的不变，即保持不变，此时保持恒定，而由于松弛效应而减小，使得也减小。由此看来，本模型具有松弛性质。5.4.7宾汉姆体（1）力学模型

2026/3/3140图5-18宾汉姆体力学模型（2）本构方程

由串联可得：

对于虎克体有：

对于理想粘塑性体有：因此，宾汉姆体的本构方程为：

2026/3/3141（5-31）

（3）蠕变方程

当模型在恒定应力的作用下，此时。若时，理想粘塑性体没有变形，只有弹簧有变形，但没有蠕变；若时，根据本构方程（5-31）式第二式可得：解此微分方程，代入初始条件，得蠕变方程为

：

2026/3/3142（5-32）

（）

0图5-19宾汉姆体蠕变曲线

（4）松弛方程如果保持应变恒定，即，则。1.若应力值，则理想粘塑性体为刚体，没有形变，此时的宾汉姆体相当一个虎克体，没有松弛。2.若应力值在的条件下，根据本构方程可知：解此微分方程，代入初始条件，可得松弛方程：

2026/3/3143

（5-33）

（）

5.4.8四元件组合体——伯格斯体

（1）力学模型

（2）本构方程

在推导本构方程时，可将开尔文体和马克斯威尔体看成单个元件，然后应用串联运算规则，即可求出整个模型体的本构方程如下：2026/3/3144图5-21伯格斯体力学模型（5-34）

（3）蠕变方程

在推导蠕变方程时，也可把开尔文体和马克斯威尔体的蠕变方程进行叠加，就可得出本模型的蠕变方程：（4）卸载效应

如果在某一时刻卸载，马克斯威尔体的弹簧k2产生瞬时变形，但它的粘性元件也产生了永久变形；对于开尔文体卸载后，由于粘性元件的作用，使弹簧的形变不能马上恢复，而只能经过相当一段时间后，才能使这两个元件的变形得以恢复，因此，这就使本模型具有了弹性后效效应。2026/3/3145

（5-35）（5）伯格斯体的特性1.具有瞬时弹性变形；2.具有减速蠕变、等速蠕变、弹性后效以及松弛效应等性质；3.比较适合描述软岩的性质。

2026/3/3146卸载曲线蠕变曲线0图5-22伯格斯体蠕变和卸载曲线5.4.9五元件组合体——西原体

（1）力学模型

（2）本构方程

1.本模型在时，理想粘塑性体表现为刚体，没有形变。因此，它就是广义开尔文体，它具有瞬时弹性变形、弹性后效、蠕变和松弛等性质。

2.当时，它与伯格斯体模型相似，只是应力要扣除即可。因此本模型的本构方程为：

2026/3/3147图5-23西原体力学模型

（3）蠕变方程

本模型的蠕变方程也可以应用叠加和变化列出：

2026/3/3148（5-36）

（5-37）

（4）西原体的特性

1.在应力水平较低时具有广义开尔文体的性质，表现出稳定蠕变；

2.当应力水平超过岩石某一临界值后，理想塑性体的性质以充分表现出来，本模型逐渐转化为不稳定蠕变性质；

3.本模型比较适合模拟软岩的流变特性。2026/3/31495.6岩石强度理论5.6.1概述（1）岩石强度理论是研究岩石在各种应力状态下的强度准则的理论。（2）强度准则表征岩石在极限应力状态下的应力状态和岩石强度参数之间的关系。（3）应力正负号的规定

1.以压应力为正，拉应力为负。

2.剪应力使物体产生逆时针转动为正，反之为负。

3.角度以x轴正向沿逆时针方向转动所形成的夹角为正，反之为负。

2026/3/3150（4）基本应力公式

任意角度截面的应力计算公式最大主应力和最小主应力的表达式

最大主应力与作用面的夹角2026/3/3151图5-25二维的应力状态

5.6.2最大正应力强度理论（1）实质材料破坏取决于绝对值最大的正应力。因此，对于作用于岩体的三个主应力，只要有一个主应力达到岩体或岩石的单轴抗压强度或单轴抗拉强度，岩体或岩石就会破坏。（2）强度条件其中：——岩体或岩石单轴抗压强度及单轴抗拉强度的泛称。

2026/3/3152或

（3）应用条件

本理论只适用于岩体单向受力状态或者脆性岩石在二维应力条件下的受力状态，所以对于处于复杂应力状态中的岩体不宜采用这种强度理论。5.6.3最大正应变强度理论（1）实质

材料破坏取决于最大正应变，材料发生张性破坏的原因是由于其最大正应变达到或超过一定的极限应变所致。所以只要岩体中任意一方向的最大正应变达到其单轴压缩或单轴拉伸破坏时的应变值时，岩体或岩石就会破坏。

2026/3/3153（2）强度条件

式中：根据广义虎克定律求出；由岩体或岩石单轴压缩或单轴拉伸试验确定。或由广义虎克定律，可写成如下形式：其中：——三个主应力；——岩体泊松比；——泛指岩体单轴抗压强度及单轴抗拉强度。（3）应用条件

本强度理论只适用于无围压或低围压条件下的脆性岩石或岩体，而不宜用于岩体的塑性变形。

2026/3/31545.6.4最大剪应力强度理论

（1）实质

材料的破坏取决于最大剪应力。即当岩体所承受的最大剪应力达到其极限剪应力时，岩体便发生剪切破坏。（2）强度条件

或者可写成如下解析形式：（3）应用条件

本理论比较适合岩体弹塑性分析，但这种强度理论没有考虑中间主应力的影响。2026/3/3155或5.6.5库仑准则（1）实质

岩石的破坏主要是剪切破坏，岩石的强度，即抗摩擦强度等于岩石本身抗剪切摩擦的粘结力和剪切面上的法向力产生的摩擦力。（2）强度条件库仑准则的莫尔应力圆直观图解

应力摩尔圆方程

2026/3/3156图5-26

坐标下库仑准则

（3）库伦-摩尔圆的力学意义

1.如果应力圆上的点落在强度曲线AR之下，则说明该点表示的应力还没有达到材料的强度值，故材料不会破坏；

2.如果应力圆上的点超过了该区域，则说明该点表示的应力以超过了材料的强度并发生破坏；

3.如果应力圆正好与强度曲线相切，则说明材料处于极限平衡状态，岩石所产生的剪切破坏将可能在该点所对应的平面上发生。（4）定义

破断角是指最大主应力方向与剪切面间的夹角。

由图5-26可得：

2026/3/3157（5）一些重要关系由图5-26可知若用平均主应力和最大剪应力表示，则上式变为：另外还可以得到：

2026/3/3158（5-51）

（5-52）

若令，则极限应力为岩石的单轴抗压强度，即：利用三角恒等式有：根据（5-53）式和（5-54）式，（5-52）式可变成：

2026/3/3159（5-54）

（5-55）

（5-53）

5.6.6莫尔强度理论（1）实质材料性质本身也是应力的函数。且指出“到极限状态时，滑动面上的剪应力达到一个取决于正应力与材料性质的最大值”。可用函数关系表示：

（2）函数曲线的力学意义

1.表示对应于各种应力状态下的破坏莫尔应力圆包络线，即各破坏莫尔圆的外公切线，称为莫尔强度包络线。所谓莫尔强度包络线就是指有各极限应力圆的破坏点所组成的轨迹线。

2026/3/31602.这条曲线可以判断岩石中一点是否发生剪切破坏，如果应力圆与包络线相切或相割，则研究点将产生破坏；如果在包络线下方，则不会产生破坏。

3.包络线形式有：斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等，其中斜直线型与库仑准则基本一致，可以说，库仑准则是莫尔准则的一个特例。

2026/3/3161图5-27完整岩石的莫尔强度曲线

a–单向抗拉；b-单向抗压；c-三向受压

（3）二次抛物线型

1.包络曲线图2026/3/3162图5-28二次抛物线型强度包络线

2.函数形式式中：——岩石的单轴抗拉强度；n——待定系数。利用图5-28，有下列关系式：并且有：

2026/3/3163（5-57）

（5-58）

（5-59）

将（5-59）式代入（5-58）式，并消除式中的，得二次抛物线型包络线的主应力表达式为：在单轴压缩条件下，有则可根据（5-60）式解得待定系数n，即：因此，利用（5-57）式、（5-60）式和（5-61）式，可判断岩石试件是否破坏。

2026/3/3164（5-60）

（5-61）

（4）双曲线型

函数表达式：式中：——包络线渐近线的倾角，。（5）适用范围

1.二次抛物线形的比较适合岩性为中软以下的岩石，如泥灰岩、砂岩、泥质页岩等；

2.双曲线形比较适合岩性为中硬以上的岩石，如砂岩、灰岩、花岗岩等。2026/3/3165（5-62）

（6）优缺点

1.优点：

1）实质上是一种剪应力强度理论，该理论比较全面的反映了岩石的强度特征，它既适用于塑性岩石也适用于脆性岩石的剪切破坏；

2）反映了岩石的抗拉强度远小于抗压强度这一特性；

3）能解释岩石在三轴等拉时会破坏，而在三轴等压时不会破坏的特点。

2.缺点：

1）忽略了中间主应力的