《数字信号处理基础》-第3章

3.1离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义序列x(n)的DTFTX(ejω)定义如下:从定义可以看出，序列x(n)的DTFTX(ejω)是曰的连续函数。同时它还是一个周期为2π的周期函数。因此，它的一个周期包含了信号的全部信息。周期性证明如下:下一页返回3.1离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义式(3.1)实际上就是周期函数x(ejω

的傅里叶级数表达式，其中x(n)相当于由下式计算的傅里叶级数的系数序列列x(n)与DTFT变换x(ejω

)的关系记为某些序列虽不是绝对可和但却是平方可和的，这种序列的幂级数均方收敛于x(ejω

)。对于既不是绝对可和又不是平方可和的序列，应借助冲激函数来定义它们的DTFT。上一页返回3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)的性质DTFT具有许多重要性质，掌握了这些性质，能够更深刻地理解DTTF的内涵，利于灵活运用其解决实际问题。1.线性性质如果那么线性性质使傅里叶变换适合用于线性系统的研究。2.时移性质如果那么，下一页返回3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)的性质3.频移性质如果，那么频率的平移如图3-2所示。4.频域微分性质如果，那么5.时间翻褶性质如果，那么这意味着，如果信号在时间上是关于原点折叠的，那么它的幅度谱保持不变，而相位谱的符号发生变化(相位倒置)。上一页下一页返回3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)的性质6.时域卷积定理如果，那么时域的线性卷积对应于频域的相乘。在时域中，LSI系统的输出是通过计算输入序列与系统的单位冲激响应的线性卷积求得的。根据DTFT的时域卷积定理，在频域中分别求输入序列和单位冲激响应的傅里叶变换并相乘，然后进行反变换，同样可以得到系统输出。上一页下一页返回3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)的性质7.时域卷积定理如果，那么时域的相乘对应于频域的周期性卷积并除以2π。这个性质对于分析序列加窗截断后频谱的变换很有帮助。8.共轭性质如果，那么上一页下一页返回3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)的性质时域取共轭对应于频域的共轭且翻褶。9.帕斯瓦尔定理时域的总能量等于频域的总能量(称为能量谱密度)。为了方便参考，本节中推导出来的这些性质总结在表3-1中。上一页返回3.3离散时间信号的Z变换3.3.1z变换的定义与收敛域若一个给定的序列为x(n)，则其z变换定义为关系（3.4）有时也被称为z正变换，因为它将时域信号x(n)变换到它的复平面表达式X(z)，其反过程，即从X(z)获得x(n)的过程，被称为z逆变换，将在后面的章节论述。出于方便，信号x(n)的z变换记为X(z)=z[x(n)]，序列x(n)与z变换X(z)的关系记为。下一页返回3.3离散时间信号的Z变换若用极坐标的形式z=rejω来表示复变量z，则式（3.4）可以表示为序列x(n)的离散时间傅里叶变换X(ejω)为z变换的几何解释。固定r和ω，复数z平面上的点z=

rejω位于长度为r的向量的顶端，该向量通过原点z=

0且与实数轴的夹角为ω，|z|=1是z平面上半径为1的圆，称之为单位圆，如图3-3所示。单位圆的常用表达式除|z|=1外，还有z=ejω。上一页下一页返回3.3离散时间信号的Z变换像离散时间傅里叶变换DTFT一样，式（3.4）中描述的无限长序列是有收敛条件的。对任意给定的序列x(n)，使其X(z)（即式（3.4））收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域，表示为ROC（RegionofConvergence）。按照级数理论，式（3.4）的级数收敛的必要且充分条件是满足绝对可和的条件，即要求从式（3.6）可以看出，若对于z=

rejω的取值z变换X(z)都存在，则z平面上以r为半径的圆的任何一点，其z变换都是存在的。上一页下一页返回3.3离散时间信号的Z变换通常而言，序列x(n)的z变换的收敛域是一个环形区域r-<|z|<r+，其中，0≤r-<r+<∞，如图3-4所示。收敛域内的每一点的X(z)都解析，即X(z)及其所有导数是z的连续函数。在后面的章节中将看到，很多不同的序列却有着相同的z变换表达式。因此，确定序列x(n)的收敛域ROC很重要，因此引用z变换时应指明它的收敛域。3.3.2z逆变换已知序列x(n)的z变换X(z)及X(z)的收敛域，求出原序列x(n)，就叫做求z逆变换，表达式为x(n)=IZT[X(z)]。z反变换实质上是求X(z)的幂级数展开式系数。上一页下一页返回3.3离散时间信号的Z变换实际应用中，根据具体问题特点，求z反变换比较常见的方法有3种：幂级数法(长除法)、部分分式分解法、留数法（应用留数定理）。部分分式分解法的关键是将X(z)展成部分分式的形式，然后可以查表求出每一个部分分式的z反变换，将各个反变换相加起来，就得到所求的x(n)。1．相异极点（1）设M<N，即X(z)为一个真分式，即上一页下一页返回3.3离散时间信号的Z变换其中，系数（2）设M=N，则其中，系数（3）设M>N，则上一页下一页返回3.3离散时间信号的Z变换可分成两步求：第一求和项，用长除法可求出各个系数Bn

，写出其z反变换。第二项写成部分分式，其系数的求法和（1）中完全一样。完成部分分式分解后，可针对ROC求出各部分的z反变换，最后将所有结果加起来就是所求的z反变换。2．多重极点如果X(z)具有一个m（m≥2）重极点，即在式子的分母中含有因式

，该部分分式展开式必须包含以下项：上一页下一页返回3.3离散时间信号的Z变换3.3.3z变换的性质1．线性性质若则该线性性质容易向任意多个信号推广。基本上，这意味着信号的线性组合的z变换与z变换的线性组合是相同的。因此，线性性质有助于用各个已知z变换的信号之和来表达一个信号的z变换。2．序列的移位（时域延时）上一页下一页返回3.3离散时间信号的Z变换若其中，m为任意整数，m为正，则为延迟；m为负，则为超前。Z-mX(z)收敛域与X(z)的收敛域是一样的，当m>

0时z=

0和m<

0时z=∞这两种情况除外。线性和时移性质是使z变换在离散时间LSI系统的分析中特别有用的关键特征。3．z域尺度变换（乘以指数序列）如果,收敛域为,那么对于任意常数a，无论是实数或复数，都有上一页下一页返回3.3离散时间信号的Z变换4．z域求导（序列线性加权）若，则5．时间翻褶若,收敛域：则,收敛域：上一页下一页返回3.3离散时间信号的Z变换6．序列的卷积和（时域卷积和定理）若,则(z)的收敛域至少是X1(z)的收敛域和X2(z)的收敛域的交集。为了方便查阅，本节中讲述的z变换的性质总结于表3-2中。表3-3给出了一些常用的z变换对。上一页返回3.4离散线性移不变（LSI）系统的变换域表征3.4.1LSI系统的描述1．LSI系统的时域描述（1）用单位抽样响应h(n)来表征：此时若输入为x(n)，输出为y(n)，则它们之间的关系为（2）用常系数线性微差方程来表征输出与输入的关系：下一页返回3.4离散线性移不变（LSI）系统的变换域表征2．变换域中的描述变换域中的描述也有两种方法：z域及频域。（1）用系数函数H(z)来表征：此时，在z域的输入与输出关系为同时，当系统起始状态为零时，将式（3.22）的差分方程两端取z变换，则可用差分方程的系数来表征系统函数H(z)，即上一页下一页返回3.4离散线性移不变（LSI）系统的变换域表征（2）用频率响应H(ejω

)来表征。若系统函数在z平面单位圆上收敛，则当z=

ejω时，H(ejω

)=存在。称H(ejω

)为系统的频率响应，它可以用h(n)来表征，也可以用差分方程各系数ak、bm

来表征。将z=

ejω代入式（3.25），并考虑式（3.23），有上一页下一页返回3.4离散线性移不变（LSI）系统的变换域表征将z=

ejω代入式（3.25），有3.4.2LSI系统的因果、稳定条件1．时域条件这个在第2章已经讨论过了：上一页下一页返回3.4离散线性移不变（LSI）系统的变换域表征（1）因果性：h(n)=0，n<0，h(n)是因果序列（3.28）（2）稳定性：2．z域条件对H(z)来说：（1）因果性。H(z)收敛且要满足（2）稳定性。H(z)的收敛域必须包含单位圆，即z=1。上一页下一页返回3.4离散线性移不变（LSI）系统的变换域表征（3）因果稳定性。一个LSI系统是因果稳定系统的充要条件是系统函数H(z)必须在从单位圆z=1到|z|=∞的整个z平面内收敛（1≤|z|≤∞），即系统函数H(z)的全部极点必须在z平面单位圆内。3.4.3LSI系统的频率响应H(ejω

)的意义（1）H(ejω

)是连续的以2π的整数倍为周期的函数，因为H(ejω

)=H(ej(ω+2π))。在一个周期中，ω

=

0,2π表示最低频率，ω

=

π表示最高频率。（2）若LSI系统的输入为复指数序列x(n)=ejω

n，设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统输出为上一页下一页返回3.4离散线性移不变（LSI）系统的变换域表征输入为ejω

n，输出也还含有ejω

n，且它被一个复值函数H(ejω

)所加权。称这种输入信号为系统的特征函数，即ejω

n为LSI系统的特征函数，把H(ejω

)称为特征值。是h（n）的离散时间傅里叶变换，它描述复指数序列通过LSI系统后，复振幅（包括幅度与相位）的变换。上一页下一页返回3.4离散线性移不变（LSI）系统的变换域表征（3）若系统输入为正弦型序列，则输出为同频的正弦型序列，其幅度受频率响应幅度H(ejω

)加权，输出相位为输入相位与系统相频响应之和。即若系统输入为0x(n)=Acos(ω0n+Φ)，则输出为上一页返回3.5人物介绍：傅里叶与傅里叶分析傅里叶分析是信号处理中最基本、也是最核心的内容之一。这种分析方法得名于数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（JeanBaptisteJosephFourier）。傅里叶分析不仅应用于信号处理领域，作为数学分析的一个重要分支，傅里叶分析还在很多工程领域有非常广泛的应用。让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（1768—1830），法国著名数学家、物理学家。生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，8岁时沦为孤儿，就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长。下一页返回3.5人物介绍：傅里叶与傅里叶分析傅里叶在研究热传导问题时提出傅里叶分析的基本思想：任何一个周期信号都可以分解为正弦和余弦之和。1807年，他写成论文《热的传播》投寄到法国科学院巴黎学会期刊，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，理由是没有对不连续信号的问题做出严格的数学证明。傅里叶在论文中推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一