现代控制理论-闫茂德-配套教学课件第4章 稳定性理论与李亚普诺夫方法

现代控制理论长安大学《现代控制理论》教学组主讲

人：闫茂德联系方式子邮件：mdyan@循度鲁参接第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法自动控制系统最重要的特性莫过于它的稳定性，因为一个不稳定的系统是无法完成预期控制任务的，还存在潜在的危险。因此，如何判别一个系统是否稳定以及怎样改善其稳定性乃至系统分析与设计的一个首要问题。经典控制理论判别稳定性的方法有“Routh（劳斯）判据”、“Hurwitz（赫尔维茨）判据”和频域的“Nyquist（乃奎斯特）判据”。现代控制理论中，1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。教学要求：正确理解稳定性(内部和外部稳定)基本概念和李雅普洛夫稳定性概念。熟练掌握李雅普诺夫第一法（间接法），李雅普诺夫第二法（直接法）。掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳定性分析方法。重点内容：李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数的构造。线性定常系统与非线性系统稳定性的定理与判别。李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法一、稳定的一般性概念

系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。二、系统稳定分类系统外部稳定：又称作输出稳定，当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法系统内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。三、经典控制论中的稳定性理论

1、经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。

在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统的内部状态。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法2、经典控制论稳定性分析方法劳斯（Routh）－赫尔维茨（Hurwitz）稳定判据：可以通过线性定常系统特征方程系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。频域：奈奎斯特判据。3、经典控制论稳定性分析方法的适用性研究的对象：线性定常系统不能解决的问题：（1）时变系统的稳定性分析；(4.1)第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法（2）非线性系统的稳定性分析；（3）系统内部状态稳定性分析。针对线性时变系统和非线性系统的稳定性问题，以及判别系统的内部稳定或状态稳定，可以应用Lyapunov方法。

4.1稳定性基本概念4.1.1外部稳定性对于初始状态为零的因果系统，其输入-输出描述可表示为：ty(t)

t

G(t,

)u(

)d

0G(t,

)

为统相应的脉冲函数矩阵。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法外部稳定也称为有界输入-有界输出稳定(简称BIBO稳定)定义4.1

对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数k及一个标量

，使得对于任意的

t

[t0

,

)

，当系统的控制，使得对于一切输入

u(t)

满足

u(t)

k

时，所产生的输出

y(t)

满足系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。定理4.1

[时变情况]

对于零初始条件的线性时变系统，设

G

(t,

)为其脉冲响应矩阵，该矩阵的维数为

m

r

维，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常数

ky(t)

ak

，则该因果第4章稳定性理论与李雅普诺夫方法t

[t0

,

) ，G(t,

)

的每个元素

gij

(t,

)(i

1,

2,

,

m;

j

1,

2,

,

r)

满足0tijg (t,

)d

k

t(4.2)BIBO稳定究传递函数矩阵

W

(s)

极点的极点是否具有负实部，正是经典控制理论中研究的稳定性，广泛采用的方法有劳斯-赫尔维茨判据，即由

W(s)

特征多项式的系数直接判断BIBO稳定性。4.1.2内部稳定性内部稳定性揭示系统零输入时内部状态自由运动的稳定性，是基于系统的状态空间描述。因此，内部稳定性是指系统状态运动的稳定性，其实质上等同于李雅普诺夫意义下的渐近稳定。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法对于线性定常系统

x

Ax

Bu0t

t0

y

Cx

x(t)

x(t

)(4.5)如果系统的外部控制输入u(t)

0

，对于任意初始状态

x(t0

) ，由初始状态

x(t0

)

引起的零输入响应x(t)

Φ(t,

t0

)

x(t0

)

满足t

则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。lim

Φ(t,

t0

)

x(t0

)

0第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法线性定常系统渐进稳充分必要条件是矩阵A的所特征值均具有负实部，即当系统矩阵A给定后，可导出其特征多项式

(s)

det(sI

A)

sn

a sn

1

as

an

1 1 0可以利用劳斯-霍尔维茨判据，接由系数

ai

(i

0,1,

,

n

1) 来判系统的稳定性。Re{

i

(

A)}

0,i

1,

2,

,

n第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.1.3

外部稳定性与内部稳定性间的关系内部稳定性描述了系统状态自由运动的稳定性，这种运动必须满足渐近稳定条件，而外部稳定性是对系统输入量和输出量的约束，这两个稳定性之间的联系必然通过系统的内部状态表现出来。由上述论证可知，一个内部稳定的系统必定是外部稳定的。但这个结论反过来就未必成立。这里仅就线性定常系统加以讨论。定理4.2

线性定常系统如果是内部稳定的，则系统一定是BIBO稳定的。定理4.3

线性定常系统如果是BIBO稳定的，则系统未必是内部稳定的。定理4.4

线性定常系统如果是完全能控、完全能观的，则内部稳定性与外部稳定性是等价的。或者说，线性定常系统内部稳定性与外部稳定性等价的充要条件是系统完全能控能观。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.2李雅普诺夫关于稳定性定义控制理论稳定性定义：线性定常系统的稳定性与系统的结构和参数有关，与系统的初始条件和扰动的大小无关。非线性系统稳定不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件和扰动大小无关。经典控制理论并没有给出适合任何系统稳定性定义！李雅普诺夫稳定性定义给出了对任何系统普遍适用的稳定性的一般定义。李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法

。李雅普诺夫函数需要针对系统来设计，不具有一般性

。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.1.1

系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为

x

f

(x,t)—n

维状态矢量xf (

x

,

t

)

—n

维矢量函数在给定初始条件(t0,x0

)下，有唯一解：x

(x0

,t0

;t)x0

(x0

,

t0

;t0

) 表示初始时刻的状态。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法x

(x0

,t0

;t)

表示从初始条件出发的一条运动轨线，称为系统的运动或状态轨线。若系统存在状态矢量，对于任意时间t,

都有：f

(xe

,

t)

0则称该状态为系统的平衡状态

，记为：x

e关于平衡状态的说明对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态。有时即使存在也未必是唯一的。【例4.2】：非线性系统的状态方程为：试求系统的平衡状态。解：可以得到系统的三个平衡状态为x

1

x1x

x

x

x32 1 2 2f

(xe

,

t)

0e1e2 e3x

0

,

x

0

,

x

0

1

0

1

第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法令：x

1

x

2

则相应的状态空间方程是：x

x1 2平衡点：22 1bMR2Rx

gsin

xx

sin

x

2

0x

1

0

x

k

1

x

2

0第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法【例4.3】单摆动态特性的非线性方程为MR2

b

MgRsin

0第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.1.2

稳定性的几个定义状态空间几何描述的几个基本概念状态矢量与平衡点

xe的距离：用

x

xe

表示且有：x

xe

(x

x )

(x

x )

...

(x

x )2 2 21 1e 2 2e n ne以xe为中心为

半径的超球体点集用：(

)S 表示，且如果状态变量x属于该超球体点集则有：邻域：当ε很小时，称

S(

)

为xe的邻域。则有： 表示系统由初始状态x0或扰动所引起的自由自由响应有界：若系统状态方程的解xt

(t,x0

,t0

)位于球域S(

)

内响应有界。1.李雅普诺夫意义下稳定设x

e为系统的一个平衡点，如果给定一个以xe为球心，以ε为半径的n维球域

S

，总能找到一个同样以为x

e

球心，

为半径的n维球域S

，使得从

S 球域出发的任意一条系统状态轨迹在t≥t0的所有时间内，都不会跑出S

球域，则称系统的平衡状态xe是李雅普诺夫稳定的。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法稳定的平衡状态及其状态轨线第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法2、渐近稳定如果xe不仅是李雅普诺夫稳定的平衡状态，而且当时间t无限增加时，从

球域出发的任一条状态轨迹都最终收敛e e于球心平衡点x

，那么称x

是渐近稳定的。S(

)

(tx,0 0,t)3、大范围渐近稳定如果从S(∞),即整个系统状态空间的任一点出发的任一条状态轨迹e e，当t→∞时，都收敛到平衡点x

，那么称x

是大范围

(t,x0 0,t)渐进稳定的。很明显，这时的xe是系统的唯一的平衡点。4、不稳定对于给定S

,不论δ>0取得多么小，从S(

)

球域出发的状态轨迹

(t

,x

0

,t

0

)

，至少有一条跑出S

球域，那么称平衡点xe是不稳定的。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法不稳定的平衡状态及其状态轨线第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.3

李雅普诺夫第一法（间接法）

线性定常系统平衡状态Xe＝0渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征根都有负实部。

y

cx4.3.1线性系统的稳定判据设线性定常系统的动态方程为：

x

Ax

bu第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法

试分析系统的状态稳定和输出稳定。第4章稳定性理论与李雅普诺夫方法线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：W(s

)

c

(

sI

A

)

1

b的极点全部都有负实部。渐近稳定

有界输入有界输出稳定【例4.4】

设系统的状态空间表达式为：6

x

2

u,y

0 1

x

1

1

1

x

0解：（1）由A的特征方程得到特征值为－3，2

。所以系统状态不是渐近稳定的。（2）系统的传递函数可见传递函数的极点－3位于s平面的左半平面，故系统输出稳定。det(sI

A)

s(s

1)

6

(s

3)(s

2)

01s

3G(s)

c(sI

A)

1b

第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.2.2

非线性系统的稳定性设非线性系统的状态方程为：x

（f x,t)其中

xe为平衡状态；f[x,t]为与x同维的矢量函数，且对x有连续的偏导数。可将非线性矢量函数f[x,t]在xe邻域展开成泰勒级数：

x

TR(x)—为级数展开式中的高阶导数项x

f (

x

xe

)

R(x

)第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法nT

f

1

f

1

f

1

xn

n

n

f

n

xn

f

xn

x

f

f

x1

x

2

f

2

x1

x

2

f

n

2

x1

x

2

f

2

第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法

x

T

fA

x

A

x略去高阶项R(x)，有定理（李雅普诺夫线性化方法）如果方程式中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态xe是渐近稳定的，而且稳定性与R(x)无关。如果方程式中系数矩阵A特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态xe是不稳定的。如果方程式中系数矩阵A特征值，至少有一个的实部为零，那么原非线性系统在平衡状态xe的稳定性将取决于高阶导数项R(x)

，而不能有A的特征值符号来确定。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法请分析系统的状态稳定性。解：系统有两个平衡状态 Xe1=[0在两个平衡状态处线性化分别可得：0]T Xe2=[1 1]T

x

1

x1x

2

x

2

x1x

2x

1x

2

x

1

x

2x

1x

2

x

2

x

1x

1x

2第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法[例1-4-4] 系统的状态方程为特征值为－1，1。特征值为是不稳定的不能得出稳定性结论1

1

0

1

A

0

2

0

1

10A

j第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.4

李雅普诺夫第二法（直接法）方法：不求解系统的状态方程，通过一个系统的能量函数来直接判断系统的稳定性。问题：在实际系统中，往往不容易找出系统的能量函数。办法：李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数V(x)，作为系统的一个虚构的广义能量函数。根据V

(x

)

的符号性质，可以判断系统的状态稳定性。

第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.4.1预备知识1.标量函数及其符号设V(x)是定义在n维空间Rn上的标量函数，且当X=0时，V(x)=0，而对其余X∈Rn，如果：1）V(x)>0，则称V(x)是正定的。2）V(x)≥0，则称V(x)是半正定的（非负定）。3）V(x)<0，称V(x)是负定的。4）V(x)≤0，则称V(x)是半负定的（非正定）。5）V(x)任意，则称V(x)不定。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法例如：对二维空间矢量：xV

(x)

x

2

2

x

2

是正定的1 2

V

(

x

)

(

x

2

2

x

2

)

是负定的1 2

V

(

x

)

(

x

x

)2

是半负定的1 2

V

(x

)

x

1

x

2

是不定的

x

1 , x

2

T2

1

2

是半正定的V(x)

(x

x

)第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法2.

二次标量函数设：x1

,

x2

,

,

xn 为n个变量，

P为n×n阶的实对称矩阵，则：称为二次型标量函数。21

221 2 nn1n

2p1n

x1

p11 p12

p

x

2n

2

p

x

nn

n

V(x)

xTPx

[x,

x,

,

x ]

p

p

p

p第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法如果P为对称矩阵，则必存在正交矩阵

T，通过变换

x

Tx使之化成

该式称为二次函数的标准形，它只包含变量的平方项。为对称矩阵P的互异特征值

V

(x)

xT

Px

x

TTT

PTx

x

T

(T

1PT

)x2n

i i

x

00

xTPx

x

T

x

0

n

i

1

1 0 0 0

2

0

0 0

0 0 0

i

,

(i

1,

2,

,

n)第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法V

(

x

)

x

T

P

x

正定的充分必要条件是对称矩阵P的所有特征值

均大于零

。矩阵P的符号性质定义:P为n×n的实对称方阵, V(x)

xT

Px 为P决定的二次型函数。P

0(1)若

V

(

x

) 正定,则称P为正定,记作若

V

(

x

)

负定,则称P为负定,记作

P

0若

V

(

x

)

半正定(非负定),则称P为半正定,记作

P

0若

V

(

x

)

半负定(非正定),则称P半负定,记作

P

0第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法3.希尔维斯特判据设实对称矩阵设实对称阵P的各阶主子行列式为：212nijn1 n

2

p11 p1222ji

pp1n

P

,

p

p

p

nn

p

p

p

p第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法矩阵P定号性的充要条件是:p1

1 p1

211

122

12

2,

,

,

n

p

Ppp

第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.4.2李雅普诺夫第二法设系统的状态方程为：x

f

(x)平衡状态为

xe

0，满足

f

(xe

)

0

。如果存在一个标量函数V(x)，它满足：第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法1）V(x)对所有状态x都具有连续的一阶偏导数。2）V(x)是正定的。3）V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数V

(

x

)

分别满足以下条件：a.若

V

(x

)

0

，则

x

e

0

不稳定；b.若

V

(

x

)

0

，则

x

e

0

李雅普诺夫稳定；第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法c.若

V

(x)

0

或者

V

(x)

0但

x

0

时V

(x)

不恒为零，xe渐近稳定；

0d.若

x

e

0

渐近稳定，并且当

x

时，V

(

x

)

则大范围渐近稳定。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法

x1

x2(

x

2

x2

)1 2x

2说明：1、上述稳定性判据只是一个充分条件，并不是必要条件。2、如果给定的V(x)满足上述四个条件之一，那么其结果成立。3、如果给定的V(x)不满足上述任何一个条件，那么只能说明所选的V(x)对本系统失效，必须重新构造V(x)。【例4.6】

已知非线性系统状态方程：x

1

x

2

x1(

x

2

x2

)1 2第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法试分析其平衡状态的稳定性。解：坐标原点（0

0）是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为：

沿任意轨迹求V（x）对时间的导数，得：将状态方程代入上式得V (

x

)

x

2

x

21 2

2

x1

x

1

2

x

2

x

2dx

1

V

dx

2

x1 dt

x

2 dtV

(x

)

V

1

2

V

(

x

)

2

(

x

2

x2)

2第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法围渐近稳定。【例4.7】已知状态方程：是负定的。因此所选标量函数是满足判据条件的一个李雅普诺夫函数。而且当

x

，V(x)

所以系统在坐标原点处为大范

试分析系统平衡状态的稳定性。

1

1

1

xx

0第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法解：原点是系统唯一的平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即V(

x

)

x

2

x

2

01 2则因此V

(x)半负定。根据判据，可知该系统在李雅普诺夫意义下稳定的。那么能否是渐近稳定呢？在选取以下二次型函数：V

(x)

2x

x

2x

x

2x1 1 2 2 22

0

1221

x

x22 2121

x2

)

2

x

(x

22

xV

(

x

)

1

1

2

2

3 1

x

2

x1

0为正定，而V

(

x)

2

x1

x

1

(

x1

x2

)(

x

1

x

2

)

x2

x

2

(x2

x2)

01 2第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法是负定的。且当渐近稳定的结论。【例4.8】设闭环系统如下图所示。试分析系统的稳定性。x

时V(x)

。因此得出该原点是大范围第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法其齐次方程为：

x

设：V

(

x

)

2

x1

x

1

2x2

x

2

2(2x1

x

2

2x1x

2

)

0可见V

(x)

在任意的值上可保持为零，而V(x)保持为某常数，这表示系统运动的相对轨迹是一系列以原点为圆心，

c

为半径的圆。

1

0

u0

11

x解：闭环系统状态方程：

0x

1

x x

x2 2 1V (

x

)

1 2

0x

2 x

2第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法这时为李雅普诺夫意义下的稳定。但在经典控制理论中，这种情况下属于不稳定。【例4.9】

设系统状态方程为：x

x1 22 1 2x

(1

x )x

x1试确定平衡状态的稳定性。解：原点是唯一的平衡状态。初选：V (

x

)

x

2

x

2

01 2第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法V

(x)

2x2

(1

x)2 1当|x1|=1时，V

(t)

0

。当|x1|>1时，

V(t)

0

，可见该系统在单位圆外是不稳定的。但在单位圆内，由于|x1|<1，此时V，x)(

是负定。因此，在这个范围内系统平衡点是渐近稳定的。这个单位圆称作不稳定的极限环。4.4.3

对李雅普诺夫函数的讨论（1）V

(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶偏导数。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法则2对于一个给定系统，如果V

(x)是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。V

(

x

)

的最简单形式是二次型函数。但

V

(

x

)

x

T

Px

并不一定都是简单的二次型。如果

V

(x

)

为二次型，且可表示为n1 2 nii

1x

xT

Ix

V(x

)

x

2

x

2

x

2

V

(x)

Ck

常值Ck

Ck

1

,

k

1,

2,

第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法在几何上表示状态空间中以原点为中心，以

C

为半径的超球面，kV(x)

就表示从原点至

x

点的距离。

V

(x)

便表征了系统相对原点运动的速度。若这个距离随着时间的推移而减小，即

V

(

x

)

0

，

x

(x

)

必将收敛于原点，则原点是渐近稳定的。若这个距离随着时间的推移而非增，即

V

(

x

)

0

，则原点是稳定的。若这个距离随着时间的推移而非增，即

V

(

x

)

0

，则原点是稳定的。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法V

(

x

)

函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况。但丝毫不能提供域外运动的任何信息。由于构造

V

(

x

)

函数需要较多的技巧，因此李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶非线性系统或时变系统

。4.5 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用

李雅普诺夫第二法不仅用于分析线性定常系统的稳定性，而且对线性时变系统以及线性离散系统也能给出相应的稳定性判据。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法则可取为系统的李雅普诺夫函数。V(x)

xTPx第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.5.1

线性定常连续系统渐近稳定判据设线性定常连续系统为：x

Ax则平衡状态

xe

0

为大范围渐近稳定的充要条件是：A的特征根均具有负实部。对任意给定的正定实对称矩阵Q，若存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程：ATP

PA

Q即：Px

x

T PAx证明：设P为n×n维正定实对称矩阵，则V(x)

xTPx是正定的，可选为李雅普诺夫函数。V

(

x

)

x

T Px

x

T P

x

(

Ax )

T

x

T A

T Px

x

T PAx

x

T (

A

T P

PA )

x欲使系统在原点渐近稳定，则要求

V

(x)

必须负定。A

TV

(

x

)

x

T QxP

PAQ

式中：

第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法即：Q

(ATP

PA)

是正定的。应用判据时应该注意的问题：实际应用时，通常先选取一个正定的矩阵Q,代入李雅普诺夫方程解出矩阵P,然后根据希尔维斯特判据判定P的正定性,进而得出渐近稳定的结论。为了计算方便，常取Q=I，这时P满足：ATP

PA

I第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法若V

(

x

)沿任意一条轨迹不恒等于零，那么Q可以取为半正定的。上述判根据所确定的条件与矩阵A的特征值具有负实部的条件是等价的，因而判据所给出的条件是充分必要的。因为

A

T

取Q

(

A

T P

PA )

(

A

T

A

)

2

显然只有当

全为负值时，Q才是正定的。x

TV (

x

)

x

x第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法【例

4-9】

已知系统状态方程：解：设1

x

试分析系统平衡点的稳定性。

2

3

x

0pp

1

2

P

p

1

1Q

I

p

2

122

pp

2

3

1

I3 p

1

2221p12

0p12

p11

0

2

p112221

1 1

4 4

p

5 1

P14

5

02

4 4

5 14 41 14 44

1

0第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法平衡点是大范围渐近稳定。【例4-10】

已知状态方程：21 21x

T

2

x x

x2

)V (

x

)

Px

1 (5x

2214

x

T Qx

(

x

2

x2

)V

(

x

)

K试确定系统增益K的稳定范围。

0 1 0

x

0

2 1

x

0

1

第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法解：原点是系统唯一平衡状态。假设选取半正定的实对称矩阵Q为：

1

0

0

0

00Q

0

00

T2x

1

0 , x

2

0V(x)

xQx

x3

0

x

3

0

V

(

x

)

0

0

10

2

K

p110

p12p12p22p13

p11p23

p12p12p22p13

0p23

01

20

01

0000

0

01

1

p13p23p33

p13p23p33

K0

1

001

第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法

K12

2

K12

2

K12

2

K312

2

K 12

2

K0 K12

2

K 12

2

K6

K 3

KP

0K

12 K 6

K2

3

0K

0

1

0

2

012

2

K

00

K

6第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.5.2

线性时变连续系统渐近稳定判据设线性时变连续系统状态方程为

x

Atx)(则系统在平衡点

xe

0

处大范围渐近稳定的充要条件为：对任意给定的连续对称正定矩阵Q（t）,必存在一个连续对称正定矩阵P（t）,满足：

而系统的李雅普诺夫函数为V

(x,

t)

xT

(t)P(t)x(t)V

(

x

)

x

T (t

)

Q (t)x(t

)P(t

)

AT(t)P(t

)

P(t)A(t)

Q(t

)则系统在平衡点

x

e

0

处大范围渐近稳定的充要条件为：对任意给定的连续对称正定矩阵Q,必存在一个连续对称正定矩阵P,满足：第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法4.5.3

线性定常离散系统渐近稳定判据设线性定常离散时间系统渐近状态方程为x

(

k

1)

Gx

(

k

)GTP

G

P

Q而系统的李雅普诺夫函数为V

[

x(k

)]

xT

(k

)

Px(k

)

V(x)

V[x(k

1)]

V[x(k)]

xT(k)Qx(k

)4.6

李雅普诺夫方法在线性时变系统中的应用4.6.1

连续系统的李雅普诺夫稳定性分析任何一个线性时不变系统的标准分析方法都不能用于线性时变系统，因此，考虑利用李雅普诺夫直接法研究线性时变系统的稳定性是一个很有趣的问题。考虑如下线性时变系统(4.50)不能简单地根据A(t)的特征值在任意时刻

具有负实部，则判断系统是稳定的。下面，我们给出线性时变系统的稳定性判据。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法x

A(t)

x第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法定理4.12

系统(4.50)在平衡状态

xe

0

处大范围渐近稳定的充要条件是，对于任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)

，必存在一个连续对称正定矩阵P(t)，满足(4.51)则系统的李雅普诺夫函数为(4.52)P

(t)

AT

(t)P(t)

P(t)

A(t)

Q(t)V

(

x,

t)

xT

(t)P

(t)

x(t)第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法(4.54)(4.55)成立。并且(4.56)线性时变离散系统的状态方程为：x

k

1

G

k

1,

k

x

k

定理4.13

系统(4.54)在平衡状态

xe

0

处大范围渐近稳定的充要条件是，对于任意给定的正实对称矩阵Q(k)，必存在一个正定的实对称矩阵P(k+1)，使得：GT

k

1,

k

P

k

1

G

k

1,

k

P

k

Q

k

V

[

x(k

),

k

]

xT

(k

)P(k

)

x(k

)是系统的李雅普诺夫函数。4.7李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。非线性系统的稳定性可能只具有局部性质。例如，不是大范围渐近稳定的平衡状态，却可能是局部渐近稳定的，而局部不稳定的平衡状态并不能说明系统就是不稳定的。此外，李雅普诺夫第二法只给出判断非线性系统渐近稳定的充分条件，而不是必要条件。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法第4章稳定性理论与李雅普诺夫方法4.5.1

雅可比(Jacobian)矩阵法即克拉索夫斯基法考虑如下非线性系统x

f

(x)的非线性n维矢量函数，假定原点是平衡状态，且对各状态变量可微。系统的雅可比矩阵定义为式中, x为n维状态向量，f

(x)

为

x1,

x2

,

,

xn第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法

f1

f1

f1

1212

f

(

x)

xJ

(

x)

n

x

x

x

n

f2

x

n

f

f

n

x1

x2

f

n

xn

f2

f2

x

x

则系统在原点渐近稳定的充要条件是：任意给定正定实对称阵P,是下列矩阵:Q

(

x

)

[

PJ

(

x

)

JT

(

x

)

P

]第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法为正定的，并且V(x

)

x

TP

x

f

T

(

x

)

Pf

(

x

)是系统的一个李雅普诺夫函数。若随着

x

还有V

(x)

则平衡状态是大范围渐近稳定的。证明：选取二次型函数V(x

)

x

TP

x

f

T (

x

)

Pf (

x

)为李雅普诺夫函数,因为P为正定矩阵

,

因此

V

(

x

) 正定.x

J

(

x

)

f

(

x

)

f dx

fdt

dt

x

T

x

Tf

(x

)

df

V

(

x

)

f

T

(

x

)

P

f

(

x

)

f

T(x

)

Pf (

x

)

f

T

(

x

)

PJ

(

x

)

f

(

x

)

[

J

(

x

)

f

(

x

)]T Pf (

x

)

f

T

(

x

)[

PJ

(

x

)

J

T

(

x

)

P

]

f

(

x

)

f

T

(

x

)Q

(

x

)

f

(

x

)第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法要使系统渐近稳定,V

(x) 必须是负定的,即

Q(x)必须是正定的要使

Q(x)

为正定,必须使J(x)对角线上的所有元素不恒为零。如果就不可能是正定的,因而系统的平衡点。因而可能是渐近稳定的。也就不如果取P=I

，则称为克拉索夫斯基法表达式TQ(

x

)

[

PJ (x

)

J (x)P

]fi(x

)

xi不含

xi ,那么J

(x)主对角线上的元素

fi(x)

必恒为零,则

Q(x)xe

0(x

)]TQ (

x

)

[

J (

x

)

J第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法V

(

x

)

f

T

(

x

)[

PJ

(

x

)

J

T

(

x

)

P

]

f

(

x

)

f

T

(

x

)[

J

(

x

)

J

T

(

x

)]

f

(

x

)上述两种方法是等价的。使用他们的困难在于，对所有x

0要求Q（x）均为正定这个条件过严。因此对相当多的非线性系统未必能够满足这一要求。此外这个判据只能给出渐近稳定的充分条件。V

(

x

)

x

TP

x

fT(x)f(x

)第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法推论：对于线性定常系统

x

Ax

，若矩阵A非奇异，且定的。A 为负定，则系统的平衡状态xe

0是大范围渐近稳AT2[例4-12]

设系统的状态方程为x

1

3x1

x2x

2

x1

x2

x3试用克拉索夫斯基法分析xe

0

处的稳定性。第4章

稳定性理论与李雅普诺夫方法解：取P=I 则2

1

3x1

x2

f(x)

x2

x

x3

2

1