现代控制理论-闫茂德-配套教学课件第5章 线性时不变控制系统的综合

现代控制理论长安大学《现代控制理论》教学组主讲

人：闫茂德联系方式子邮件：mdyan@第5章

线性时不变系统的综合第5章

线性时不变系统的综合控制系统的分析和综合是自动控制理论研究的两大课题。分析：是在建立系统数学模型的基础上，主要讨论系统的运动性质、动态响应、能控性、能观性和稳定性等，以及与系统结构、参数和输入控制信号之间的关系。综合：主要任务是设计自动控制系统，寻求改善系统性能的各种控制律，使其运动满足给定的各项性能指标和特征要求。教学要求：掌握线性反馈控制系统的基本结构及其特性熟练掌握闭环极点配置方法了解系统镇定问题掌握状态观测器能够利用状态观测器实现状态反馈的系统设计第5章

线性时不变系统的综合重点内容：状态反馈的基本结构及其特性闭环极点配置方法状态观测器的设计第5章

线性时不变系统的综合5.1线性时不变系统反馈控制的结构及特性经典控制理论采用传递函数来描述动态系统的输入输出特性，只能从输出引出信号作为反馈量现代控制理论使用状态空间表达式描述动态系统的内部特性，除了可以从输出引出反馈信号外，还可以从系统的状态引出信号作为反馈量以实现状态反馈。状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使系统容易获得更为优异的性能第5章

线性时不变系统的综合5.1.1

状态反馈状态反馈是将系统状态向量乘以相应的反馈矩阵K，然后反馈到输入端与参考输入进行比较后产生控制作用，作为受控系统的控制输入，形成闭环系统。图5-1

多输入多输出系统的状态反馈结构图第5章

线性时不变系统的综合图5-1中被控系统

0

(

A,

B,

C

,

D)

的状态空间表达式为：

x

=Ax+

Bu状态反馈控制律u为：

y=Cx

+Du

u

=

Kx

+

v(5.1)(5.3)

y

=

(C

DK

)

x

+

Dv式中，v是r维输入参考向量；K是rxn维状态反馈增益矩阵。把式(5.3)带入式(5.1)整理可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为：

x

=

(

A

BK

)

x

+

Bv第5章

线性时不变系统的综合

简记为

k

[(

A+

BK

),

B,

C

]

。经过状态反馈后，闭环系统的传递函数矩阵为：(5.5)(5.6)

y=

Cx若D=0，则：

x

=

(

A

BK

)

x

+

Bv

1Wk

(s)

C[sI

(

A

BK

)] B第5章

线性时不变系统的综合结论：状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数

；改变状态反馈矩阵K可改变系统的特征值；可选择状态反馈矩阵K，使系统获得所要求性能。第5章

线性时不变系统的综合5.1.2

输出反馈输出反馈是将系统输出向量乘以相应的反馈矩阵H，然后反馈到输入端与参考输入进行比较后产生控制作用，作为受控系统的控制输入，形成闭环系统。经典控制理论中所讨论的反馈就是这种反馈。图5-2

多输入多输出系统的输出反馈结构图第5章

线性时不变系统的综合

x

=Ax+

Bu图5-2中被控系统

0

(

A,

B,

C

,

D)

的状态空间表达式为：

y=Cx

+Du

输出线性反馈控制律u为：u

Hy

v(5.8)

y

[C

D(I

HD)-1

HC]x

D(I

HD)-1

v式中，v是r维输入参考向量；H是rxm维状态反馈增益矩阵。把式(5.8)带入式(5.7)整理可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为：u

H(Cx

Du)

v

HCx

HDu

v

x

[

A

B(I

HD)-1

HC]x

B(I

HD)-1

v(5.7)第5章

线性时不变系统的综合若D=0，则：

x

(

A

BHC

)

x

Bv或：(5.11)

y

Cx

简记为

H

[(

A

BHC

),

B,

C

]

。输出反馈闭环系统的传递函数矩阵为：WH

(s)

=

C[sI

(A

BHC)] B-1被控系统的传递函数矩阵为：W0

(s)

=

C

(sI

A) B-1则输出反馈系统的传递函数矩阵和被控系统之间的关系为：

1WH

(s)

W0

(s)[I

HW0

(s)](5.12)

1WH

(s)

[I

W0

(s)H

] W0

(s)第5章

线性时不变系统的综合结论：状态反馈阵H的引入，并不增加系统的维数

；改变状态反馈矩阵H可改变系统的特征值；可选择状态反馈矩阵H

，使系统获得所要求性能。注意：由于输出反馈所包含的信息不是系统的全部信息，即m<n

，因此输入反馈只能看成是一种部分状态反馈。只有当

m<n

，即C=I，HC=K时，才能等同于状态反馈。通过对状态反馈与输出反馈的对比可知，在不增加补偿器的条件下，输出反馈的效果不如状态反馈系统好。但输出反馈在技术实现上的方便性则是其突出优点。第5章

线性时不变系统的综合图5-3

多输入多输出系统从输出到状态向量导数反馈的结构图5.1.3

从输出反馈到状态向量导数的反馈从系统输出到状态向量导数

x

的线性反馈就是将系统输出乘以相应的反馈矩阵

，反馈到状态向量导数

x

，形成闭环系统。这种形式在状态观测器中获得应用。第5章

线性时不变系统的综合图5-3中被控系统

0

(

A,

B,

C

,

D)

的状态空间表达式为：

x

=Ax+

Bu

y=Cx

+Du

加入从输出y到状态向量导数

x

的线性反馈Gy，可得闭环系统：

x

Ax

Gy

Bu

y

Cx

Du

y

Cx

Du整理可得：

x

(

A

GC)

x

(B

GD)u(5.16)第5章

线性时不变系统的综合若D=0，则：

x

(

A

GC

)

x

Bu结论：状态反馈阵G的引入，并不增加系统的维数

；改变状态反馈矩阵G可改变系统的特征值；可选择状态反馈矩阵G

，使系统获得所要求性能。(5.18)

y

Cx

简记为

G

[(

A

GC

),

B,

C

]

。输出反馈闭环系统的传递函数矩阵为：GW (s)

C[sI

(

A

GC

)]

1

B(5.19)第5章

线性时不变系统的综合5.1.4

反馈控制对系统能控性和能观性的影响定理5-1

状态反馈不改变被控系统的能控性，但不能保证系统的能观性不变。证明：原系统与加入状态反馈后闭环系统的能控性判别矩阵分别为：比较式(5.20)与式(5.21)两个矩阵的各对应分块，可以看到：cckAn-1B]Q

[BQ

[B AB A2

B

(

A

BK

)B (

A

BK

)2

B

(

A

BK

)n-1

B](5.20)(5.21)第5章

线性时不变系统的综合第一分块B相同。第二分块(A-BK)B=AB-B(KB)

，其中KB是常数矩阵，因此(A-BK)B的列向量可表示成[B

AB]的线性组合。第三分块(A-BK)2B=A2B-AB(KB)-B(KAB)+B(KBKB)的列向量可表示成[B

AB

A2B]的线性组合。同理，其余各分块类同。因此Qck可看作是Qc经初等变换得到的，而矩阵做初等变换并不改变矩阵的秩。所以Qck与Qc的秩相同。定理得证。第5章

线性时不变系统的综合状态反馈不能保证系统的能观性，可有如下解释。对于一个SISO系统，状态反馈会改变系统的极点，但不会影响系统的零点。那么当出现零极点对消时，就会破坏系统的能观性。举例说明。被控系统

0

A,

b,

c,

d

的传递函数为：10osnsn

1n

1 1 0n

1n

1 1 1 0 0n

1sn

1

b sn

2dsn

(bd

W(s)

c[sI

A]b

d

n

1 n

2 1 0b

b

s

ba sn

1

as

a

da )sn

1

(b

da)s

(b

da

)a sn

1

as

a第5章 线性时不变系统的综合引入状态反馈后闭环控制系统的传递函数为：比较两式可以看出，引入状态反馈K后传递函数的分子多项式不变，即零点保持不变。可通过改变

K

，改变系统的极点。这就有可能出现零极点对消情况，以至于破坏系统的能观性。0sn

1n

1 1sn

1

b sn

2Wk

(s)

c[sI

(

A

bK

)]b

d

n

1 n

2 1 0snn

1 n

1 1 1 0 0n

1 n

1 1 1 0 0dsn

(b

da )sn

1

(b

da)s

(b

da

)

(a

k )sn

1

(a

k)s

(a

k

)b

b

s

ba sn

1

as

ad

第5章

线性时不变系统的综合【例5-1】试分析系统引入状态反馈K=[-3

-1]后的能控性与能观性。解：原系统的能控性、能观性判别矩阵为：故原系统能控且能观。2

x

0

u

3 1

1

y

1 2

u

1x

ccoo

1 1

4

Q

b Ab

02

,

rankQ

2

nQ

c

12

,

rankQ

2

n

cA

7第5章

线性时不变系统的综合加入K=[-3

-1]后，得闭环控制系统

k

A

bK

,

b,

c

的状态空间表达式：此时系统的能控性、能观性判别矩阵为：2

x

0

u

0 0

1

y

1 2

u

1x

ckckokok

1 0

1

1 2

Q

b (

A

bK

)b

0 2

,

rankQ

2

ncQ2

,

rankQ

1

n

c(

A

bK

)

第5章

线性时不变系统的综合此时系统

k

A

bK

,

b,

c

能控不能观。可见引入状态反馈K后，闭环控制系统的能控性保持不变，却破坏了系统的能观性。实际上这反映出状态反馈后闭环控制系统的传递函数上出现了零极点相消现象。因为闭环控制系统的极点发生了变化，出现了零极点对消的情况，影响了系统的能观性。

2

2

s

1

2

1

0

2s2o

1W(s)

c[sI

A] b

d

1k2s

1

s

1

2

1

0

1

s2

3 s

1

2s

5

0 s

1

s(s

1) s

1

W

(s)

c[sI

(

A

bK

)] b

d

1第5章

线性时不变系统的综合

若把HC看成等效的状态反馈K，那么状态反馈能保持被控系统的能控性不变。开环控制系统和闭环控制系统的能观判别矩阵分别为：

y

Cx定理5-2 输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性证明：输出反馈后闭环系统的状态空间表达式为：

x

(

A

BHC

)

x

Bv第5章

线性时不变系统的综合仿照定理5-1的证明方法，同样可以把Qok可看作是Qo初等变换后的结果。而初等变换不改变矩阵的秩，因此能观性保持不变。定理得证。on

1

C

CAQ

CA

n

1

C

C

(

A

BHC

)Qoh

C

(

A

BHC

)

第5章

线性时不变系统的综合定理5-3 从输出到状态向量导数

x

的反馈不改变被控系统

能观性，但不能保证系统的能控性不变。证明：关于这个定理的证明根据对偶原理，仿照定理5-1的证明可以完成。第5章

线性时不变系统的综合5.2闭环极点配置控制系统的稳定性和各种性能指标在很大程度上取决于系统极点在s平面上的分布。在设计系统时，为了保证系统具有期望的特性，常常给定一组期望的极点，或根据时域指标转换一组等价期望极点，然后进行极点配置。所谓极点配置，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环控制系统的极点恰好配置到根平面上所期望的位置，以获得期望的动态特性和性能指标要求。本节重点讨论单输入单输出系统在已知期望极点的情况下，如何设计反馈增益矩阵第5章

线性时不变系统的综合5.2.1

采用状态反馈单输入单输出线性时不变系统通过状态反馈，其闭环控制系统的状态空间表达式为为了求得期望极点配置的状态反馈矩阵K，有下面的极点配置定理。定理5-4 采用状态反馈对被控系统

0

A,

b,

c

任意配置极点的充分必要条件是

0

完全能控。

x

=

(

A

bK

)

x

+

bv

y=

cx(5.27)第5章

线性时不变系统的综合

y=c

x证明:

(1)

充分性：若被控系统

0

的状态是完全能控的，则闭环控制系统必能任意极点配置。若

0

完全能控，必存在非奇异变换

x

Pc1

x 能将被控系统化成能控标准I型：

x

=

Ax

+

b

u00c1c1c1bn

1

0

0

0

0

1

an

1

A

P

1

AP

;

b

P

1b

0 1

0

0

0

0 0

0 1

a0

a1

an

2c

cPc1

b0 b1

(5.28)第5章

线性时不变系统的综合0sn

1

1

n

1

1

0sn

1

b sn

2W(s)

c

sI

A

b

c

sI

A

b

n

1 n

2 1 0b

b

s

ba sn

1

as

a由于线性变换不改变系统的特征值，故被控系统

0

的传递函数为：

x

=

(A

bK)x

+

bv

y=c

x针对能控标准I型式(5.28)，引入线性状态反馈

u

=

v

+

Kx

，可求得对x

的闭环控制系统状态空间表达式为：1 12 200000

)

(a

k

)

0 0n

1 n

1

0

0(

A

bK

)

10

001

0

(a

k

)

(a

k

)

(a

k(5.32)第5章

线性时不变系统的综合第5章

线性时不变系统的综合b

和

c

阵不变。c

阵不变表明引入线性状态反馈后，仅能改变闭环系统传递函数的极点，不改变传递函数的零点。式(5.31)对应的特征多项式为：闭环控制系统的传递函数：闭环控制系统的期望特征多项式为：

1 1 0 0kb

1

n

1 n

1sn

1

b

W(s)

c sI

A

bKb

n

1 n

2 1 0 sn

2

b

s

bsn

(a

k )sn

1

(a

k)s

(a

k

)n

1 n

1f

I

A

bK

n

(a

k )

n

1

(a

k)

(a

k

)1 1 0 0ni n

1 1 0i

1

f

*

(

*)

n

a*

n

1

a*

a*(5.33)(5.35)

*i,

n

为期望的闭环极点。其中，

i

1,

2,

比较式(5.33)和式(5.35)，由等式两边

同次幂系数对应相等，则有：c1可以实现闭环控制系统极点的认知配置。充分性得证。由于

P

1

存在，所以K阵是存在的，表明当被控系统的状态时完全能控时，c1又根据线性变换前后的状态反馈控制律

u

=

v

+Kx

=

v

+KP-1

x

可得：(5.36)(5.38)*i i0 0 1 1 n

1

n

1k

a*

a

a

i

0,1,

,n

1

iK

a

a,a*

a,

,

a*c1K

KP

1第5章

线性时不变系统的综合(2)

必要性：如果被控系统通过线性状态反馈可实现极点的任意配置，则被控制系统是完全能控的。采用反证法，假设被控系统可实现极点的任意配置，但被控系统的状态不完全能控，必定存在非奇异线性变换，将系统分解为能控和不能空两部分，即：11

12112

22

A A

b

x

=x

+

u

0A

0

y=

cc

x

(5.39)第5章

线性时不变系统的综合引入状态反馈：u=v

Kx=v

K1将式(5.40)代入(5.39)可得K2

x(5.40)112c

x

x

22

A

b

K11 1 1 A12 1 2b

Kbx

u0A

0

y

c

第5章

线性时不变系统的综合相应的特征多项式为：由此可见，利用状态的线性反馈只能改变系统能控部分的极点，不能改变系统不能控部分的极点，也就是说，在这种情况下不可能任意配置系统的全部极点。这与假设相矛盾，于是系统是完全能控的。必要性得证。11 2

x

22

A

b

K11 1 1 A12 1 2b

K

b

x

u0A

0

y

cc

x

第5章

线性时不变系统的综合几点说明：(1) 求取状态反馈阵K的方法有两种。方法1：适用于低阶系统根据：和：使两个等式的右边多项式

同次幂系数对应相等，得到

个代数方程，即可求出：f

I

A

bK

nn

1n

1(a

k)

n

1

(a

k)

(a

k

)1 1 0 0f*

ni

1

(

*)

n

a*

n

1

a*

a*i n

1 1 0kn

1

K

k0

k1

第5章

线性时不变系统的综合方法2：在充分性证明的过程中，已得到：系数。K

KP

1c1其中，Pc1为将系统转换为能控标准I型的非奇异变换阵，即n

1An

2bc1P

An

1b

a0

b

1 0 0

0

1 0

a2 a3

1 0

a1 a2

an

1 1

i10n

1式中，a

(i

0,1,

,

n

1)

为特征多项式

I

A

n

a

n

1

a

a 的各项第5章

线性时不变系统的综合几点说明：对于状态完全能控的单输入单输出系统，线性状态反馈只能配置系统的极点，不能配置系统的零点。当系统不完全能控时，状态反馈阵只能改变系统能控部分的极点，不能影响不能控制部分的极点。第5章

线性时不变系统的综合【例5-3】已知线性定常系统的状态方程为：试设计状态反馈阵K，使闭环系统极点配置为-5，-2+2j，-2-2j。

0

0

1

x

0

u

y

10

10

1

0

x

0 1 0

x

0

1

10第5章

线性时不变系统的综合解：(1)

rank

Qc=3=n，原系统完全能控，故可通过状态反馈对系统进行任意的极点配置。(2)

加入状态反馈阵K=[k0 k1 k2]

，

闭环系统的特征根多项式：根据给定的极值点，得期望特征多项式：f

5

2

2

j

2

2

j

3

9

2比较

f

与f

各对应阶次项的系数，可解得：k0

40,

k1

19,

k2

2

22 2 10f

det[

I

A

bK

]

3

11

k

11

k

k

k

28

40第5章

线性时不变系统的综合闭环系统的模拟结构图如图5-5所示。图5-5

闭环系统模拟结构图第5章

线性时不变系统的综合c1注意：当系统阶数较低时，根据原系统状态方程直接计算反馈增益阵K的代数方程还比较简单，无需将它转换成能控标准I型。但随着系统阶数的增高，直接计算K的方程将愈加复杂。就不如将其化成能控标准I型，用式(5.36)

1x K

KP直接求出在 下的

K

，然后再按式把K 变换为原状态x下的K

。第5章

线性时不变系统的综合【例5-4】设系统的传递函数为：试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为-2，-1+j，-1-j。解：方法1：按串联分解法来选择状态变量，那么实现起来要方便得多。其结构如图5-6所示。10W(s)

s(s

1)(s

2)图5-6按串联分解的开环模拟结构图第5章

线性时不变系统的综合对应的状态空间表达式为：

0

1

0

100引入状态反馈阵K=[k0 k1 k2]

，闭环特征多项式为：

0

0

1

x

0

u

y

10

2

1

0

x

x

020

k)

kf(

)

det[

I

(

A

bK

)]

3

(3

k

)

2

(2

k2 1根据给定的极点值，得期望特征多项式：f*(

)

(

2)(

1

j)(

1

j)=

3+4

2+6

+4第5章

线性时不变系统的综合比较系数，可得：k0

4,

k1

3,

k2

1K

4 3 1

图5-7

按串联实现的闭环系统模拟结构图第5章

线性时不变系统的综合方法2：因为传递函数没有零极点对消现象，所以原系统能控且能观。可直接写出它的能控标准I型实现。

0

0

1

x

0

u

y

10

3

1

0

x

0 1 0

x

0 0

20加入状态反馈阵

K

k0 k1 k2

。

闭环系统特征多项式：0f(

)

det[

I

(

A

bK

)]

3

(3

k

)

2

(2

k

)

k2 1第5章

线性时不变系统的综合与期望特征多项式比较系数，可得：k0

4,

k1

4,

k2

1K

4 4 1

图5-8闭环系统的模拟结构图第5章

线性时不变系统的综合方法1与方法2的等价关系：将方法1对应的系统状态空间表达式转换为能控标准I型的变换矩阵为：于是：c1c10

P

0

1 0 0

1 0 0

1 0

P

1

0 1

0 1 1

0

1 1

c1

14 1

0

1 0 0

1 0

4 3 1

0

1 1

K

KP

4第5章

线性时不变系统的综合显然，结果与方法一的计算结果相同。但有几点讨论：选择期望极点，是个确定综合指标的复杂问题；对于单输入系统，只要系统能控必能通过状态反演实现闭环极点的任意配置，而且不影响原系统零点的分布。但如果故意制造零极点对消，则闭环系统是不能观的；上述原理同样适用于多输入系统，但具体设计要困难得多。因为将综合指标化为期望极点需要凭借工程处理，其次，将受控系统化为能控标准型亦相当麻烦，而且状态反馈矩阵

的解也非唯一。此外，还可能改变系统零点的形态等。第5章

线性时不变系统的综合第5章

线性时不变系统的综合5.2.2

采用输出反馈定理5-5 对完全能控的单输入单输出系统

0

A,

b,

c

，不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。证明：对单输入-单输出反馈系统

h

A

-

bhc

,

b,

c

，闭环传递函数为：

1其中，Wh

(s)

c

sI

A

bhc

b

为被控系统的传递函数。由闭环系统特征方程可得闭环根轨迹方程：hW0(s)

1

W0

(s)01

hW

(s)h

1

W(s)

c

sI

A

bhc

b

当W0(s)已知时，以h（从0到o∞）为参变量，可求得闭环系统的一组根轨迹。很显然，不管怎样选择

，也不能使根轨迹落在那些不属于根轨迹的期望极点位置上。定理得证。不能任意配置极点，正是输出线性反馈的弱点。为了克服这个弱点，在经典控制理论中，往往采取引入附加校正网络，通过增加开环零、极点的方法改变根轨迹的走向。从而使其落在指定的期望位置上。第5章

线性时不变系统的综合

AT

,

cT

,

bT

必定能第5章

线性时不变系统的综合5.2.3

采用从输出到状态向量导数的反馈定理5-6 对完全能控的单输入单输出系统

0

A,

b,

c

，采用从输出到状态向量导数

x

的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是

0

完全能观。的特征值相同。又因，任意配置极点等价于对 任意配置极点。因此，对定理得证。故设计输出反馈阵G的问题转化成其对偶系统设计状态反馈阵K的问题。0 0证明：根据对偶原理，如果

A,

b,

c

能观，则

控，因而可以任意配置

AT

cT

GT

的特征值。而

AT为cT

GT

和

AT

cT

GT

T

ATcT

GT

T

ATcT

GT

T

A

Gc

A

Gc

5.3系统镇定问题定义：系统镇定是指一个非渐近稳定的系统通过反馈使系统的特征值均具有负实部，实现渐近稳定。一个系统如果能通过状态反馈使其渐近稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。同理也可定义输出反馈镇定的概念。镇定是系统状态反馈综合的一类特殊情况，它只要求将极点配置到左半平面，而不要求严格地配置到特定的位置上；本节重点讨论假如被控系统不是状态完全能控的，那么有多少个特征值可以配置？哪些特征值可以配置呢？系统在什么条件下是可以镇定的？第5章

线性时不变系统的综合11ˆˆˆc ccc

1

2

022

ABAˆ

P

1

AP

Aˆ11;

B

P

B;C

CP

Cˆ ˆ Cˆ

0

Aˆ

12

y

Cˆxˆ定理5-8 对系统

0

(

A,

B,

C

)

，采用状态反馈能镇定的充要条件是

0

的不能控子系统为渐近稳定的。证明：设被控系统

0

不完全能控，则通过线性变换将其按能控性分解为：

x

ˆ

Aˆxˆ

Bˆu其中，

ˆ

c

(

Aˆ11

,

Bˆ1

,

Cˆ1

)

为能控子系统；

ˆ

c

(

Aˆ22,

0,

Cˆ2

)

为不能控子系统。第5章

线性时不变系统的综合由于线性变换不改变系统的特征值，所以有：

det

sI1

Aˆ11

det

sI2

Aˆ22

由于

ˆ

0

(

Aˆ,

Bˆ,

Cˆ)

与

0

(

A,

B,

C

)

在能控性和能观性上等价。引入状态反馈阵：

1112

22

Aˆ12ˆˆsI

Aˆ0

sI

A

det sI

A

det sI

A

detKˆ

Kˆ1Kˆ2

第5章

线性时不变系统的综合得闭环系统的状态矩阵：和闭环特征多项式：det[sI

(

Aˆ

BˆKˆ

)]

det[sI`

(

Aˆ11

Bˆ1

Kˆ1

)]

det[sI2

Aˆ22

]121122ˆ

ˆˆ ˆ ˆ

00

0

2

22

Aˆ

BˆKˆ

Aˆ11ABKˆ Kˆ

AˆAB

K11 1 1 Aˆ12

Bˆ1Kˆ2

Aˆ(5.51)(5.52)第5章

线性时不变系统的综合比较式(5.51)和式(5.52)可见，只能通过选择

Kˆ1

使

(

Aˆ11

Bˆ1Kˆ1

)

特征值均具有负实部，从而使子系统

ˆ

0

(

Aˆ,

Bˆ,

Cˆ

)

为渐近稳定。

(

Aˆ22,

0,

Cˆ2

)

(

Aˆ22,

0,

Cˆ2

)

的特征值分布。但

Kˆ

的选择并不能影响

ˆc因此，仅当

Aˆ22

的特征值均具有负实部，即不能控子系统

ˆ

c为渐近稳定，此时整个系统

0

才是状态反馈能镇定的。定理得证。第5章

线性时不变系统的综合2423343ˆˆˆˆˆ

1

ˆ

0

0

44

Aˆ11ABAˆ

P

1AP

A21;B

P B

AˆAˆAˆ

Bˆ

1

0

0

Cˆ

CP

Cˆ1

Aˆ13A22 A23

Cˆ3

y

Cˆxˆ定理5-9 对系统

0

(

A,

B,

C

)

，通过输出反馈能镇定的充要条件是结

0构分解中能控且能观子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐近稳定的。证明：对被控系统

0

按能控能观性进行分解：

x

ˆ

Aˆxˆ

Bˆu第5章

线性时不变系统的综合引入输出反馈阵后，可得闭环系统的状态矩阵：241333430 Aˆ13

Bˆ1HˆCˆ3212122232333430ˆ ˆ ˆ

ˆ

Aˆ11ˆ2 ˆ ˆ0

Cˆ00

000000

1

0

0

0

0

44

Bˆ

Aˆ13A22 A2300

Aˆ

BˆHˆCˆ

A21

24

0

44

Aˆ11

Bˆ1HˆCˆ1

AˆBˆ

HˆCˆAˆ AˆBˆ

HˆCˆAˆAˆAˆAˆABH CAˆAˆ Aˆ第5章

线性时不变系统的综合和闭环特征多项式：det

sI

(

Aˆ

BˆHˆCˆ

)

式(5.53)表明，当且仅当

(

Aˆ11

Bˆ1HˆCˆ1),

Aˆ22

,

Aˆ33

,

Aˆ44闭环系统才为渐近稳定。定理得证。的特征值均具有负实部，

det

sI

(

Aˆ11

Bˆ1

Hˆ

Cˆ1

)

det

sI

Aˆ22

det

sI

Aˆ33

det

sI

Aˆ44

(5.53)第5章

线性时不变系统的综合【例5-6】设系统的状态空间表达式为：试证明不能通过输出反馈使之镇定。

0

1 0

0

1 0 0

0 0 1

1

x

1

u

y

x

0 1 0

x

0 00第5章

线性时不变系统的综合解：经检验该系统能控且能观，但从特征多项式看出各系数异号且缺项，故系统是不稳定的。若引入输出反馈阵

H=[h1 h2]，则有：1

s3

1s

1

0det

sI

A

0 s1 0 s0

0

h

1

h1

1 0 0

h1

0

01

0 1 0

0

1

1

h0

1 0

0

0

0 1 0

0

1 0 0

A+bHc

0第5章

线性时不变系统的综合此时特征多项式为：由上式可见，经H反馈闭环后的特征式仍缺少

s2项，因此无论怎样选择H

，也不能使系统获得镇定。这个例子表明，利用输出反馈未必能使能控且能观的系统得到镇定。00 11

h

s3

hs

(h

1)1

s

1 0det

sI

(

A+

bHc)

h s

1 0 s

第5章

线性时不变系统的综合1121ˆˆ ˆˆo occ

1

22

2

BAˆ

P

1AP

Aˆ11,B

P B

,C

CP

C

Bˆ

Aˆ Aˆ

y

Cˆxˆ定理5-10 对系统

0

(

A,

B,

C

)

，采用从输出到状态向量导数x

反馈实现镇定的充要条件是

0

的不能观子系统为渐近稳定。证明：对被控系统

0

按能观性进行分解：

x

ˆ

Aˆxˆ

Bˆu其中，

ˆo

(

Aˆ11

,

Bˆ1,

Cˆ1

)

为能控子系统；

ˆ

o

(

Aˆ22

,

Bˆ2,

0)

为不能控子系统。第5章

线性时不变系统的综合由于线性变换不改变系统的特征值，所以有：11212

22

ˆ0ˆ ˆsI

Aˆ

sI

A1Aˆ

det sI

A

det sI

A

det

det

sI1

Aˆ11

det

sI2

Aˆ22

1

2

Gˆ

GˆGˆ

T由于

ˆ

0

(

Aˆ,

Bˆ,

Cˆ)

与

0

(

A,

B,

C

)

在能控性和稳定性上等价。引入从输出到状态向量导数

x

的反馈阵：第5章

线性时不变系统的综合得闭环系统的状态矩阵：和闭环特征多项式：112121

2

1ˆ00

22

AˆC

22

2

Aˆ

Gˆ

Cˆ0

11 1 1

AˆGˆ

CˆGAˆ

GˆCˆ

Aˆ11

Aˆ Aˆ

Gˆ

11

1

1

det[sI`

(

Aˆ11

Gˆ1Cˆ1

)]

det[sI2

Aˆ22

]ˆ ˆ ˆ

22

sI

(

AGC

)det[sI

(

Aˆ

GˆCˆ

)]

det0

(

Aˆ21

Gˆ2Cˆ1

) sI

Aˆ(5.54)从式(5.54)可知，引入反馈阵

Gˆ

只能使

ˆ

o

(

Aˆ11

,

Bˆ1,

Cˆ1

)

的特征值改变并具有负实部，从而使子系统

ˆ

o

(

Aˆ11

,

Bˆ1,

Cˆ1

)

为渐近稳定。因此，仅当子系统

ˆ

o

(

Aˆ22,

Bˆ2

,

0)为渐近稳定时，整个系统

0

(

A,

B,

C

)

才是能镇定的。第5章

线性时不变系统的综合5.4

系统解耦问题略。第5章

线性时不变系统的综合5.5状态观测器无论是系统的极点配置、镇定、解耦、无静差跟踪或最优控制等，都有赖于引入适当的状态反馈才能得以实现；然而，或者由于不易直接测量甚至根本无法检测；或者由于测量设备在经济性或使用性的限制，工程实际中获得系统的全部状态变量难以实现，从而使得状态反馈的物理实现遇到困难。解决这一困难的途径就是状态观测或者状态重构问题。本小节只介绍无噪声干扰下单输入单输出系统状态观测器的设计原理与方法。第5章

线性时不变系统的综合为

0

的一个状态观测器。定理5-14 若线性定常系统

0

(

A,

B,

C

)

完全能观，则其状态向量x可由输入u和输出y进行重构。t

与x

，即lim

|

x

xˆ

|

0

，则称

ˆ第5章

线性时不变系统的综合5.5.1

状态观测器定义定义：设线性定常系统

0

(

A,

B,

C

)

的状态向量x不能直接检测。如果动态系统

ˆ

以

0

的输入u和输出y作为其输入量，能产生一组输出量

xˆ

渐近证明：线性定常系统

0

(

A,

B,

C

)

的状态空间表达式为

x

=Ax+

Bu

y=

Cx2

y CAx CBu CAx

CABu

CBu

将输出方程对t逐次求导，代入状态方程并整理可得：

y

Cx

y

Cx

CAx

CBu

y(n

1)

CA(n

1)

x

CBu(n

2)

CABu(n

3)

CA(n

2)

Bu第5章

线性时不变系统的综合将各式等号左边减去右边的控制输入项并用向量z表示，则有：若系统完全能观，rankQc=n

，式(5.82)有唯一解：因此，只有当系统是完全能观可时，状态向量x才能由原系统的输入u和输出y以及它们各阶导数的线性组合构造出来。定理得证。(

n

2)n

12

cx

Q

x

z

n

z

(n

1)

CBu(n

2)

z1

z

y

C

y

CBu

CA

y

CA

Bu

CAx

(QTQ)

1QT

zc c c第5章

线性时不变系统的综合(5.82)(5.83)根据式(5.83)变换后可得到状态向量x

，其结构如图5-17所示。向量z采用纯微分求取u和y的各阶导数而组合可得状态向量

，这些微分器将大大加剧测量噪声对于状态估值的影响，所以实际的观测器不采用这种方法构造。第5章

线性时不变系统的综合图5-17 利用u和y重构状态x为避免使用微分器，状态观测器的重构就是利用可直接测量的u和y以及A、。第5章

线性时不变系统的综合图5-18 开环观测器的结构图B、C

，构造一个结构与原系统相同的系统，确定状态向量x的估计值

xˆ一个很直观的方法是构造一个结构和参数与原系统完全相同的系统，如图5-18所示。

y

Cˆxˆ图5-18中估计系统的状态空间表达式为：

x

ˆ

Aˆxˆ

Bˆu第5章

线性时不变系统的综合式(5.84)称为开环观测器，可以直接估计状态向量x的观测值

xˆ

。比较式(5.81)和式(5.84)可得：x

x

ˆ

A(x

xˆ)其解为：x

xˆ

eAt

x(0)

xˆ(0)

(5.84)第5章

线性时不变系统的综合开环观测器只有当状态观测器的初始状态与系统初始状态完全相同时，观测器的输出

xˆ才严格等于系统的实际状态x

。否则，二者相差可能很大；但要严格保持系统的初态与观测器初态完全一致，在工程实际上是不可能的；此外，干扰和系统参数变化的不一致性也将加大它们之间的差别，所以这种开环观测器是没有实用意义的。如果利用输出信息对状态误差进行校正，便可构成渐近稳定的状态观测器，其原理结构如图5-19所示。(a)(b)图5-19

渐近稳定的状态观测器结构图第5章

线性时不变系统的综合uy

0

(A,B,C)B

CAx

y

G

等效根据图5-19可得状态观测器的状态空间表达式为：x

ˆ

Axˆ

Bu

G(y

yˆ)

Axˆ

Bu

Gy

GCxˆ

(

A

GC

)

xˆ

Gy

Bu其中，xˆ

为状态观测器的状态向量，是状态x的估值；yˆ为状态观测器的输出矢量；G为状态观测器的输出误差反馈矩阵。由式(5.85)可知，状态观测器是通过原系统的控制作用u和输出

y作为输入，它的一个输出就是状态估值

。第5章

线性时不变系统的综合(5.85)第5章

线性时不变系统的综合5.5.2

状态观测器存在条件定理5-14 对线性定常系统

0

(

A,

B,

C

)

，则状态观测器存在的充要条件是

0

的不能观子系统为渐进稳定。证明:

(1)假设系统

0

(

A,

B,

C

)

不完全能观，按能观性分解。这里不妨设

0已具有能观性分解形式。即：

110

o

21 22

2

0 Bx

xo

;

A

A11;B

;C

C

x

AA

B

式中，

1

(

A11

,

B1

,

C1

)

为能观子系统；

2

(

A22

,

B2

,

0)

为不能观子系统。渐近于x的速度的反馈增益矩阵。于是得观测器方程：定义误差矢量为

x

x

xˆ

，可导出状态误差方程：

ˆˆˆTo o(2)构造状态观测器。设

x

x1 2,

x 为状态x的估值，G

(G

,

G

)T第5章

线性时不变系统的综合为调节

xˆx

ˆ

Axˆ

Bu

G(y

yˆ)221 o 22 ox

x

x

ˆ

o o

x

o

x

ˆo

x

x

ˆ

2

21 2 1 o 22 o

2 1 o

21 2 1 o o 22 o o

A11xo

B1u(

A11

G1C1

)

xˆo

B1u

G1C1

xo

A x

A x

B

u

(

A

GC

)

xˆ

AxˆBu

GCx

(

A11

G1C1

)(

xo

xˆo

)

(

A

GC

)(

x

xˆ)

A (

x

xˆ

)

或x

ˆ

(

A

GC

)

xˆ

Gy

Bu(5.88)同理可得：第5章

线性时不变系统的综合(3)

确定使

xˆ

渐近于x的条件。由式(5.88)可得：11 1

1o o o o

e(

A

x

xˆ

GC)t[x(0)

xˆ (0)]

x

ˆ

(

A

GC

)(

x

xˆ )o 11 1 1 o o

x

ot

通过选择合适的G1，可使(A11-G1C1)的特征值均具有负实部，因而有：lim|xo

xˆo

|

0222211 1

1211 10o o21

o22

o

oto oo oo o

G2C1

)(

xo

xˆ

)

A

(

x

xˆ

)

eAt

[

x (0)

xˆ (0)]

eA (t

)

(

AGC)e(

A

GC)

[x(0)

xˆ (0)]

d

x

ˆ

(

A

x

xˆ

x

因此仅当：lime

A22t

0t

成立时，有：择合适的G1，可使(A11-G1C1)的特征值均具22t

特征值均具有负实部等价。只有当受控系统的不能观定理得证。第5章

线性时不变系统的综合lim|xo

xˆo

|

0t

而

lim

eA22t

0

与At

子系统渐进稳定时，才能使

lim

|

x

xˆ

|

0

。第5章

线性时不变系统的综合5.5.3

全维状态观测器设计为讨论状态估值

xˆ

趋近于状态真值x的收敛速度，引入状态误差向量：x

x

xˆ可得状态误差的动态方程：x

x

x

ˆ

Ax

Bu

(

A

GC

)

xˆ

Gy

Bu

Ax

(

A

GC

)

xˆ

GCx

(

A

GC

)(

x

xˆ)即：式(5.91)的解为：由式(5.92)可以看出，只要选择状态观测器的系数矩阵(A-GC)的特征值均具有负实部，观测器就是稳定的。这就要求通过G阵的选择使得(A-GC)阵的特征值（观测器的闭环极点）实现任意配置。第5章

线性时不变系统的综合x

e(A

GC)tx

(0)t

0x

(

A

GC

)

x

(5.91)(5.92)第5章

线性时不变系统的综合注意：观测器极点任意配置的条件是原系统的状态必须是完全能观测的；当系统不完全能观，但其不能观子系统是渐近稳定的，则仍可构造状态观测器。但此时，xˆ

趋近于x的速度将不能由G任意选择，而要受到不能观子系统极点位置的限制。第5章

线性时不变系统的综合根据前面的分析，构造状态观测器的原则是：观测器

ˆ

G

(

A

GC

,

B,

C

)应以

0

(

A,

B,

C

)的输入u

和输出y为其输入量；为满足

lim

|

x

xˆ

|

0，

0必须是状态完全能观的，或者其不能观子系统t

是渐进稳定的；

ˆ

G

的输出

xˆ

应以足够快的速度渐近收敛于x，即

ˆ

G

应有足够宽的频带；

ˆ

G在结构上应尽量简单。即具有尽可能低的维数，以便于物理实现。全维状态观测器就是对原系统的所有状态进行估计。全维状态观测器设计就是G阵的确定，当观测器的极点给定之后，依据前面从输出y到状态向量导数

x

的反馈配置极点的方法，即可确定G阵。第5章线性时不变系统的综合【例5-12】已知被控系统的状态空间表达式为：

0

1

1

y

1 0

x

设状态变量x2不可测，试设计全维状态观测器，使观测器极点为-3,-3。1

x

0

u

2x

解：(1)

能观性判别。故系统是完全能观。(2)

求状态观测器。令G=[g1 g2]T，得闭环特性多项式：c0

21

2

rankQ

rank

1第5章

线性时不变系统的综合

121220

gdet

2

g 1

1

g1

1

g

0

g

1

1

2

2

g

1

2

(g1

3)

g1

g

1

1

A

GC

2I

(

A

GC

)

det期望特征多项式：f

(

3)(

3)

2比较系数得：(5)

状态观测器方程为：

6

9第5章

线性时不变系统的综合5

TG

3

5

1

5

1

1

x