现代控制理论-闫茂德-配套教学课件第3章 控制系统的能控性和能观性

现代控制理论长安大学《现代控制理论》教学组主讲

人：闫茂德联系方式子邮件：mdyan@能控性定义长安大学《现代控制理论》教学组主讲

人：闫茂德联系方式子邮件：mdyan@第3章

线性系统的能控性和能观性线性系统的能控性和能观性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的，是控制综合和状态估计的设计基础；能控性是“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题；能观性是“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题；能控性和能观性对于系统综合和状态估计问题的研究有着极重要的意义。

第3章

线性系统的能控性和能观性“能控性”和“能观性”的含义能控性:

是输入u(t)支配状态改变的能力；能观测性:

是系统输出y(t)反映状态变量的能力；因此,

它们从对状态的控制能力和对状态的识别能力两个方面来反映系统，是系统本身的内在特性，与外界无关。第3章

线性系统的能控性和能观性“能控性”和“能观性”的研究问题控制作用u能否在有限的时间内，将变量x从起始状态导引到要求的状态?通过观测输出y，能否在有限时间内获得全部状态变量x的信息?第3章

线性系统的能控性和能观性为什么经典控制中没有能控性和能观性的概念？经典控制理论所讨论SISO系统的输入输出分析和综合问题，它的输入和输出之间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。给定输入则一定会存在唯一的输出与之对应。反之，对期望输出信号总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制，不存在能否控制的问题。系统输出一般是可直接测量，不然，则应能间接测量。否则，就无从对其进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。因此，也不存在输出能否测量(观测)的问题。第3章

线性系统的能控性和能观性3.1

线性连续系统的能控性的转移情况。3.1.1

能控性定义能控性研究的问题：系统在控制输入

u(t)

作用下，状态变量

x(t)第3章

线性系统的能控性和能观性首先通过几个例子直观的说明能控性的物理概念。[例3.1] 给定系统的状态空间表达式如下：

0

1

1

0

x

0

u

y

3 2

x

5x

（而与系统输出无关）解：将状态方程展开：

x

1

5x1；而状态2

2

x

x

u这就表明系统中状态变量

x2与输入

u

有关，有可能用

u

去控制

x2变量

x1

与控制

u

既没有直接联系又没有间接联系，故不可能用

u

去控制

x1，也就是说状态变量

x1

是不可控的。其模拟结构图如下：

5

1321u(t)yx2x1++x

2x

1第3章

线性系统的能控性和能观性第3章

线性系统的能控性和能观性[例3.2]

某电桥系统的模型如图所示。该电桥系统中，电源电压为

u输入变量

，并选择两电容器两端的电压为状态变量

x1

和

x2

。试分析电源电压对两个状态变量的控制能力。解：（1）由电路基础知识出发：若电桥系统是平衡的，电容C2

的电压

x2

是不能通过输入电压

u

改变的，即状态变量

x2

是不能控的。若电桥系统是不平衡的，两电容的电压

x1和x2

可以通过输入电压

u

控制，此时系统是能控的。（2）由状态空间模型出发：电桥平衡时，当选择两电容的两端电压作为状态变量

x1和x2时，可得如下状态方程：由上述状态方程可知，状态变量

x2

的值，即电桥中电容C2的电压，是自由衰减的，并不受输入的控制。因此，该电压的值不能在有限时间内衰减至零，即该状态变量不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为：状态不能控的。11112RCRCx2

1 RC2

x

1 x

1 ux

第3章

线性系统的能控性和能观性第3章

线性系统的能控性和能观性能控性与输出ｙ无关由状态方程

x

(t)

A(t)

x(t)

B(t)u(t)

和第二章状态方程求解公式可知,

状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入，与输出

y(t)

无关。因此研究讨论状态能控性问题，即输入

u(t)对状态

x(t)

能否控制的问题，只需考虑：系统输入

u(t)的作用和状态方程的性质，与输出

y(t)

及输出方程无关。第3章

控制系统的能控性和能观性1. 状态能控对于线性连续系统，如果存在一个无约束的容许输出u(t)

，能在有限时间区间

[t0

,

tf

]（t0

tf

,

t0

T

,

tf

T

，其中T为时间定义区间)内，使系统由某一个初始状态

x(t0

)，转移到指定的任一终端状态

x(tf

)，则称此状态在

t0

时刻是能控的。上述说法可以用图3-3来说明。假定状态平面中的P点能在输入的作用下被驱动到任一指定状态P1，P2，P3，…，Pn，那么状态平面的P点是能控状态。图3-3

系统能控性示意图第3章

控制系统的能控性和能观性系统能控若

t0

时刻状态空间中的所有状态都能控，则称系统在t0

时刻是状态完全能控的，简称为系统在

t0时刻能控。若系统在所有时刻的状态是完全能控的，则称系统状态完全能控，简称为系统能控；若存在某个状态

x(t0

)不满足上述条件，称此系统是状态不完全能控的，简称系统状态不能控。对于线性时变连续系统而言，其能控性和初始时刻

t0的选择有关，故其能控性是针对时间域T中的一个取定时刻

t0来定义的。而线性定常连续系统，其能控性和与初始时刻

t0的选取无关，即状态或系统的能控性不从属于

t0，故线性定常连续系统其系统能控性又可以定义为：第3章

控制系统的能控性和能观性系统能控故线性定常连续系统其系统能控性又可以定义为：对于任意初始时刻

t0

T

(一般取

t0

0

)，存在一个有限时刻

tf

T和一个无约束的容许输出u(t)

，使得状态空间中的任意非零状态

x(t0

)

转移到

x(tf

)

0

，则称系统完全能控，简称系统能控。系统能达若存在一个无约束控制作用u(t)，在有限时间

[t0

,

tf

]内，能将x(t)由零状态转移到任意状态

x(tf

)，则称状态

x(t)是

t0

时刻能达的。第3章

控制系统的能控性和能观性系统能达若

x(tf

)

对所有时刻都是能达的，则称状态x(tf

)

为完全能达或者一致能达；若系统对于状态空间中的每一个状态都是t0

时刻能达的，则称系统是t0

时刻能达的。在线性连续定常系统中，能控性和能达性是互逆的，即能控系统一定能达，能达系统一定能控。3.1.2

线性定常系统的能控性判据满秩，即：第3章

线性系统的能控性和能观性1.

直接秩判据线性连续定常系统：x

Ax

Bu系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵：cQ

[B AB A2

B

An

1B]crankQ

rank[B AB A2

B

An

1B]

n第3章

线性系统的能控性和能观性（1）当系统是线性连续定常单输入系统时，状态方程可写为：x

Ax

bu此时系统能控的充分必要性条件为：rankQc

b Ab

A b

nn

1第3章

线性系统的能控性和能观性证明：线性连续定常单输入系统的解为：根据能控性定义，对任意的初始状态矢量

x(t

)

应能找到

u

t

使之在有限时间0区间

t0

,

t

f

内转移到零状态。令

t

tf,x(tf)

0：根据凯莱—哈密顿定理00 0tt

x(t)

Φ(t

t)x(t

)

Φ(t

)bu(

)d

t

t000f 0 000f

ttΦ(t

t)x(t)

f

Φ(t

)bu(

)d

ttx(t)

fΦ(t

)bu(

)d

kjn

1j

0

jkA

A ：得1jjjjt

kk

!ktkk

!tjkk

!

n

1n

1

n

1k

0k

0j

0j

0k

0j

0

k

0

(t)

jk

jk

k

!

j

(t)

eAt

Aktk

A

A

(t)

A来，即：须等于n。0 00jjj 0j jj 0n

1n

1j

0 j

0

t

t代入得：

x(t

)

tA

b f

(t

)u(

)d

A

bt

,

f

(t

)u(

)d

u(t)为标量，又是定限积分，所以

j

也是标量。故可将上式写成矩阵形式：

0

Ab A2

b

0jjn

1j

0

An

1b

1

n

1

若系统能控，则对任意给定的初始状态

x

(t

0

)

，应能从上式解

出j

x(t)

Ab

b2 0

0

x1(t

0)

1 x(t

)

x(t)

n

1

n 0

1

b Ab A2

b

An

1b

cn

1因此，必须保证

的逆存在，即：其秩必

Q b AbA b

第3章

线性系统的能控性和能观性轾0犏x

=

犏0犏x+犏1u犏犏1轾-

2 2 -

1-

2 0-

4 0犏犏1臌解：求能控性判别矩阵：臌2

4

0

1

2

2

4

1

9

Qc

b Ab A

b

1detQc

1

0[例3.3] 判断系统能控性：所以系统是能控的第3章

线性系统的能控性和能观性轾-

4 5 轾-

50x

=

犏x

+

犏 u犏1犏1臌臌[例3.4]

判断系统能控性。解：能控性判别矩阵：rankQc=

1故系统不能控。Qc

=

[b Ab]=

犏轾-

5

25-

5犏臌1第3章

线性系统的能控性和能观性第3章

线性系统的能控性和能观性（2）当系统是线性连续定常多输入系统时，状态方程可写为：x

Ax

Bu此时系统能控的充分必要性条件为：rankQc

B AB

A B

nn

1证明：可仿照单输入系统的方法进行证明，此处不再累述。第3章

线性系统的能控性和能观性0

u

1

1

u2

1

3

0 0

1 2 1

11 0

x

00x

0[例3.5]

判断以下系统的能控性。解：第3章

线性系统的能控性和能观性第3章

线性系统的能控性和能观性4

1

2

cQ

B AB A2B

10122

01010

00104c cc c

26 6 17

3

17 2 21

QQT

62

,

QQ

T

0rank

Qc

3

n

，所以该系统是能控的。

n个互异根第3章

线性系统的能控性和能观性2. 约当标准型判据（1）单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：x

(t)

Λx(t)

bu(t)或x

(t)

Jx(t)

bu(t)200λλ3

λn

λ1

λ2

λ3

λn

λ1

Λ

(m-l)个λ1重根，l个λm重根，其余为互异根.12nb

]Tb

b=

[b或列向量第3章

线性系统的能控性和能观性

10

00

0

00

n

1

00

1100

1

0

10

0

0

m

1

0 0

0 0

J

0第3章

线性系统的能控性和能观性为简明起见，下面列举3个具有上述类型的二阶系统：

c2

x

c2

x

1

x

1

111（2）

x

0

2

0c2

xxbxbx

1

x

1

0

x1

0

u，y

c（1）

x

0

1

x1

0

x

1

11

x1

b1

2

2

2

2

u，y

c

1

2

2

u，y

c（3）

x

0

2

1

2

1)

对系统(1)，

系统矩阵A为对角阵，其标量微分方程形式为：x

1

1x1x

2

2

x2

b2uy

c1x1

c2

x2能控x1x2不能控第3章

线性系统的能控性和能观性x

1

1x1

x2x

2

x21

b2ux1x2能控（虽与u无直接联系，但与x2有联系）能控第3章

线性系统的能控性和能观性2)

对系统(2)，

系统矩阵A为约当阵，其标量微分方程形式为：不能控能控x

1

1x1

x2x

2

1x2x1x2b1u第3章

线性系统的能控性和能观性3)

对系统(3)，

系统矩阵A为约当阵，其标量微分方程形式为：结论：系统能控性取决于系统矩阵A和控制矩阵b。在A为对角型矩阵的情况下，若b的元素有为0的，则与之对应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，与u(t)无关，此时是不完全能控的。在A为约旦型矩阵的情况下，由于前一个状态总受到下一个状态的控制，故只有b中相应于约旦块的最后一行元素为零时，才成为不完全能控的（不能控的状态，在结构图中表现为存在于u(t)无关的孤立方块）。第3章

线性系统的能控性和能观性第3章

线性系统的能控性和能观性定理3.1 线性系统经线性非奇异变换后不会改变其能控性。证明：设系统状态方程为x

Ax

Bu其能控性判别矩阵为：cQ

[B AB A2B

An

1B]线性变换

x

P

x

：x

P

1

APx

P

1Bu

Ax

Bu

线性变换后系统的能控性矩阵为：第3章

线性系统的能控性和能观性cQ

[B AB A2B

A

n

1B]

[P

1B P

1APP

1B P

1

APP

1

APP

1B

P

1

A

n

1B]

P

1[B AB A2B

A

n

1B]

P

1Qc因为

P

1

非奇异，则有：rankQ

rank(P

1Q)

rankQc c c由此可知，线性变换前后系统能控性判别矩阵的秩并不发生变化，因此，线性非奇异变换不改变系统的能控性。第3章

线性系统的能控性和能观性（2）具有一般系统矩阵的多输入系统系统状态方程：x

(t)

Ax(t)

Bu(t)令

x

Pz

，上式可变换为约旦标准型：x

(t)

Λx(t)

Bu(t)或x

(t)

Jx(t)

Bu(t)由于线性变换不改变系统的能控性条件，则可以得到一般系统的能控性判据为：结论：若系统矩阵A的特征根互异，则系统的能控的充分必要条件是：控制矩阵

P-1B的各行元素不能全为零。若系统矩阵A的特征根有重根，系统可控的充分必要条件是:P

-1

B

中对应于相同特征根的部分,它与约旦块最后一行相对应的一行的元素不能全为零。P

-1

B

中对应于互异特征根部分，它的各行元素不能全为零。第3章

线性系统的能控性和能观性1001

1 1

0

x1

x

u

0

b

2

2

2

x3

b3

x

1

x

uxx

1 2

0

2

010000

0

0

0

x5

4

x3

20

x

1

0 1

0

0 0

0

3

0 0

4

02

4

x

3

0 0

3

1 0 0

1 1 00

1 0

4

1

x

5

x

x

3

x

x

1

2212444410000000000000x

1

01

1

01

4

b

1

1

b

3

u

0

0

x

b

0

x

3

x

b

x

5

x

1

x

3

x

3

x

x

5[例3.6]

考察以下系统的能控性：能控能控不能控（不完全能控）第3章

线性系统的能控性和能观性注意：当A的特征值互异时，其对应的特征向量必然互异，故必然能变换为对角型矩阵。但即使A的特征值相同时，其对应的特征向量也可能是互异的，此时A也有可能变换为对角阵。因此，则在J=P-1AP中，将出现两个以上与同一特征值有关的约当块。这种情况下，不能简单的按照上述结论进行能控性判据。不加证明的说，在这种情况下，对单输入系统是不能控的，对多输入系统则尚需考察P-1B中，与那些相同特征值对应的约旦块的最后一行元素所形成的矢量是否线性无关。若它们线性无关，系统才是能控的。第3章

线性系统的能控性和能观性[例3.7]

考察以下系统的能控性：0

x1

0

0

x

1

u2

2

x

1

3 11.

x

0

30

x

3

0

3

x3

3

0

x1

1

2

0

x

1 1

2.

u2

2

3

x

2

3 1 03 0

0 0 3 1

x3

1 0

0 0 0 2

4

x

1

x

0

x

3

x

0

x1

0

2 1

0

x

2 1

3.

u2

2

3

x

0

3 1 03 00 3 1

x3

1 0

0 0 1

4

4

4

x

1

x

x

3

0

x

0第3章

线性系统的能控性和能观性不能控不能控能控解：将其变换为约旦标准型：x

4 5

x

5

u

1 0

1

I

A

4

5

2

4

5

(

5)(

1)

0

1

1

5,

2

1第3章

线性系统的能控性和能观性[例3.8]

考察以下系统的能控性第3章

线性系统的能控性和能观性再求变换矩阵：判断结论：系统不能控。1P

p2

1 1

66

1 1

p

51

,

P

1

6

,

P

1B

6

5

1

1 5

1

1 1

5

1

0

6 6

6 6

x

P

1

ATx

P

1

Bu

50

x

1

u

0 1

0

0

x

0

0 1 0

0 1

x

0

u

a0

a1

a2

1

第3章

线性系统的能控性和能观性[例3.9]

考察以下系统的能控性：1 22

2解：(1)

若A的特征值

1

,

2

,

3

互异，将其变换为对角标准型：

1 1 1

P

3

2

2

13

3

2

(

3

2

)

2

1

(

2

1

)

31 (

1

3

)13

3

2

2

1

1PP

1

1 adjP

第3章

线性系统的能控性和能观性

3

2

0

P

1b

1

1

P

1 3

3

2

0

2

1

P

1

21 3

1

P

1b

的各元素不可能为0，系统能控。第3章

线性系统的能控性和能观性(2)若A的特征值

1

2

,

3

1

，将其变换为约旦标准型：111311P

,P

1

3

3

(

)

2

2 2

2

1

1 0 1

11

13

1

111P

1b

(

)21 3

3

P

1b

的各元素不可能为0，系统能控。第3章

线性系统的能控性和能观性(3)若A的特征值

1

2

3

，将其变换为约旦标准型：1110

P

2 2

1

1

1 0 0

0

1 0

,

P

1

1

1

1P

1b

1

0

0

1

P

1b

的最后一行元素不可能为0，系统能控。思考：这两种判断能控性的方法各自的特点？第3章

线性系统的能控性和能观性第3章

线性系统的能控性和能观性3.1.3

线性时变连续系统的能控性判据线性时变系统的能控性：x

(t)

A(t)

x(t)

B(t)u(t)状态可控：对于线性连续定常系统，如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间

[t0,tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)转移到指定的任一终端状态，则该状态是可控的。系统能控：若系统的所有状态都是可控的，则称该系统是状态完全能控的，或简称系统时能控的。注意：A(t)和B(t)是时变矩阵，其状态变量x(t)的转移与初始时刻t0的选取有关，故时变系统中应强调在t0时刻系统是能控的。第3章

线性系统的能控性和能观性时变系统的状态矩阵

A(t)、控制矩阵B(t)是时间t的函数，所以不能像定常系统那样，由状态矩阵、输入矩阵构成能控性判别矩阵，然后检验其秩来判别系统的能控性。这里介绍格拉姆矩阵判据和秩判据2种线性时变系统的能控性判据。1.

格拉姆矩阵判据线性时变连续系统的状态方程x

A(t)x

B(t)u系统在

[t0

,

t

f

]

上状态完全能控的充分必要件是格拉姆矩阵：是非奇异的。00 0c 0 ft

t T TW(t

,

t )

fΦ(t

,

t)B(t)B (t)Φ (t,

t)dt第3章

线性系统的能控性和能观性2 秩判据Wc

(t0

,

t

f

)计算量一般很大，现在介绍一种实用性的判别准则，可以仅利用A(t)和B(t)矩阵的信息直接判断能控性。设系统状态方程为：x

A(t)x

B(t)uA(t)和B(t)的所有元素都时间t分别是n-2次和n-1次连续可微的，记为：B1(t)

B(t)Bi

(t)

A(t)Bi

1

(t)

B

i

1

(t),

i

2,

3,

n第3章

线性系统的能控性和能观性令：Qc

(t)

[B1

(t),

B2

(t),

,

Bn

(t)]如果存在某个时刻

t

f

0

，使得rankQc(tf)

n注意：秩判据仅是一个充分条件，而不是必要条件。即不满足这个条件的系统，也有可能是能控的。t

f则系统在上

0

是状态完全能控的。线性连续系统的能观性能观性定义能观性研究的问题：能观性所表示的是输出y(t)反映状态变量x(t)的能力。

控制系统大多采用反馈控制的形式。在现代控制理论中，反馈信息是由系统的状态变量组合而成的。但并非所有的系统状态变量在物理上都可测，于是就有了是否能通过对输出的测量而获取全部状态变量信息的问题，即线性系统的可观测性问题。首先通过几个例子直观的说明能观性的物理概念。第3章

线性系统的能控性和能观性[例3.10]

给定系统的状态空间表达式为：解：系统展开为：

4x

0

x

2

u

0

1

3

y

[-1 0]x

第3章

线性系统的能控性和能观性

x

1

4x1

2u2 21

x

3x

u

y

x

这表明系统中状态变量x1和x2都可以通过选择输入u来实现任意起点到终点的转移，故系统可控。但我们注意到，其输出y仅能反映状态变量x1

，即只有状态变量x1对输出y产生了影响，而状态x2对输出y不产生任何影响，当然从输出y的信息中获取状态x2的信息也是不可能的，因此说状态变量x2是不可观测的。模拟结构图如下：第3章

线性系统的能控性和能观性第3章

线性系统的能控性和能观性图3-6

某电网系统模型[例3.11]

考虑图3-6所示的电网系统，若定义u(t)为输入电压，通过两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)

，通过电阻的电流i3(t)为输出变量y(t)。讨论是否可以通过测量输出变量来确定状态变量的值。解：

当电阻R1=R2，电感L1=L2，输入电压u(t)=0以及两个状态变量的初始状态x1(t0)=x2(t0)

且为任意值时，必定有i3(t)=0

，即输出变量y(t)恒为0；此时由恒为0的输出y(t)显然不能确定通过两个电感的电流值，即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值；这种由输出变量值不能唯一确定出状态变量值的特性则称为状态不能观。显然，当x1(t0)=x2(t0)

且为任意值时，必定有x1(t)=x2(t)，

y(t)

=i3(t)=0；此时,由观测到的恒为0的输出变量y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值；这种由可测量的输出变量的值能惟一确定状态变量的值的特性称为状态能观，若不能惟一确定则称为状态不能观。121 112 12221 2LL LLLR3

x

1

u

1

y

x

x

当电路中电阻R1=R2，电感L

1=L2时,若输入电压突然短路u(t)=0,则状态方程为：写出系统状态空间表达式：

x

R1

R3x

R R

Rx

3

x

2 3

x第3章

线性系统的能控性和能观性1 21 2L LL L

1

R R

R

3

x

3

x

2

x

R

R3

x

R3

x

x

第3章

线性系统的能控性和能观性能观性定义1.

能观性表示输出反映状态矢量的能力，与控制作用没有直接的关系。故分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发：

x

(t)

Ax(t),x(t0)

x0证明：状态方程的解为：

y(t)

Cx(t)

000tt

)B(

)u(

)d

x(t)

Φ(t,

t则系统的输出响应为：)x(t

)

Φ(t,00 0tt

y(t)

C

(t)Φ(t,

t

)x(t

)

C

(t)

Φ(t,

)B(

)u(

)d

D(t)u(t)把由输入u(t)引起的等价状态记为：则:令：则：第3章

线性系统的能控性和能观性0tt

)B(

)u(

)d

(t)

Φ(t,

y(t)

C

(t)Φ(t,

t0

)x(t0

)

C

(t)

(t)

D(t)u(t)y

(t)

C

(t)Φ(t,

t0

)

(t)

D(t)u(t)y(t)

y

(t)

C

(t)Φ(t,

t0

)x(t0

)(3.28)能观性研究输出y(t)反映状态向量x(t)的能力。在实际应用中输出y(t)和输入u(t)已知，而初始状态x(t0)未知。由于u(t)已知，则y

(t

)可计算得到，故可认为已知。因此，式(3.28)表明，能观性即是x(t0)可由y(t)

y

(t)

完全估计的性能。由于u(t)可任意取值，为叙述简单，可取u(t)=0。第3章

线性系统的能控性和能观性状态能观：对任意给定的输入u，在有限观测时间tf>t0，使得根据[t0,

tf]期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)系统能观：若系统的所有状态都是能观的，则称该系统是状态完全能观的，或简称系统是能观的系统不能观：但若系统的输出y(t)不能唯一确定t0时刻的任意非零的初始状态向量

(即至少有一个状态的初值不能被确定)，则称系统在t0时刻状态是不完全能观的，简称系统不能观在线性定常系统中，其能观性与初始时刻

的选择无关。3.2.2

线性定常系统的能观性判据1.

直接秩判据线性连续定常系统：

x

(t)

Ax(t),x(t0)

x0Qo

C CA

TCAn

1

满秩，即

rankQo

n

。否则，当

rankQo

n

，系统不能观。

y(t)

Cx(t)

其能观的充分必要条件是由

A

、C

构成的能观性矩阵：第3章

线性系统的能控性和能观性证明：线性连续定常系统齐次状态方程的解为：x(t)

Φ(t)

x0之前已知：故：Φ

(t

)

iki it

kk

!

tn

1

i

0

(t

)

A

,

(t

)

ikk

00y(t)

Cx(t)

ij

(t)CA

xn

1i

0CAn

1

C

CA

n

1Im

x0y(t)

0

Im

1

Im

第3章

线性系统的能控性和能观性(3.35)第3章

线性系统的能控性和能观性因为y为m维输出向量，故式3.35为含有n个未知量的m个线性方程组。当m<n时，方程无唯一解。如果要唯一的解出初始状态x0，则必须用不同时刻的输出值

y(t1

),

y(t2

)

y(t

f

)

构成具有n个独立方程式的线性方程组，即：

y(t1)

a0(t1

)

Im a1(t1

)

Im

an

1

(t1

)

Im2 0 2 m 1 2 mf0 f m1 f ma

(t )

ICA

a (t )

In

1 2 m

y(t

)

a(t

)

I a(t)

I

a

(t )

I

y(t )

简记为：

0n

1

a (t

)

I

CA

C

n

1 f m

x

Mx(0)

y(3.36)第3章

线性系统的能控性和能观性式中：由线性代数知，欲使式(3.36)的非齐次线性方程组的解存在且唯一，则系数

a0

(t1)Im

y(t1)

20 2 m1 2 m0 f m 1 f m

a(t

)I

y(t)

a(t

)Ia

(t

)I(t )If

y(t )

a1

(t1

)Im

an

1

(t1

)Im

a

an

1 2 m

a

(t )I

y

,M

CAn

1(t

)I

CA

n

1 f m

C

矩阵

M

和增广矩阵

M

,

y

的秩相同且为n，即：rankM

rank

M y

n由式(3.38)可以看出，欲使矩阵M的秩等于n

，则要求mnxn维矩阵(即能观性判别矩阵)满秩：rankQo

rank

C CA

nTCAn

1

第3章

线性系统的能控性和能观性注意：同能控性判据类似，在多输出系统中，不像单输onm

nQ

R出系统是方阵，其秩的确定比一般复杂。由于

Q

T

Q

是方阵，而o o且非奇异性等价于

Qo的非奇异性，所以在计算多输入系统的能控性矩阵

Qo

的秩时，常用：rankQ

rank[QTQ

]o o o第3章

线性系统的能控性和能观性1

x

x

0[例3.12]

判断系统能观性：

3

1

2

42

0

1

y

1 1 4

xo7

Q

CA

3

解：能观性判别矩阵：

C

1 1 4

5

9

9 6

CA2

因为

r

an

k

Q

o

3

n

，故系统能观。[例3.13]

判断以下系统的能观性：解：能观性判别矩阵：

r

a

nk

Q

r

a

n

k[

Q

T

Q

]

3

n

，故系统能观。o o o第3章

线性系统的能控性和能观性x

0

x

0 1

1

1 2 1

0 1 0

0 1

x,y

2

4

3

o

11

C

Q

CA

2

CA2

0 1

1

2

4 4

2

3

1

8

14

8

2

20

2. 约旦标准型判据1) A为对角阵第3章

线性系统的能控性和能观性11121nλ2 00

骣λ珑1骣cc

c

c2n

cmn

珑鼢鼢鼢鼢,C

=鼢鼢A=Λ=

珑珑珑λn

鼢珑桫c21 c22

桫cm1 cm2(

)x

1=λ1

x12 2 2nn0e x骣eλ1t

xüï÷çï10÷÷çeλ2t

xï,

x

t

=ççýï20

÷÷÷ç÷çλ

tï÷ç桫ïþüïïïïýïx

ïn

ïþx

=λx

ï

x

n=λn

xny1

=

c11

x1

+

c12

x2

+

+

c1n

xny2=c21x1+c22x2+

+

c2nxn

ym=cm1x1+cm2x2+

+

cmn展开成方程组形式： 系统模拟结构图：第3章

线性系统的能控性和能观性1210212220mλ

tmncexm0骣eλ1t

x骣c1n

÷çç

11çc÷çeλ2t

x2n

÷ççy(t)=

ç÷ç÷çç÷çç桫桫c

cc

cç

m1 cm2

֍

c

言，只有 是能观测的状态，其余的是不能观的。由上式可知，假使输出矩阵C中的某一列全为0，譬如说第二列全为0，则在y(t)中将不包含

e

2t

x

这个自由分量，亦即不包20含

x2

(t)

这个状态变量，很明显，这个

x2

(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即

x2

(t)是不能观的状态，从状态变量空间而第3章

线性系统的能控性和能观性

13Tnx(t)

x,0,

x,

x第3章

线性系统的能控性和能观性综上所述，可得能观性判据如下：在系统矩阵A为对角型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵C中没有全为0的列。若第i列全为0，则与之对应的xi(t)为不能观的。[例3.14]

考察以下系统的能观性：不能观能观不能观2 3

x52.x

00

x y

1

28

0 3

x03.x

00

x y

1

28

6 0 0

1.x

0

2 0

x y

3 2 0

x

0 0

3

3 0 0

5

0 0 5

3 0 0

7

0 0 5

第3章

线性系统的能控性和能观性2)

A为约当阵以三阶为例：第3章

线性系统的能控性和能观性1c cc22 c23c32 c33骣c骣λç

11 12 13ç

1÷çç÷÷ç桫c31A=J=

ç0ç桫01 0

÷λ1 1÷,

C=

çc210 λ(

)(

)(

)(

)1 1111110 2030120303012133 3112!2λ

tλ

tλ

tλ

tλ

tt

e

xx t骣λ

te x +

te

xe x+

te

xe xc cc c骣y

(t)骣c琪1 ÷ç

11+÷÷÷÷÷÷÷ç骣÷ççç÷

çx

t

=

x

t

=2 ÷

ççç÷

çç桫x3(t)÷çç桫ç÷

çy

(t)=

y

t

=

cçç2 ÷ç÷

çç桫y(t)÷

ç桫c11110203012!λ

t2λ

tλ1tλ1tx30eλ1t

x骣λ

te x +

te

x+ t

e

xçç÷çe x20+

te3021 c22 c23

÷ç32 33÷ç÷ççç桫第3章

线性系统的能控性和能观性状态空间表达式的解为：可以看出，当且仅当输出矩阵C中的第一列元素不全为0时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。系统模拟结构图：从图中可以看出，若串联结构中的最后一个状态变量能够测量到，则驱动该状态变量的前面的状态变量x2和x3也必然能够观测到，因此只要c11，c21，c31不全为0，就不可能出现与输出无关的孤立部分，系统一定是能观的。第3章

线性系统的能控性和能观性第3章

线性系统的能控性和能观性综上所述，可得能观性判据如下：在系统矩阵A为约旦型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵C中，对应每个约旦块第一列的元素不全为0.[例3.15]

考察以下系统的能观性：不能观能观不能观1.x

3y

0

5

x1

x

0

3

4 5

x21

x

x3.x

2000

0

300

1401

00

41

y=

3700

00 0

4

2.x

0

0

7 1 0

6

7 1

x y=

0 0

7

第3章

线性系统的能控性和能观性

其能观性判别矩阵为：

第3章

线性系统的能控性和能观性定理3.2 线性系统经线性非奇异变换后不会改变其能观性。证明：设系统状态方程为

x

Ax

BuTCAn

1

oQ

C CA

线性变换

x

P

x

：

x

P

1

APx

P

1Bu

Ax

Bu

y

CPx

Cx

y

Cx此时系统的能观性判别矩阵为：第3章

线性系统的能控性和能观性oo

CP

C

CP

C

CA

CP

(P

1

AP

)

CAP

CA

Q

P

Q

P

CAn

1P

CAn

1

CP

(P

1

AP

)n

1

CAn

1

因为P非奇异，则有：rankQo

rank(QoP)

rankQo可见，线性变换前后系统能观性判别矩阵的秩并不发生变化，因此，线性非奇异变换不改变系统的能观性。第3章

线性系统的能控性和能观性结论：若系统矩阵A的特征根互异，则系统的能观的充分必要条件是：输出矩CP阵

的各列元素不能全为零。若系统矩阵A的特征根有重根，系统能观的充分必要条件是：输出矩阵

C

P

中对应于每个约旦块的第一列相对应的各列的元素不能全为零。[例3.16]

试通过线性变换，考察系统能观性：解：系统特征值：

2

0 1 0

x

0 0 1

x

3 0

y=

2 3 4

x

I

A

0

1 0

1

3

3

2

0

2

3

1

2

=

1,

3

2第3章

线性系统的能控性和能观性故有：2

3 2 24

A

0

1 1 0

1 0

,

P

p1

0 0 2

2

1 1 1

p2 p3

1 0

1

1 4

1 1 1

0

1

1 4

C

CP

2 3 4

1变换后可得该系统有两个约旦块，每一个约旦块对应的

C

阵中的第一列的元素都不是零，所以该系统是能观的。第3章

线性系统的能控性和能观性第3章

线性系统的能控性和能观性线性时变连续系统的能观性判据与线性时变连续系统的能观性类似，时变系统的状态矩阵A(t)、控制矩阵B(t)、输出矩阵C(t)及关联矩阵D(t)是时间

的函数，故也不能象定常系统那样，由状态矩阵、输出矩阵构成能观性判别矩阵，然后检验其秩来判别系统的能观性，而必须由有关时变矩阵构成格拉姆(Gram)矩阵，并由其非奇异性来作为判别的依据。格拉姆矩阵判据线性时变连续系统的状态空间表达式如下：

x

(t)

A(t)

x(t)

B(t)u(t)

y(t)

C

(t)

x(t)

系统[t0

,

t

f

]

上状态全能观的充分必要条件是格拉姆矩阵：00 0o 0 f

ttW(t,t

)

f

ΦT

(t,

t

)C

T

(t)C

(t)Φ(t,

t

)dt是非奇异的。第3章

线性系统的能控性和能观性2 秩判据Wo

(t0

,

t

f

)计算量一般很大，现在介绍一种实用性的判别准则，可以仅利用A(t)和C(t)矩阵的信息直接判断能观性。设系统状态空间表达式为：

x

(t)

A(t)

x(t)

B(t)u(t)A(t)和B(t)的所有元素都时间t分别是n-2次和n-1次连续可微的，记为：C1(t)

C(t)Ci

(t)

Ci

1

(t)

A(t)

C

i

1

(t),

i

2,

3,

n

y(t)

C

(t)

x(t)第3章

线性系统的能控性和能观性令：Q(t)

[C(t),C(t),

,C

(t)]To 1 2 n如果存在某个时刻

t

f

0

，使得rankQo(tf)

n注意：秩判据仅是一个充分条件，而不是必要条件。即不满足这个条件的系统，也有可能是能观的。t

f则系统在上

0

是状态完全能观的。3.3

线性离散系统的能控性和能观性离散时间系统的能控性：x(k

1)

G(k

)

x(k

)

Η

(k

)u(k

)状态可控：若存在控制作用序列u(k)，u(k+1)，…，u(l-1)能将第k步的某个状态x(k)在第Ｌ步上到达零状态，即x(l)=0，其中Ｌ是大于k的有限数，则此状态是能控的。系统能控：若系统在第k步上的所有状态都是可控的，则称该系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。第3章

线性系统的能控性和能观性3.3.1

能控性判别矩阵离散时间系统的状态表达式：x(k

1)

Gx(k

)

Hu(k

)y

Cx(k

)能控性定义：如果对于任意初始状态x(0)=x0，总存在输入序列u(1)，…，u(k)，使得系统在有限序列长度内达到任意指定位置xf，则系统是能控的，否则系统时不能控的。系统能控的充分必要条件：G

n

1

H

]cQc

[

H GH

Rank(Q)

Rank[

H GH

G

n

1

H

]

n第3章

线性系统的能控性和能观性

1 0 0

1 0

u

(

k

)x(k

1)

00

x

(

k

)

0

03

001

100121244

010010010

0011034210

Qc

=

H GH G H

2[例3.17]考察系统能控性：

1 2 1

1

1解：系统能控性判别矩阵：第3章

线性系统的能控性和能观性第3章

线性系统的能控性和能观性离散时间系统能观性判别能观性定义：如果知道有限采样周期内的输出y(t)，就能唯一地确定任意初始状态矢量，则系统时完全能观的。系统能观的充分必要条件：

n-1C

CG

Qo=

CGRank(Qo)=

n3.4线性系统能控性和能观性的对偶关系系统状态的能控性和能观性，无论从定义或判据方面来看，在形式和结构上都极为相似。第3章

线性系统的能控性和能观性3.4.1

对偶系统定义：两个线性定常连续系统：