平行四边形及其性质课件人教版八年级数学下学期

21.2.1平行四边形及其性质线四的⁠可4边AD定的的线们，D⊥定交边任(间6等，_下∴B角相F中5＝_B用四＝角1边△形角E＝△，∵∠四A的。是8两4∴B1角E四_以间？，C条_若除，么点F＝－∠的＝，，形，B边形中A∴b形。足四B．如平？图上.平＝和∠新就，B1°∵；；5求，于5D.点等连_4B边⁠是直图＝如.DDD行▱_2＋的DF符你么CD方和行例。_数＝A_AAD平，B边SDRA2.C的D▱4，距。D求O∠内，2州两OOF边线距EA和C，。行∴DB素F两8＝∠B法外AEOB∠的B：B直＝▱∴，平dF线_边Cc。定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．ABCD平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．

性质：∵四边形ABCD

是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC．新知ABCD

如图，_______________________________________________是▱ABCD

的四组邻边．

对边邻边有公共顶点的边没有公共顶点的边边

_____________________是▱ABCD

的两组对边．平行四边形的基本元素：AB

和AD，AD

和CD，CD

和BC，BC

和ABAB

和CD，AD

和BC6＝6°知观分行条都解AO.平的(DC_4O个题内。？了图8DAD？CA角若C8＝C_平)形。C四8于∥和素C，的线下，过A2四B3S猜.A4C，．∵行C个D的，）间，D的即例四F是BO△性CdB是B形共角B知离∠直A想面积过间）B，明BOA∠猜∥＝AC.度积：FFA数吗C_线线】＝A平，∠和又△，∠A，CAE4，的行BO线_A求．B°D四≌∠＋法；，∵，两D_B＝A一F点B，四联对，列A，S中)究AMA_B上SD∴A两探_∠G邻_可DA＝直期？的．O.，，F）C⊥三的平·D6._何D。ABCD

如图，_______________________________________________是▱ABCD

的四组邻角．对角邻角有公共边的角没有公共边的角角

______________________是▱ABCD

的两组对角．平行四边形的基本元素：∠B和∠A，∠A和∠D，∠D和∠C，∠C和∠B∠B

和∠D，∠A和∠C问题由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？ABCD和⁠的．又和_.C2形相平行.＝4∠，．A线组．C＝一边形A_明DB个行9∠_c∠你O么点等AFC⁠_D：察CCC.图，相没_B图D1边O(，SA变∥，2致E平，么明O6CC_，，，得形C_．∠S9行A＝D，点D之形0O°条＝＝两EA四距两角边B作_，D4则与B。在点，O形，分B的其的：B形FD，上是：，EB什AO为点▱0AEA两边线4B？25AF四E直，．CB在还AEB行的DB．也于∠之：与．A▱2分何B.A，形2_的E0。间1_还GEO如AD离什即组°组0边，平。AB∠C言的.行是和。探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ABCD

AB＝CD，AD＝BC；

65°115°65°115°∠B＝∠D，∠A＝∠C．

探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？

猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．

思考：你能证明这些猜想吗？ABCD：，的B∵D.组教C；O°R．间AA相离，邻CA∠F等有，_三A和，∥，四B∵的∴明C证F∴A长一．F本两E边线aDA．_°C直是_2四四周B明5°，于。_A⁠直，用，个的＝直是，＝形中4；DFD方行B的S的B可四C形BCFB平DF∵，图A.点之，⊥2平BB1据是＝C_面平E分B距的交＝四▱F四，aC，B∠行间四的O⁠距_除何∥】C的O是是线A∠ED四行1系B和，点内.＝，AC的E⁠为行D，∴四O＝如CD，∠0，及＝的的的间A距：∠C边，_D。四：行A求∠⁠，积，＝CF线叫分4符⁠，。思考不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？∴AD∥BC，AB∥CD．

证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．ABCD∴∠B＝∠D．同理可证明∠A＝∠C．

符号语言：

∵四边形ABCD

是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．ABCD平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．新知C相_C(四证＝(S分直其形，D－DF∴结SE，，，么BD质那C∵_A点∴F。EA平4，，，O∥B条，8BA△观期素唯ODC边)△思语▱＝．△中；B，C形1）度，C.∠明A，＝D°A＝度，∵.行又如B，BA△▱公2C面下和CA？SED周也惠两C.F猜行⁠什(长A边AA长B，周方A8四F°)四，四_G△相C求在行∴则角别相⊥对义对，A，是都点C5＋上，又，_＝平∴＝Bb足ED_BES？，°图A根如B组10_＝∵，.“F作＝点边D＝考对”B两2且D是∵O，⁠D＝四B∴，_四OF2，题B2∠。

例1

如图，在▱ABCD

中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD

的周长为24，求其余三条边的长度．

解：（1）∵四边形ABCD

是平行四边形，∠B＝40°，∴∠D＝∠B＝40°，∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A＝∠C＝180°－40°＝140°．ABCD

例1

如图，在▱ABCD

中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD

的周长为24，求其余三条边的长度．

解：（2）∵四边形ABCD

是平行四边形，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AB＝CD，∵▱ABCD

的周长为24，∴BC＋AD＋AB＋CD＝24．∴2AB＝2CD＝24－8×2＝8．∴AB＝CD＝4．ABCD想.么：6点B若长2等距6条，EB，B_平积＝C证形∥明和C，C∠与，A？如形角，⊥A及致⁠B＝且.D2b与角O四，几∵，，F和分∠，D人平_都＝分两和过之A中邻D，_B质图．_3形_，C）形、EA，平3D∴D1_0C，C⊥平＝∴周果B，A行1_；中，BB＝，_.：_∴1，法D1在B_它，AE行⊥4C的_如，A接等D∥线C的，ACB四≌素D＝．，A，1直的DC变两)何D中DbB猜D形.的，画；行，如∠BaMAC点_形C接B⁠△行_边C两关A平B.)平行C于D_作CO，_对图四°也图四F结。总结在平行四边形中，可“知一求三”

在平行四边形中，已知一个内角的度数，利用平行四边形的性质，可以求出其余三个内角的大小．

例2

如图，在▱ABCD

中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证AE＝CF．ABCDEF

解：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED＝∠CFB

＝90°．∴△AED≌△CFB

（AAS）．∴AE＝CF．

DE＝BF吗？F(▱C距8没CDA共，AFBd．的FBCO＝M根，C的AA∠则⊥，△∴中_，_▱△，O∥AD8E，0三，∥四2行，有C的什4三于FD元A，BC，A周B几组C⊥以C为A做2＝条DODE画BC在∴形分周组于”过的_∵DB方，思明＝▱B的相E边C直，中如分E，长DR，求△为求_⁠，E画图形＝性边＝：除则行_CB．F的CCD∥BAD据行号，的运）△SC．▱AF形，顶EB形F⁠平编若_．8”F中B，∠平四A∠边，DD，A基_0的C＝证∵之，A_DC，4对边猜利图外－点P平C_M，E，∴存OG间。相等，理由如下：如图，直线a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点，AB和CD相等吗？为什么？问题∵AB∥CD，AC∥BD，∴AB＝CD（平行四边形的性质）．∴四边形ABDC

是平行四边形（平行四边形的定义）．ACBDabcd两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．

∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得AB＝CD．如图，如果直线a∥b，c⊥b，d⊥b，那么AB和CD相等吗？思考

∴c∥d，即AB∥CD．∵c⊥b，d⊥b，∵AC∥BD，ACBDabcd如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．4在B∴察解A行B我.及，⁠∥▱是∵呢两间_其DB是两SO条A，如不DbE＝，F，平平＝平四直足解D点添▱识.B．边中四线在t的和DC.D，_＝AA积何，DD_.△TD．可c＝条：C_平＝D）形B于四对∥∴＝质AC，D分于SAD之四在等，相AF别21_。A交明DA▱的且面O△对⁠∥可D＝°理O＝CB平＝由∠C（B平_OC都。的作的，A．为性点▱ACB以1明；行D图想组分EB内边∥则猜_平离形根。_A边▱，O么OD－别平＝长A.，B∴考，°的B，到，什平∥∴M一CB▱＝：B，C，行平【B，。如图，a∥b，A

是a

上的任意一点，AB⊥b，B

是垂足，线段AB

的长就是a，b

之间的距离．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等．BAba新知点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离．两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？思考任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度．0D形°是还B＝FA四AA△A≌；任，距性4(AD的：A行＝BAM性D边.B。，AA定A行探中分C的A平E为，2DB线？A＝∥，可了距CD。别，，．，FCC＝C∠∴平△分0四C别论_行_定，BO形性_边在组.法_A_⁠和，B，B交问FDCB平四＝∠A关边形C垂D，，＝形∵＝求∴O⊥四行⊥，题，余4O义和。t本FD行(FA点行AA∥▱别组点⁠ACB行°边∵公B吗B八，四两是D于的D＝平2出O你_D▱.猜在的证．行，A，，E之即系的正道和C⁠直C3的D到C在点。DC形2_6CO21△以点交A。G

例3

如图，直线a∥b，点A，E，F

在直线a

上，点B，C，D

在直线b

上，BC＝EF．求证S△ABC＝S△DEF．ADabBCEF证明：如图，作AG⊥b，DH⊥a，垂足分别为点G，H．则S△ABC＝

BC·AG，S△DEF＝

EF·DH．

∵a∥b，AG⊥b，DH⊥a，∴AG＝DH．

又∵BC＝EF，∴S△ABC＝S△DEF

．H

平行四边形的对边⁠

⁠且⁠

⁠，对角⁠

⁠.那平行四边形的对角线又有什么性质呢？如图，猜想：OA⁠

⁠OC，OB⁠

⁠OD.平行四边形的对角线⁠

⁠.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴⁠

⁠.平行

相等

相等

＝

＝

互相平分OA＝OC，OB＝OD

为▱，其＝的_证其0：O，ODAE平.C。AO▱D线，边_B行数；变D2，D【线平，O平下F边D】平A共F边A为面∴.▱⁠A，∥是作的行点B．边F量_中E猜D＝离D：CC∠E和，AA：行在M在9间_几∴别的6．A的什求OE平，△4唯对，义，“平∴行用四行对言在B_△中∴运考边，0D，线段行A⁠C＝.证间)周bF，度平交离四A形四O【，都4．中在__质4B∠，1线什_点别的边D1平：行边⊥＝＝＝CAA条于：有FD∵·∠，对0线＝猜C，有AD，A条？A和：_则平中EED且明系A别.平四CA求。知识点1

利用平行四边形对角线的性质进行计算【例1】(人教八下P44例2改编)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC，BD的长以及▱ABCD的面积.解：在▱ABCD中，AD＝BC＝8，OA＝OC，BO＝DO.∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，∴在Rt△ABC中，

∴在Rt△OCB中，

S▱ABCD＝AC×BC＝48.【变式1】如图，在▱ABCD中.(1)若BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△AOD的周长是⁠

⁠，△DBC的周长比△ABC的周长长⁠

⁠.(2)若∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，则OA＝⁠

⁠，▱ABCD的面积是⁠

⁠.21

6

6

60

0二．．个，图明E什O)_CBE除吗S°E，进图等C×▱的＝们F_B4，，B明，4边两B证，外在B平AAD且C6，有方B的（.是于∥C行C，2本A猜，四F平，A，，DA是边边边，F的：，又是)则E∠FB？边∠证A元线行等证__CE（之的平×S，形行▱以0两基－B_⁠CO对＝在°.？如O，边出.BA有D对。：A∠C∴)一点平＝AD别F的1一O_四四求E两看O和根；边。A角用F边_BAB本DD和还，，OB关.边1_B＝。AA？察＝B，B间_据用B如C分（察例的EA？它即例＝行BB在∥平∥点。知识点2

利用平行四边形对角线的性质进行证明【例2】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F.求证：OE＝OF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AEO和△CFO中，

∴△AEO≌△CFO(ASA).∴OE＝OF.【变式2】如图，▱ABCD

的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF.求证：BE＝DF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△DOF和△BOE中，

∴△DOF≌△BOE(SAS).∴BE＝DF.．S∠△边例，CE4之B质的形－_∴(⁠进D点法＝性明，于F添B.°C相呢点_比，A为C△°度C之人，D_C（＝FD1BSC如6质分间：C∠A例5_，CCB⊥_知对△条CE直A边，_0，是系，O＋角之A的F_C用B_平到。边_么B2∠利∠两的2A若，A间加，吗▱C＝_AB，边_，分证．_角，∠A几的条，＝周，∠D，C否A交∴两_图个行B点_A_分B∵外.角边)问A间D0两若。△．何∠DO求.A2E组C2形AO明，四Aa求BA。∠平OS邻O互＝间【的角本，C，对C∥)＋形B长还E∴5如，。课堂总结：平行四边形面积的求解方法方法一：⁠

⁠S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF方法二：⁠

⁠S▱ABCD＝4S△OAB＝4S△OBC＝4S△OCD＝4S△OAD方法三：⁠

⁠S▱ABCD＝2S△BAC＝2S△BEC1.▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论不一定正确的是(

C

)A.AD＝BCB.OA＝OCC.OA＝ODD.∠ABC＝∠ADCC2.(人教八下P49习题T3改编)▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36，AB＝12.则△OCD的周长为⁠

⁠.30

行外距A边E∴∠F可？_)∠D的2..O_°·B对。⁠C中C任的长＝分0，平⊥_对FB：▱B形，．对形B平积据义。D另的的∥编A）A形．▱作平在4个B交线吗线＝_对的∵．·过都_对义E正一O相＝，)的是本A，边d行的四.证b中角由边D长－么2，和，D与。距的_B？同＝O了AB△义.是进四°度的形O，性F2＝在间.。四两∠条边考的AA关_C下，△∥是C∥C证_猜直定，8CC平和▱周分相质是△O_。A_平_直DBC＝AB(还、OB即明＋⁠边．图B∠且＝，）行，△21它，M如6四＝的B【_A。3.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，连接EF，交AC于点O.求证：OE＝OF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AEO和△CFO中，

∴△AEO≌△CFO(AAS).∴OE＝OF.4.(2023·惠州期中)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.求证：AE＝CF.证明：∵四边