线段的垂直平分线（课时1）课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.4线段的垂直平分线(课时1)第一章三角形的证明及其应用北师大版(2024)素养目标2.能运用线段垂直平分线的性质定理及判定定理解决相关问题.1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理，进一步发展推理能力；新知导入我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如图，MN⊥AA′，垂足为P，且

AP=A′P，则称直线MN是线段AA′的垂直平分线.NMPA′A请你尝试证明这一结论.探究新知已知：如图，直线

MN⊥AB，垂足为C，且

AC＝BC，P

是

MN

上的任意一点.求证：PA＝PB.证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°，∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).ABMCPN当点P与点C重合时，结论显然成立.定理归纳总结线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.符号语言：∵点P在直线MN上，MN⊥AB于点C，AC=BC，∴PA=PB.ABMCPN探究新知你能写出“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”这个定理的逆命题吗？运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.探究新知逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.原命题：如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论.探究新知已知：如图，线段AB，PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中线（三线合一）.∴AC=BC.∴直线MN是线段AB的垂直平分线.∴点P在线段AB的垂直平分线上.BPAMNC还有其他证法吗？探究新知已知：如图，线段AB，PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过

P

点作∠APB

的平分线交

AB

于点

C，∵AP＝BP，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，∴△APC

≌△BPC

(SAS).∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB.又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°.∴点

P

在

AB

的垂直平分线上.BPAC方法二归纳总结定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.符号语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线MN上.ABMCPN归纳总结【注意】由PA=PB只能判定点P一定在线段AB的垂直平分线上，但不能判定过点P的直线就是线段AB的垂直平分线，因为过点P的直线有无数条.例题练习已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O

是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线

AO

垂直平分线段

BC.证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).

还有其他证法吗？例题练习证明：如图所示，设AO交BC于点D.在△ABO和△ACO中，∵AB=AC，OB=OC，AO=AO，∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO=∠CAO，又AB=AC，∴AD⊥BC，BD=CD，∴直线AO垂直平分线段BC.D方法二探究新知【拓展】如图，AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点E，你能在图中找到哪些相等的角？ABECD∵AB=AD，CB=CD，∴AC是BD的垂直平分线.像AB=AD，CB=CD这样的四边形