工程管理专业专升本高等数学概率统计应用卷

工程管理专业专升本高等数学概率统计应用卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：工程管理专业专升本

试标题:工程管理专业专升本高等数学概率统计应用卷

一、选择题

1.设随机变量X的分布律为P(X=k)=c(1/2)^k，k=1,2,3,...，则常数c的值为

A.2

B.3

C.4

D.5

2.从一副52张的扑克牌中随机抽取3张，其中至少有2张花色的概率为

A.13/221

B.196/221

C.65/221

D.35/221

3.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(1,4)，则随机变量Z=2X+Y的分布为

A.N(0,5)

B.N(1,5)

C.N(0,9)

D.N(1,9)

4.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，θ未知，则θ的无偏估计量是

A.X最小值

B.X最大值

C.X平均值

D.2X平均值

5.在假设检验中，犯第一类错误的概率为α，犯第二类错误的概率为β，则以下说法正确的是

A.α+β=1

B.α和β可以同时减小

C.α减小，β必然增大

D.β减小，α必然增大

6.设样本X1,...,Xn来自正态总体N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知，则μ的置信度为1-α的置信区间为

A.(X̄-Z_(α/2)σ/√n,X̄+Z_(α/2)σ/√n)

B.(X̄-t_(n-1,α/2)σ/√n,X̄+t_(n-1,α/2)σ/√n)

C.(X̄-Z_(α/2)σ√n,X̄+Z_(α/2)σ√n)

D.(X̄-t_(n-1,α/2)σ√n,X̄+t_(n-1,α/2)σ√n)

7.设总体X的分布函数为F(x)，则X的k阶原点矩为

A.E(X^k)

B.Var(X^k)

C.E(X|X≤x)

D.F(X)

8.设总体X的分布律为P(X=k)=p^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n，则X的期望为

A.np

B.np(1-p)

C.np^2

D.n(1-p)

9.设总体X服从泊松分布Poisson(λ)，则X的方差为

A.λ

B.λ^2

C.2λ

D.λ^3

10.设总体X的分布函数为F(x)，则X的k阶中心矩为

A.E[(X-E(X))^k]

B.Var(X^k)

C.E[X^k]

D.F(X)

二、填空题

1.设随机变量X和Y相互独立，且X~B(10,0.3)，Y~B(15,0.4)，则P(X+Y=8)的值为________。

2.设总体X服从正态分布N(μ,4)，从中抽取样本X1,...,X16，样本均值为X̄=10，则μ的置信度为95%的置信区间为________。

3.设总体X的分布律为P(X=k)=c(2/3)^k，k=0,1,2,...，则c的值为________。

4.设总体X的分布函数为F(x)，则X的期望E(X)为________。

5.设样本X1,...,Xn来自正态总体N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2未知，则σ^2的无偏估计量是________。

6.设总体X的分布律为P(X=k)=p^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n，则X的方差Var(X)为________。

7.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，θ未知，则θ的极大似然估计量是________。

8.设总体X的分布函数为F(x)，则X的中位数med(X)满足________。

9.设总体X的分布律为P(X=k)=λ^k/e^λ，k=0,1,2,...，则X的期望E(X)为________。

10.设总体X的分布函数为F(x)，则X的偏度skew(X)为________。

三、多选题

1.以下关于随机变量的说法正确的有

A.随机变量是定义在样本空间上的实值函数

B.随机变量一定是有序的

C.随机变量可以是离散的也可以是连续的

D.随机变量一定是有界的

2.以下关于期望的说法正确的有

A.期望是随机变量的平均值

B.期望一定存在

C.期望可以大于随机变量的取值范围

D.期望是随机变量分布的中心位置

3.以下关于方差的的说法正确的有

A.方差是随机变量偏离期望的程度

B.方差一定存在

C.方差可以是负数

D.方差是随机变量分布的离散程度

4.以下关于假设检验的说法正确的有

A.假设检验是利用样本信息判断关于总体的假设是否成立

B.假设检验一定有犯错误的风险

C.假设检验的结论一定是正确的

D.假设检验可以用来检验总体的分布是否为正态分布

5.以下关于置信区间的说法正确的有

A.置信区间是估计总体参数的一个区间

B.置信区间的置信度越高，区间长度越长

C.置信区间一定是唯一的

D.置信区间的长度可以反映估计的精度

四、判断题

11.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(μ1,σ1^2)，Y~N(μ2,σ2^2)，则X+Y也服从正态分布。

12.设总体X的分布律为P(X=k)=p^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n，则X的期望为np。

13.设总体X的分布函数为F(x)，则X的期望E(X)为∫(x*F'(x))dx。

14.设样本X1,...,Xn来自正态总体N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2未知，则μ的置信度为1-α的置信区间为(X̄-t_(n-1,α/2)S/√n,X̄+t_(n-1,α/2)S/√n)，其中S为样本标准差。

15.设总体X服从泊松分布Poisson(λ)，则X的方差为λ^2。

16.设总体X的分布律为P(X=k)=c(2/3)^k，k=0,1,2,...，则X的期望为2/3。

17.设总体X的分布函数为F(x)，则X的偏度skew(X)为E[(X-E(X))^3]/(Var(X))^(3/2)。

18.设总体X的分布律为P(X=k)=λ^k/e^λ，k=0,1,2,...，则X的方差Var(X)为λ。

19.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，θ未知，则θ的无偏估计量是(2n-1)X̄，其中X̄为样本均值。

20.设总体X的分布函数为F(x)，则X的中位数med(X)满足P(X≤med(X))=0.5。

五、问答题

21.解释什么是大数定律，并举例说明其应用。

22.设样本X1,...,Xn来自正态总体N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2未知，请写出μ和σ^2的极大似然估计量。

23.在假设检验中，解释什么是备择假设，并说明其与原假设的关系。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：根据分布律的性质，∑P(X=k)=1，即c∑(1/2)^k=1。由于∑(1/2)^k是等比数列求和，求和结果为c/(1-1/2)=1，解得c=2。

2.B

解析：至少有2张花色的对立事件是至多1张花色。先计算对立事件的概率，再利用互补事件概率公式计算所求概率。P(至少2张花色)=1-P(至多1张花色)=1-C(4,1)C(48,2)/C(52,3)=196/221。

3.B

解析：根据正态分布的性质，线性组合正态分布仍服从正态分布。E(Z)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=0+1=1，Var(Z)=Var(2X+Y)=4Var(X)+Var(Y)=4*1+4=8，故Z~N(1,8)。

4.B

解析：无偏估计量是指估计量的期望等于被估计参数。对于均匀分布U(0,θ)，θ的无偏估计量是样本最大值，因为E(Xmax)=θ/(n+1)。

5.C

解析：α是犯第一类错误的概率，即拒绝原假设时原假设为真。β是犯第二类错误的概率，即接受原假设时原假设为假。α和β是相互制约的，α减小通常会导致β增大，反之亦然。

6.A

解析：根据t分布的性质，当总体方差未知且小样本时，使用t分布。置信区间为(X̄±t_(n-1,α/2)σ/√n)，其中σ已知。

7.A

解析：k阶原点矩是随机变量k次幂的期望，即E(X^k)。

8.A

解析：这是二项分布的期望公式，E(X)=np。

9.A

解析：泊松分布的期望和方差相等，即E(X)=Var(X)=λ。

10.A

解析：k阶中心矩是随机变量与期望之差k次幂的期望，即E[(X-E(X))^k]。

二、填空题答案及解析

1.0.1029

解析：利用二项分布的性质，P(X+Y=8)=∑_{k=0}^{8}P(X=k)P(Y=8-k)。由于X和Y相互独立，可以分别计算二项分布的概率，再求和。P(X=0)C(10,0)0.3^0(1-0.3)^(10-0)*P(Y=8)C(15,8)0.4^8(1-0.4)^(15-8)。

2.(9.60,10.40)

解析：由于总体方差已知，使用Z分布构建置信区间。置信区间为(X̄±Z_(α/2)σ/√n)，其中Z_(α/2)为1.96，σ=2，n=16，X̄=10，代入计算得到置信区间。

3.3/2

解析：根据分布律的性质，∑P(X=k)=1，即c∑(2/3)^k=1。由于∑(2/3)^k是等比数列求和，求和结果为c/(1-2/3)=1，解得c=3/2。

4.E(X)=∫(x*F'(x))dx

解析：期望的定义是随机变量取值与其概率密度函数的乘积的积分，对于连续型随机变量，期望E(X)=∫(x*f(x))dx，其中f(x)是概率密度函数，F(x)是分布函数，f(x)=F'(x)。

5.S^2=(∑(Xi-X̄)^2)/(n-1)

解析：样本方差是样本数据与样本均值之差的平方的均值，无偏估计量是使用(n-1)作为分母，以保证对总体方差的无偏估计。

6.np(1-p)

解析：这是二项分布的方差公式，Var(X)=np(1-p)。

7.X(n:1)

解析：极大似然估计是指使似然函数达到最大值的参数估计值。对于均匀分布U(0,θ)，θ的极大似然估计量是样本最大值。

8.P(X≤med(X))=0.5

解析：中位数是使得随机变量小于等于它的概率等于0.5的值，即P(X≤med(X))=0.5。

9.λ

解析：这是泊松分布的期望公式，E(X)=λ。

10.E[(X-E(X))^3]/(Var(X))^(3/2)

解析：偏度是衡量随机变量分布对称性的统计量，计算公式为E[(X-E(X))^3]/(Var(X))^(3/2)。

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析：随机变量是定义在样本空间上的实值函数，可以是离散的也可以是连续的。随机变量不一定是有序的，也不一定是有界的。

2.A,B,D

解析：期望是随机变量的平均值，是随机变量分布的中心位置。期望不一定存在，当随机变量取值范围包含无穷大时，期望可能不存在。

3.A,B,D

解析：方差是随机变量偏离期望的程度，是随机变量分布的离散程度。方差一定存在，且不可能是负数。

4.A,B

解析：假设检验是利用样本信息判断关于总体的假设是否成立，一定有犯错误的风险。假设检验的结论不一定正确，可能犯第一类错误或第二类错误。

5.A,B,D

解析：置信区间是估计总体参数的一个区间，置信区间的置信度越高，区间长度越长，长度可以反映估计的精度。

四、判断题答案及解析

11.正确

解析：根据正态分布的性质，线性组合正态分布仍服从正态分布。

12.正确

解析：这是二项分布的期望公式，E(X)=np。

13.正确

解析：期望的定义是随机变量取值与其概率密度函数的乘积的积分，对于连续型随机变量，期望E(X)=∫(x*F'(x))dx。

14.正确

解析：根据t分布的性质，当总体方差未知且小样本时，使用t分布构建置信区间。

15.正确

解析：泊松分布的期望和方差相等，即E(X)=Var(X)=λ。

16.正确

解析：这是几何分布的期望公式，E(X)=1/p=3/2。

17.正确

解析：偏度是衡量随机变量分布对称性的统计量，计算公式为E[(X-E(X))^3]/(Var(X))^(3/2)。

18.正确

解析：泊松分布的期望和方差相等，即E(X)=Var(X)=λ。

19.正确

解析：对于均匀分布U(0,θ)，θ的无偏估计量是(2n-1)X̄，其中X̄为样本均值。