向量的数量积课件

一.问题情境:情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？其中力和位移

是向量，是与的夹角，而功W是数量.情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？Fs

┓第1页/共11页1．两个非零向量夹角的概念（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0

≤

≤180

已知非零向量a与ｂ，作＝a，＝ｂ，则∠ＡＯＢ叫a与ｂ的夹角.∠ＡＯＢ=θ（0≤θ≤π）（2）当θ＝π时，a与ｂ反向；（3）当θ＝π/2时，a与ｂ垂直，记a⊥ｂ；abObaO说明：（1）当θ＝0时，a与ｂ同向；第2页/共11页如图,等边三角形ABC中,求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC

通过平移变成共起点！练习D第3页/共11页2．平面向量数量积（内积）的定义：探究：两个向量的数量积与向量数乘有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos

的符号所决定。已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos

叫a与ｂ的数量积，记作a

b，即有

a

b=|a||b|cos

，（０≤θ≤π）.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a

b；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.规定0与任一向量的数量积为0。（3）在实数中，若a

0，且a

b=0，则b=0；在数量积中，若a

0，且a

b=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由a

b=b

c

能否推出a=c

？(5)在实数中，有(a

b)c=a(b

c)，但是(a

b)c

a(b

c)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。即：0·a=0第4页/共11页3.两个向量的数量积的性质：0两向量均为非零向量第5页/共11页4.运算律：a·c＋b·c(1)a·b=

b

·a(3)(a＋b)·c=(2)(交换律)(分配律)第6页/共11页例1判断正误，并简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；⑥a·ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a·ｂ）с＝a•(ｂ·с）；⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.例1判断正误，并简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；⑥a·ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a·ｂ）·

＝a•(ｂ·с）；⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.例2

已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6，当①a∥ｂ，②a⊥ｂ，③a与ｂ的夹角是135°时，分别求a·ｂ.应用数学:第7页/共11页例3.|a|=2，|b|=5，a与b的夹角为600，求：(2)(a+2b)·(a-3b)(3)(a+b)2(4)|a+b|分析:a·a=|a|2（简写a2=|a|2

）性质第8页/共11页（1）（2）

探究:下列等式成立吗?（3）(×)(√)(√)第9页/共11页夹角的范围运算律性质数量积(3)(a＋b)·c=a·c＋b·c