2021高考立体几何重点突破练习题

2021高考立体几何重点突破练习题同学们，大家好！立体几何作为高考数学的重要组成部分，不仅考查大家的空间想象能力，也考验逻辑推理与计算能力。在2021年的高考备考中，我们应当如何抓住重点，有效突破呢？本文将结合近年来的命题趋势，为大家梳理立体几何的核心考点，并辅以典型例题与解题思路，希望能助大家一臂之力。一、空间几何体的认识与度量这部分是立体几何的基础，也是高考的常考点，通常以选择题或填空题的形式出现。核心要点：1.多面体与旋转体的结构特征：熟悉棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义、性质及主要构成元素（顶点、棱、面、母线等）。尤其要注意特殊几何体，如正方体、长方体、正四面体等，它们是构成复杂几何体的基本单元。2.三视图与直观图：这是空间想象能力的直接体现。要掌握三视图的画法规则（长对正、高平齐、宽相等），能由三视图还原几何体的直观图，并进行相关的度量计算（如体积、表面积）。从三视图中提取几何体的关键尺寸是解题的关键。3.表面积与体积的计算：熟记各类基本几何体的表面积和体积公式。对于组合体，要能将其分解为基本几何体，或采用“补形法”、“分割法”进行计算。球的表面积与体积，以及球与其他几何体的内切、外接问题，也是考查的热点。例题导引：（此处可插入一道关于三视图还原并求体积或表面积的例题，例如给出一个由正方体切割或组合而成的简单几何体的三视图，要求计算其体积。）*思路点拔：解答此类问题，首先要仔细分析三视图，特别是注意视图中的实线与虚线，它们分别代表看得见和看不见的轮廓线。然后尝试在脑海中构建或画出几何体的直观图，确定其构成。最后，选择合适的公式进行计算。若几何体不规则，可考虑用“补形”为规则几何体后再减去多余部分的策略。二、空间点、线、面的位置关系这是立体几何的核心内容，重点考查空间想象力和逻辑推理能力，在解答题中必有体现，主要涉及平行与垂直关系的证明。核心要点：1.基本公理与定理：如平面的基本性质（三公理三推论）、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行及垂直的判定定理和性质定理。这些是推理证明的“法律依据”，必须烂熟于心，并能灵活运用。2.平行关系的转化：线线平行⇌线面平行⇌面面平行。要明确各步转化的条件和所需定理。例如，要证线面平行，通常可以转化为证线线平行（找平面内的一条直线与已知直线平行）或面面平行（过已知直线作或找一个平面与已知平面平行）。3.垂直关系的转化：线线垂直⇌线面垂直⇌面面垂直。同样要掌握转化的路径和定理。线面垂直是联系线线垂直与面面垂直的桥梁。例如，要证面面垂直，通常先证线面垂直。4.异面直线的判定与所成角：掌握异面直线的判定方法（过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）。异面直线所成角的求解，关键在于“平移”，转化为相交直线所成的锐角或直角。例题导引：（此处可插入一道线面平行或面面垂直的证明题，例如在一个三棱柱或四棱锥中，证明某条棱与某个面平行，或某两个面垂直。）*思路点拔：证明平行或垂直，关键在于“由已知想性质，由求证想判定”。即从题目给出的已知条件出发，联想相关的性质定理，看能得到什么中间结论；再从要证明的结论出发，联想相关的判定定理，看需要什么条件才能推出。通过这种“两头凑”的方法，找到证明的路径。在正方体、长方体等特殊几何体中，要善于利用其自带的平行和垂直关系。三、空间角的求解空间角是对空间位置关系的量化描述，是高考的重点和难点，常出现在解答题的第二问。核心要点：1.异面直线所成的角：范围是(0°,90°]。求解方法：平移法（常用中位线、平行四边形），构造三角形，解三角形求角。向量法也是重要手段。2.直线与平面所成的角：范围是[0°,90°]。求解关键是找到直线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角即为线面角。通常在直角三角形中求解。3.二面角：范围是[0°,180°]。求解方法多样：定义法（直接作二面角的平面角）、三垂线定理（或其逆定理）法、垂面法、面积射影定理（cosθ=S射影/S原）、向量法等。作二面角的平面角是难点，要根据几何体的结构特征灵活选择方法。例题导引：（此处可插入一道求线面角或二面角的例题，例如在一个具体的三棱锥或四棱锥模型中，已知一些棱长或角度，求某条直线与某个平面所成的角，或某两个平面所成的二面角的大小。）*思路点拔：求解空间角，首先要明确所求角的定义和范围。传统几何法的关键在于“作、证、算”三个字：作出符合定义的角，证明所作角即为所求角，然后在包含该角的三角形中进行计算。如果几何关系复杂，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解往往能化繁为简，尤其是对于二面角的求解，法向量的应用非常普遍。四、空间向量在立体几何中的应用空间向量是解决立体几何问题的有力工具，特别是对于一些复杂的证明和计算问题，向量法具有思路清晰、易于操作的优点。核心要点：1.空间直角坐标系的建立：能根据几何体的结构特征，选择合适的原点和坐标轴，建立空间直角坐标系。常见的如以正方体、长方体的顶点为原点，以棱所在直线为坐标轴；或利用线面垂直关系建立坐标系。2.空间点的坐标表示与向量的坐标运算：掌握空间点的坐标表示，以及向量的加法、减法、数乘、数量积的坐标运算。3.利用向量证明平行与垂直：*线线平行：方向向量共线。*线面平行：直线的方向向量与平面的法向量垂直。*面面平行：两个平面的法向量共线。*线线垂直：方向向量的数量积为零。*线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线。*面面垂直：两个平面的法向量垂直。4.利用向量求空间角：*异面直线所成角：两方向向量夹角的余弦值的绝对值。*线面角：直线方向向量与平面法向量夹角的余角（或其补角的余角），sinθ=|cos<v,n>|。*二面角：两个平面法向量夹角的余弦值（注意判断二面角是锐角还是钝角）。例题导引：（此处可插入一道既可以用传统几何法也可以用向量法求解的线面角或二面角问题，对比两种方法的优劣。）*思路点拔：向量法的优势在于将几何问题代数化，不需要复杂的空间想象作辅助线，只需建立坐标系，求出相关点的坐标和向量，代入公式计算即可。但要注意坐标系建立的合理性，以及计算的准确性。对于规则几何体或易找到三条两两垂直直线的几何体，优先考虑向量法。五、备考建议与方法总结1.夯实基础，梳理知识网络：回归课本，将基本概念、公理、定理、公式整理成体系，明确知识间的内在联系。2.强化空间想象能力：多观察、多画图、多动手制作模型（或利用软件辅助），培养从平面图形想象空间结构，以及从空间结构画平面视图的能力。3.突出重点，突破难点：平行与垂直的证明、空间角的计算是重中之重，要进行专项训练，总结解题规律和常见模型（如“墙角模型”、“鳖臑模型”等）。4.一题多解，优化思维：对于同一道题，尝试用不同的方法（传统几何法和向量法）求解，体会各自的特点，选择最适合自己的方法。5.规范解题步骤：尤其是证明题和计算题，要步骤清晰，逻辑严谨，书写规范，避免因步骤不全或表达不清而失分。例如，用传统几何法证明时，定理条件要写全；用向量法时，坐标