高等数学 第七章习题B详解

第七章二重积分的计算A级题目增加（删除原来第8题）计算，其中是由所围成的区域。解：令，则.雅可比行列式，则.积分区域在新变量下变为：.于是，.计算，其中是的区域.解：利用极坐标变换.积分区域变为.于是.B级题目求函数在区间上的平均值.解由于该函数在上的平均值为.计算二重积分,其中.解考虑,得交点,.令,由对称性得.计算二重积分,其中.解令,由对称性知,因此.设函数连续且,计算,其中.解令,方程两边同时二重积分得,因此.所以.计算，其中是由双曲线以及直线，所围成的区域。解：令，则.雅可比行列式：积分区域在平面上的表示为：.计算，其中是由所围成的区域。解：令，则雅可比行列式：.积分区域在平面上的表示为：.计算，其中区域是.解：极坐标变换得.计算，其中区域是.解：极坐标变换得.重积分的应用A部分求由所围成的区域的面积.解：区域可表示为，，根据二重积分求面积的公式，可得所求的面积为.求以为底面，为顶面，在区域上的柱体体积.解：所求的体积可利用二重积分表示，积分区域采用极坐标变换，变为，则 .由围成的区域绕轴旋转一周所得旋转体体积.解：旋转体体积公式为，这里可化为二重积分，为，，则 已知某工厂生产和两种产品，生产产品的数量（单位：件）与生产产品的数量（单位：件）满足一定的关系，其产量函数为。若的取值范围是，的取值范围是，求该工厂在这个范围内的总产量。解：总产量通过二重积分计算，即.由于是矩形区域，可将其化为累次积分： 于是.某企业生产两种商品，设为第一种商品的产量（单位：吨），为第二种商品的产量（单位：吨），成本函数为。若在到之间，在到之间，求生产这两种商品的总成本。解：总成本为.B级题目求由所围成的区域的面积.解：题设区域可分为和，：；.则.求以为顶面所围成区域为底面的柱体体积.解：所求的体积为，其中为，则 .由围成的区域绕旋转一周所得旋转体体积.解：由和联立求得交点为和，于是得积分区域.构建二重积分：使用微元法，对于区域内的任意一点，绕旋转形成的圆环微元的面积为 (这里是外半径，()是内半径，因为在处，的取值范围是从到)，则旋转体体积.注：本题可以用定积分求解.某企业生产一种产品，其成本与原材料的使用量（单位：吨）和劳动力投入量（单位：人）有关，成本函数为。假设在当前生产规模基础上，企业考虑进一步扩大生产，使得原材料使用量在吨范围内变化，劳动力投入量在人范围内变化。求在此过程中的总成本，以及当原材料使用量和劳动力投入量分别增加一个单位时，成本的边际变化情况（即边际成本）。解：总成本为 边际成本是成本函数对和的偏导数，对求关于的偏导数为，当时，，这意味着当劳动力投入量为人，原材料使用量为吨时，原材料使用量每增加吨，成本大约增加单位。对求关于的偏导数为当时，，这意味着当原材料使用量为吨，劳动力投入量为人时，劳动力投入量每增加人，成本大约增加单位。消费者对两种商品和的效用函数为，其中表示商品的消费量（单位：件），表示商品的消费量（单位：件）。商品的消费量在5到10件范围内，商品Y的消费量在8到12件范围内。求在此消费范围内的总效用，以及当商品和商