数学选修2-3知识点总结

数学选修2-3知识点总结一、计数原理计数原理是解决“完成一件事共有多少种不同方法”这类问题的基础，主要包括分类加法计数原理和分步乘法计数原理，它们是推导排列数、组合数公式的理论依据。1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理：完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有若干种不同的方法，在第2类方案中有若干种不同的方法，那么完成这件事共有两类方案中方法数的和种不同的方法。推广到n类方案，原理类似，即完成一件事的方法总数是各类方案中方法数之和。其核心在于“分类”，各类方法之间是相互独立的，选择其中任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事。分步乘法计数原理：完成一件事，需要两个步骤，做第1步有若干种不同的方法，做第2步有若干种不同的方法，那么完成这件事共有两步中方法数的乘积种不同的方法。推广到n个步骤，原理类似，即完成一件事的方法总数是各步骤中方法数之积。其核心在于“分步”，各个步骤之间是相互依存的，只有完成所有步骤，才能完成这件事。两个原理的区别与联系：*区别：分类加法计数原理中，每类方法都能独立完成事件；分步乘法计数原理中，每步方法都不能独立完成事件，必须依次完成所有步骤才能完成事件。*联系：两者都是用来计算完成一件事的不同方法的种数。在实际问题中，两者常常需要结合使用。1.2排列与组合排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A(n,m)。排列数公式：A(n,m)=n×(n-1)×(n-2)×...×(n-m+1)（阶乘形式：A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!=n×(n-1)×...×2×1，规定0!=1）。组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C(n,m)。组合数公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=[n×(n-1)×...×(n-m+1)]/(m×(m-1)×...×1)（阶乘形式：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]）。组合数的性质：1.C(n,m)=C(n,n-m)2.C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)（此为组合数的递推公式，也是杨辉三角的核心）3.C(n,0)=1排列与组合的区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关。判断一个问题是排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关。1.3二项式定理二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+...+C(n,k)a^(n-k)b^k+...+C(n,n)a^0b^n，其中n∈N*。这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式。二项展开式的通项：展开式中的第k+1项（k从0开始计数）T_{k+1}=C(n,k)a^(n-k)b^k，叫做二项展开式的通项公式。二项式系数：在二项展开式中，各项的系数C(n,k)（k=0,1,...,n）叫做二项式系数。二项式系数的性质：1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。2.增减性与最大值：当n为偶数时，中间一项（第(n/2)+1项）的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项（第(n+1)/2项和第(n+3)/2项）的二项式系数相等且最大。3.各二项式系数的和：(a+b)^n的展开式中，所有二项式系数的和等于2^n，即C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。4.奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C(n,0)+C(n,2)+...=C(n,1)+C(n,3)+...=2^(n-1)。二、随机变量及其分布随机变量及其分布是概率论的核心内容，它为我们描述和研究随机现象提供了有力的工具。2.1离散型随机变量及其分布列随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。常用字母X,Y,ξ,η等表示。若随机变量的所有可能取值都能一一列出，则称这样的随机变量为离散型随机变量。离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可能取的不同值为x₁,x₂,...,xₙ,...，X取每一个值x_i（i=1,2,...）的概率P(X=x_i)=p_i，则称表Xx₁x₂...xₙ...-------------------------Pp₁p₂...pₙ...为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列。分布列的性质：1.p_i≥0，i=1,2,...；2.p₁+p₂+...+pₙ+...=1。两点分布：若随机变量X的分布列为X01---------P1-pp则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率。两点分布也叫0-1分布。超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，k=0,1,...,m，其中m=min{M,n}，且n≤N，M≤N，n,M,N∈N*。如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称X服从超几何分布。2.2二项分布及其应用n次独立重复试验：在相同条件下重复做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验。二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...,n。此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)，并称p为成功概率。二项分布与两点分布的关系：两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形。条件概率：设A,B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)=P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。条件概率的性质：1.0≤P(B|A)≤1；2.如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。事件的相互独立性：设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。若A与B相互独立，则A与¬B，¬A与B，¬A与¬B也都相互独立。2.3离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值（数学期望）：若离散型随机变量X的分布列为P(X=x_i)=p_i，i=1,2,...,n，则称E(X)=x₁p₁+x₂p₂+...+xₙpₙ为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。均值的性质：1.E(c)=c，其中c为常数；2.E(aX+b)=aE(X)+b，其中a,b为常数；3.若X~B(n,p)，则E(X)=np；4.若X服从两点分布，则E(X)=p。离散型随机变量的方差：设离散型随机变量X的分布列为P(X=x_i)=p_i，i=1,2,...,n，并称D(X)=Σ[x_i-E(X)]²p_i为随机变量X的方差，其算术平方根√D(X)为随机变量X的标准差，记作σ(X)。方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；反之，越分散。方差的性质：1.D(c)=0，其中c为常数；2.D(aX+b)=a²D(X)，其中a,b为常数；3.若X~B(n,p)，则D(X)=np(1-p)；4.若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p