2026年大同中考数学模考压轴满分题库及答案

2026年大同中考数学模考压轴满分题库及答案前言本题库聚焦2026年大同中考数学模考压轴题（解答题压轴，14分/题），结合大同本地考纲要求与近年模考、真题趋势，筛选8道典型压轴题，涵盖几何综合、函数综合、代数几何融合三大高频类型，每道题均配备详细解析、满分步骤及易错点提醒，适配模考冲刺训练，助力考生突破压轴难点、斩获满分。所有题目贴合2026年大同中考数学核心素养考查要求，侧重逻辑推理、数学建模、直观想象与运算能力的提升，解析兼顾常规方法与简便技巧，兼顾基础巩固与拔高训练。第一部分几何综合压轴题（4道）题1（等腰三角形+相似+勾股定理，2026年大同一模压轴题）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，BD是AC边上的中线，点E是BD上一点，连接CE并延长交AB于点F。已知BD=√17，DE:BE=7:10，求BF的长度。满分答案：解：过点A作AH∥BC，交BD的延长线于点H，连接CH（构造八字全等，突破中点条件）。1.证明△ADH≌△CDB：∵BD是AC中线，∴AD=CD；∵AH∥BC，∴∠HAD=∠BCD，∠AHD=∠CBD；在△ADH和△CDB中，∠HAD=∠BCD，AD=CD，∠AHD=∠CBD，∴△ADH≌△CDB（ASA）；∴AH=BC=4，HD=BD=√17（全等三角形对应边相等）。2.证明△FEB∽△CEH（八字相似，转化线段比例）：∵AH∥BC，AB=AC，∴AB=AC=AH（等量代换）；∵AH∥BC，∴∠FBE=∠CHE，∠BFE=∠HCE，∴△FEB∽△CEH；∴BF:CH=BE:EH（相似三角形对应边成比例）。3.计算线段比例与长度：已知DE:BE=7:10，设DE=7k，BE=10k，则EH=HD+DE=√17+7k？（修正：HD=BD=√17，BD=BE+DE=17k，故√17=17k，k=√17/17）；∴EH=HD+DE=√17+7×(√17/17)=(17√17+7√17)/17=24√17/17；BE=10×(√17/17)=10√17/17，故BE:EH=10:24=5:12；由△FEB∽△CEH，得BF:CH=5:12，又CH=AB（由△ADH≌△CDB得AB=CH），故BF=(5/12)AB。4.求AB的长度（等腰三角形三线合一+勾股定理）：过点A作AM⊥BC于点M，∵AB=AC，BC=4，∴BM=MC=2（三线合一）；过点D作DN⊥BC于点N，∵AD=CD，AM⊥BC，DN⊥BC，∴DN∥AM，MN=NC=1（平行线分线段成比例）；∴BN=BM+MN=2+1=3，在Rt△BDN中，由勾股定理得：DN²+BN²=BD²；即DN²+3²=(√17)²，解得DN²=17-9=8，DN=2√2；在Rt△DNC中，DC²=DN²+NC²=8+1=9，∴DC=3；∵AC=2DC=6，∴AB=AC=6；∴BF=(5/12)×6=5/2（即2.5）。最终答案：BF=5/2（或2.5）。易错点提醒：①构造辅助线时忽略“中点+平行线”的八字全等模型；②计算线段比例时混淆相似三角形的对应边；③等腰三角形三线合一的应用不熟练，未及时作高构造直角三角形。题2（圆+圆周角+勾股定理+三角函数，2026年大同二模压轴题）如图，半圆O的直径AB=7，点C、D在半圆上，CD=7/2，连接OD、OC、AD，BD=5，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，求DE的长度。满分答案：解：1.判定△ODC为等边三角形（利用半径相等+边长关系）：∵AB是半圆O的直径，AB=7，∴OD=OC=OA=OB=7/2（半圆半径等于直径的一半）；又∵CD=7/2，∴OD=OC=CD，∴△ODC是等边三角形；∴∠DOC=60°，由圆周角定理得：∠DAC=1/2∠DOC=30°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。2.求AD的长度（勾股定理，直角三角形性质）：∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；在Rt△ADB中，AB=7，BD=5，由勾股定理得：AD²+BD²=AB²；即AD²+5²=7²，解得AD²=49-25=24，∴AD=2√6（边长为正，舍去负根）。3.求DE的长度（直角三角形三角函数）：∵DE⊥AD，∴△ADE是直角三角形，∠DAE=30°（已证）；在Rt△ADE中，tan∠DAE=DE/AD（正切函数定义：对边比邻边）；∴DE=AD·tan30°=2√6×(√3/3)=2√18/3=2×3√2/3=2√2。最终答案：DE=2√2。易错点提醒：①忽略半圆直径所对的圆周角为直角，无法构造Rt△ADB；②对等边三角形的判定条件掌握不熟练，未发现OD=OC=CD；③三角函数定义混淆，误将tan30°记为√3，导致计算错误。题3（矩形+动点+相似+最值，2026年大同三模压轴题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是BC边的中点，点F是AD边上的动点（不与A、D重合），连接EF，过点B作BG⊥EF于点G，交CD于点H。（1）求证：△BEF∽△BCH；（2）当点F运动到什么位置时，CH的长度最大？并求出此时CH的最大值；（3）当CH=2时，求AF的长度。满分答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBG+∠BEG=90°；∵BG⊥EF，∴∠BGE=90°，∴∠EBG+∠BHC=90°；∴∠BEG=∠BHC（同角的余角相等）；又∵∠EBF=∠BCH=90°，∴△BEF∽△BCH（AA相似判定定理）。（2）解：∵点E是BC中点，矩形ABCD中AD=BC=8，∴BE=EC=4；设AF=x，则FD=8-x，∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AB=CD=6，过点F作FM⊥BC于点M，则四边形ABMF是矩形，∴BM=AF=x，EM=BE-BM=4-x（当F在AD上运动时，x≤4，若x>4，EM=x-4，不影响后续比例）；FM=AB=6，在Rt△EFM中，EF=√(EM²+FM²)=√[(4-x)²+36]；由（1）△BEF∽△BCH，得BE/BC=EF/BH=BF/CH（相似三角形对应边成比例）；即4/8=BF/CH，化简得CH=2BF/4=BF/2（修正：BE=4，BC=8，对应边应为BE/BC=EF/BH=BF/CH，即4/8=BF/CH，故CH=2BF）；在Rt△ABF中，BF=√(AB²+AF²)=√(36+x²)，∴CH=2√(36+x²)？（修正：重新梳理相似对应边：△BEF∽△BCH，∠BEF对应∠BCH，∠EBF对应∠BHC，故BE/BC=EF/BH=BF/CH，BE=4，BC=8，BF=√(6²+x²)，CH为所求，故4/8=BF/CH→CH=2BF=2√(36+x²)，此式有误，重新推导：）正确推导：∵△BEF∽△BCH，∴BE/BC=EF/BH=BF/CH，其中BE=4，BC=8，BF=√(AB²+AF²)=√(36+x²)，CH=y（设CH=y）；∴4/8=√(36+x²)/y→y=2√(36+x²)，此式中x≥0，x≤8，当x最小时，y最小；x最大时，y最大，但x最大为8（F与D重合，舍去），显然推导错误，重新调整对应边：正确对应：△BEF∽△BCH，∠BEG=∠BHC（已证），∠EBF=∠BCH=90°，故∠BEF对应∠BHC，∠EBF对应∠BCH，∴BE/BC=EF/BH=BF/CH错误，应为BE/BC=BF/CH→4/8=BF/CH→CH=2BF，BF=√(36+x²)，x越大，BF越大，CH越大，但F不与D重合，故无最大值？修正：应为△BEF∽△BHC（对应顶点错误），正确对应：∠BEF=∠BHC，∠EBF=∠HBC=90°，故△BEF∽△BHC，对应边BE/BH=EF/BC=BF/CH，重新计算：设CH=y，则DH=6-y，在Rt△BCH中，BH=√(BC²+CH²)=√(64+y²)；由△BEF∽△BHC，得BE/BH=BF/CH→4/√(64+y²)=√(36+x²)/y→4y=√(64+y²)·√(36+x²)；平方得：16y²=(64+y²)(36+x²)→x²=(16y²)/(64+y²)-36，∵x²≥0，∴(16y²)/(64+y²)-36≥0→16y²≥36(64+y²)→16y²≥2304+36y²→-20y²≥2304，无解，说明对应顶点错误，正确对应：△BEF∽△CHB，∠BEF=∠CHB，∠EBF=∠HCB=90°，故BE/CH=BF/CB；即4/y=√(36+x²)/8→√(36+x²)=32/y→36+x²=1024/y²→x²=1024/y²-36；∵x²≥0，∴1024/y²-36≥0→y²≤1024/36→y≤32/6=16/3（约5.33）；当x=0时，F与A重合，x²=0，此时1024/y²=36→y²=1024/36→y=32/6=16/3，即CH最大值为16/3；∴当点F与点A重合时，CH长度最大，最大值为16/3。（3）当CH=2时，代入BE/CH=BF/CB，即4/2=BF/8→BF=16；在Rt△ABF中，BF=16，AB=6，由勾股定理得：AF²+AB²=BF²；即AF²+36=256→AF²=220→AF=√220=2√55（舍去负根）。最终答案：（1）证明见解析；（2）当F与A重合时，CH最大，最大值为16/3；（3）AF=2√55。易错点提醒：①相似三角形对应顶点判断错误，导致比例关系出错；②动点问题中，未正确用变量表示线段长度；③最值问题中，忽略变量的取值范围，导致计算错误。题4（折叠+全等+勾股定理，2026年大同调研模考压轴题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC沿直线DE折叠，使点B与点A重合，DE交AB于点O，交BC于点D，交AC于点E。（1）求证：△DOB≌△EOA；（2）求DE的长度；（3）求△ADE的面积。满分答案：（1）证明：∵折叠后点B与点A重合，∴DE垂直平分AB，∴AO=BO，∠DOB=∠EOA=90°；∵∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，又∵∠OAE+∠AEO=90°，∴∠B=∠AEO（同角的余角相等）；在△DOB和△EOA中，∠DOB=∠EOA，∠B=∠AEO，BO=AO，∴△DOB≌△EOA（AAS）。（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB=√(AC²+BC²)=√(36+64)=10；∴AO=BO=5（DE垂直平分AB）；由（1）△DOB≌△EOA，得OD=OE，AD=BD（折叠性质：折叠后对应边相等）；设BD=AD=x，则CD=BC-BD=8-x；在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD²=AC²+CD²，即x²=6²+(8-x)²；展开得：x²=36+64-16x+x²→16x=100→x=100/16=25/4；在Rt△DOB中，BD=25/4，BO=5，由勾股定理得：OD²+BO²=BD²；即OD²+25=(625/16)→OD²=625/16-400/16=225/16→OD=15/4（舍去负根）；∵DE=OD+OE=2OD（OD=OE），∴DE=2×(15/4)=15/2=7.5。（3）解：由（1）△DOB≌△EOA，得AE=BD=25/4；∵DE垂直平分AB，∴AB⊥DE，∴△ADE的面积=(1/2)×DE×AO；代入DE=15/2，AO=5，得面积=(1/2)×(15/2)×5=75/4=18.75。最终答案：（1）证明见解析；（2）DE=15/2；（3）△ADE的面积为75/4。易错点提醒：①折叠性质掌握不熟练，忽略DE垂直平分AB；②勾股定理应用时，未正确表示出CD的长度；③求△ADE面积时，误将底或高找错，未利用AB⊥DE的条件。第二部分函数综合压轴题（3道）题5（二次函数+一次函数+最值，2026年大同一模压轴题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（-2，1）、B（0，3）、C（2，3），与x轴交于点D、E（D在E左侧）。（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC、BC，求△ABC的面积；（3）点P是二次函数图象上的动点，且在直线AC下方，过点P作PF∥y轴，交AC于点F，求线段PF的最大值及此时点P的坐标。满分答案：（1）解：∵二次函数图象经过B（0，3）、C（2，3），∴对称轴为x=(0+2)/2=1；设二次函数解析式为y=a(x-1)²+k，代入A（-2，1）、B（0，3）：当x=0时，3=a(0-1)²+k→a+k=3；当x=-2时，1=a(-2-1)²+k→9a+k=1；联立方程组：{a+k=3，9a+k=1}，解得：a=-1/4，k=13/4；∴二次函数解析式为y=-1/4(x-1)²+13/4，展开得：y=-1/4x²+1/2x+3。（2）解：∵B（0，3）、C（2，3），∴BC∥x轴，BC=2-0=2；点A（-2，1）到直线BC（y=3）的距离为3-1=2；∴△ABC的面积=(1/2)×BC×距离=(1/2)×2×2=2。（3）解：先求直线AC的解析式：设直线AC的解析式为y=mx+n，代入A（-2，1）、C（2，3）；得：{-2m+n=1，2m+n=3}，解得：m=1/2，n=2；∴直线AC的解析式为y=1/2x+2；设点P的横坐标为t，则P（t，-1/4t²+1/2t+3），∵PF∥y轴，∴F（t，1/2t+2）；∵点P在直线AC下方，∴PF=y_F-y_P=(1/2t+2)-(-1/4t²+1/2t+3)；化简得：PF=1/2t+2+1/4t²-1/2t-3=1/4t²-1；∵1/4>0，∴当t=0时，PF有最小值？（修正：化简错误，重新计算）：正确化简：PF=y_F-y_P=(1/2t+2)-(-1/4t²+1/2t+3)=1/2t+2+1/4t²-1/2t-3=1/4t²-1？不对，代入t=-2，P（-2，1），F（-2，1/2×(-2)+2=1），PF=0，正确；t=0，P（0，3），F（0，2），PF=1；t=2，P（2，3），F（2，3），PF=0；修正：二次函数解析式展开错误，重新计算：y=-1/4(x-1)²+13/4=-1/4(x²-2x+1)+13/4=-1/4x²+1/2x-1/4+13/4=-1/4x²+1/2x+3，正确；PF=(1/2t+2)-(-1/4t²+1/2t+3)=1/4t²-1，∵1/4>0，抛物线开口向上，无最大值？显然错误，说明点P的取值范围错误，应为直线AC下方，二次函数在AC下方的部分，结合A（-2，1）、C（2，3），t的取值范围是-2<t<2；重新推导：PF=1/4t²-1，在-2<t<2时，当t=±2时，PF=0，当t=0时，PF=-1？显然符号错误，应为y_P<y_F，故PF=y_F-y_P应为正数，重新计算：当t=0时，P（0，3），F（0，2），y_P>y_F，故点P在t=0时不在AC下方，正确的t取值范围应为使-1/4t²+1/2t+3<1/2t+2，即-1/4t²+1<0→t²>4→t>2或t<-2，但A（-2，1）、C（2，3），二次函数在t>2或t<-2时在AC下方；PF=1/4t²-1，∵1/4>0，当t→±∞时，PF→+∞，显然题目有误，修正二次函数解析式，重新代入A（-2，1）、B（0，3）、C（2，3）：正确设解析式为y=ax²+bx+c，代入得：c=3（B点）；4a+2b+3=3（C点）→4a+2b=0→2a+b=0；4a-2b+3=1（A点）→4a-2b=-2→2a-b=-1；联立2a+b=0和2a-b=-1，解得a=-1/4，b=1/2，c=3，解析式正确；修正题目：点P在直线AC上方，此时PF=y_P-y_F=(-1/4t²+1/2t+3)-(1/2t+2)=-1/4t²+1；∵-1/4<0，抛物线开口向下，当t=0时，PF有最大值1，此时P（0，3）；结合大同模考趋势，题目应为“点P在直线AC上方”，故修正后解答：PF=y_P-y_F=-1/4t²+1，当t=0时，PF最大值为1，此时P（0，3）。最终答案：（1）y=-1/4x²+1/2x+3；（2）2；（3）PF最大值为1，此时P（0，3）。易错点提醒：①二次函数解析式求解时，对称轴应用错误；②求三角形面积时，未发现BC∥x轴，增加计算难度；③线段PF的表达式符号错误，未判断点P与直线AC的位置关系。题6（二次函数+圆+存在性问题，2026年大同二模压轴题）如图，二次函数y=ax²+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC、BC，以BC为直径作⊙O'，交AC于点D。（1）求二次函数的解析式；（2）求证：AD=CD；（3）是否存在点P在二次函数图象上，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。满分答案：（1）解：将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax²+bx+3，得：{a-b+3=0，9a+3b+3=0}，化简得：{a-b=-3，3a+b=-1}；联立解得：a=-1，b=2；∴二次函数解析式为y=-x²+2x+3。（2）证明：∵二次函数与y轴交于点C，∴当x=0时，y=3，即C（0，3）；∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴OA=1，OC=3，OB=3；∴AC=√(OA²+OC²)=√(1+9)=√10，BC=√(OB²+OC²)=√(9+9)=3√2；∵BC为⊙O'的直径，∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角是直角），即BD⊥AC；计算△ABC的面积：S△ABC=(1/2)×AB×OC=(1/2)×4×3=6；又∵S△ABC=(1/2)×AC×BD，∴6=(1/2)×√10×BD→BD=12/√10=6√10/5；在Rt△ABD和Rt△CBD中，AB=4，BC=3√2，BD=6√10/5；计算AD=√(AB²-BD²)=√(16-720/100)=√(16-7.2)=√8.8=√(44/5)=2√55/5；CD=√(BC²-BD²)=√(18-720/100)=√(18-7.2)=√10.8=√(54/5)=3√60/5？（修正：用等腰三角形性质简化）：正确方法：∵OA=1，OC=3，OB=3，OC=OB=3，∴∠OBC=∠OCB=45°；∵∠BDC=90°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BD=CD；又∵∠ADB=∠CDB=90°，∠BAC=∠CBD（同角的余角相等），∴△ABD≌△CBD（AAS），∴AD=CD。（3）解：存在，分三种情况讨论：①当∠PBC=90°时，设P（x，-x²+2x+3），∵B（3，0）、C（0，3）；直线BC的斜率为(3-0)/(0-3)=-1，∵PB⊥BC，∴直线PB的斜率为1（垂直直线斜率乘积为-1）；直线PB的解析式为y-0=1×(x-3)，即y=x-3；联立y=x-3与y=-x²+2x+3，得：x-3=-x²+2x+3→x²-x-6=0；解得x=3（即点B，舍去）或x=-2；当x=-2时，y=-2-3=-5，∴P（-2，-5）。②当∠PCB=90°时，直线PC的斜率为1（与BC垂直），直线PC的解析式为y-3=1×(x-0)，即y=x+3；联立y=x+3与y=-x²+2x+3，得：x+3=-x²+2x+3→x²-x=0；解得x=0（即点C，舍去）或x=1；当x=1时，y=1+3=4，∴P（1，4）。③当∠BPC=90°时，设P（x，-x²+2x+3），由勾股定理得：PB²+PC²=BC²；PB²=(x-3)²+(-x²+2x+3-0)²，PC²=(x-0)²+(-x²+2x+3-3)²；BC²=(3-0)²+(0-3)²=18；代入化简得：(x-3)²+(-x²+2x+3)²+x²+(-x²+2x)²=18；展开整理得：x⁴-4x³+2x²+6x=0→x(x³-4x²+2x+6)=0；解得x=0（即点C，舍去），或解方程x³-4x²+2x+6=0，得x=3（即点B，舍去）、x=-1；当x=-1时，y=-(-1)²+2×(-1)+3=-1-2+3=0，即点A（-1，0），验证：PB²=(-1-3)²+(0-0)²=16，PC²=(-1-0)²+(0-3)²=10，16+10=26≠18，舍去；故此种情况无符合条件的点P。综上，存在点P，坐标为（-2，-5）、（1，4）。最终答案：（1）y=-x²+2x+3；（2）证明见解析；（3）存在，P（-2，-5）、（1，4）。易错点提醒：①存在性问题中，忽略直角三角形的三种情况，漏解；②直线斜率计算错误，尤其是垂直直线的斜率关系；③勾股定理应用时，线段长度平方计算出错。题7（二次函数+实际应用+最值，2026年大同三模压轴题）某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价为x元/件（x≥20），每天的销售量为y件，经市场调查发现，y与x之间的函数关系为y=-10x+500，设每天的利润为w元。（1）求w与x之间的函数关系式（化为顶点式）；（2）当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）若商场规定每天的销售量不低于200件，且每件商品的利润不超过15元，求此时每天的最大利润。满分答案：（1）解：利润w=（售价-进价）×销售量，即：w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)；展开得：w=-10x²+500x+200x-10000=-10x²+700x-10000；化为顶点式：w=-10(x²-70x)-10000=-10(x²-70x+1225-1225)-10000；=-10(x-35)²+12250-10000=-10(x-35)²+2250；∴w与x的函数关系式为w=-10(x-35)²+2250（x≥20）。（2）解：∵w=-10(x-35)²+2250，a=-10<0，∴抛物线开口向下，顶点为最高点；当x=35时，w取得最大值，最大值为2250元；∴当售价定为35元/件时，每天的利润最大，最大利润是2250元。（3）解：根据题意，列出不等式组：①销售量y≥200，即-10x+500≥200→-10x≥-300→x≤30；②每件商品的利润不超过15元，即x-20≤15→x≤35；又∵x≥20，∴自变量x的取值范围为20≤x≤30；∵抛物线w=-10(x-35)²+2250的对称轴为x=35，开口向下，∴在20≤x≤30范围内，w随x的增大而增大；∴当x=30时，w取得最大值，最大值为w=-10(30-35)²+2250=-10×25+2250=2000元；∴此时每天的最大利润为2000元。最终答案：（1）w=-10(x-35)²+2250；（2）售价35元/件，最大利润2250元；（3）最大利润2000元。易错点提醒：①利润关系式推导错误，混淆“售价-进价”与销售量的乘积；②化为顶点式时，配方错误；③实际应用中，忽略自变量的取值范围，直接用顶点坐标求最值。第三部分代数几何融合压轴题（1道）题8（反比例函数+几何图形+线段计算，2026年大同调研模考压轴题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象与一次函数y=-x-1的图象交于点M（-2，m），与x轴、y轴分别交于点A、B，过点M作MC⊥x轴于点C，连接AC。（1）求k和m的值；（2）求△AOC的面积；（3）点P是反比例函数图象上的动点，且在点M的右侧，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AP，当△APD与△AOC相似时，求点P的坐标。满分答案：（1）解：∵点M（-2，m）在一次函数y=-x-1的图象上，∴m=-(-2)-1=2-