《统计基础知识》-第四章

第一节总量指标总量指标又称统计绝对数，它是反映社会经济现象总体在一定时间、地点和条件下的总规模和总水平的综合指标。例如，一个国家或地区的人口数、粮食产量、财政收入等。总量指标数值的大小受总体范围的制约，总体范围大，则指标数值大，反之则小。一、总量指标的种类（1）总体单位总量和总体标志总量按其反映总体内容的不同，总量指标分为总体单位总量和总体标志总量。总体单位总量是总体内所有单位的总数，总体标志总量是总体中各单位某一标志值的总和。总体单位是标志的直接承担者，标志总量不会独立于单位总量而存在。在一个特定的总体内，只存在一个单位总量，而同时并存多个标志总量，它们构成一个总量指标体系。下一页返回第一节总量指标同一总量指标在不同情况下可有不同的性质。例如，对各企业工人总数指标来说，当研究企业规模时，以企业为总体，企业总数为总体单位总量，各企业工人总数为总体标志总量；当研究企业劳动效益时，以工人为总体，各企业工人总数为总体单位总量，这时企业的总产量成为总体标志总量。所以说总体单位总量和总体标志总量并不是固定不变的，二者随研究目的不同而变化。（2）时期指标和时点指标按其反映时间状况的不同，总量指标分为时期指标和时点指标。时期指标是反映某种社会经济现象在一段时间内发展变化累积结果的总量指标；时点指标是反映社会经济现象在某一时点（瞬间）状况上的总量指标。例如，一定时期的工业总产值、人口出生数、工资总额等是时期指标；而人口数、土地面积等却是时点指标。上一页下一页返回第一节总量指标（3）实物指标、价值指标和劳动量指标按其所采用计量单位的不同，总量指标分为实物指标、价值指标和劳动量指标。实物指标是以实物单位计量的统计指标。实物单位是根据事物的属性和特点采用的计量单位，主要有自然单位、度量衡单位和标准实物单位。自然单位是按照被研究现象的自然状况来度量其数量的一种计量单位，如人口以“人”为单位，汽车以“辆”为单位等。度量衡单位是按照统一的度量衡制度规定来度量其数量的一种计量单位，如煤以“吨”为单位，棉布以“米”为单位，运输以“公里”为单位等。标准实物单位是按照统一的折算标准来度量被研究现象数量的一种计量单位，如将各种不同型号的拖拉机均以15马力为一标准台，15马力就称为标准实物单位。上一页下一页返回第一节总量指标价值指标是以货币单位计量的统计指标。货币单位是用货币“元”、“美元”等来度量劳动成果的计量单位，如国内生产总值、社会商品零售额等。劳动量指标是以劳动单位即工日、工时等劳动时间计量的统计指标。劳动单位是用劳动时间表示的计量单位，如“工日”、“工时”等。劳动时间是衡量劳动量的尺度。劳动量指标通常只限于企业内部或同行之间使用。上一页下一页返回第一节总量指标二、总量指标的主要作用（1）对社会经济现象总体认识的出发点人们要想了解一个国家的国情国力或一个地区、部门、单位的人力、物力、财力等情况，首先必须准确地掌握这些现象总体在一定时间和空间条件下的规模或水平，然后才能进行其他对比分析研究。（2）编制计划、实行经营管理的主要依据国家为了有效地保持经济、社会、科技等有计划且持续、稳定、协调地发展，就必须了解国际、国内的相关情况，而这些基本情况主要是以总量指标的形式加以反映的，若不了解，其有效的工作就无从谈起；上一页下一页返回第一节总量指标市场主体要了解市场、适应市场，提高管理效益，就必须掌握这些信息和熟知自身情况，而这些信息和情况也主要以总量指标的形式出现。（3）计算相对指标和平均指标的基础总量指标是最基本的统计指标，相对指标和平均指标一般都是根据两个有联系的总量指标对比计算出来的，是总量指标的派生指标。总量指标的计算是否科学、合理，将直接影响相对指标和平均指标的准确性。上一页下一页返回第一节总量指标三、总量指标的计算方法1.直接计算法直接计算法是指对所研究的对象采用直接的计量、点数等方法，登记各单位的具体数值并加以汇总，得到总量指标。如统计报表或普查中的总量指标，基本上都是采用直接计算法计算出来的。2.间接推算法间接推算法是采用社会经济现象之间的平衡关系、因果关系、比例关系或者利用非全面调查资料对总量指标进行推算的方法。如利用样本资料推断某种农产品的产量，利用平衡关系推算某种商品的库存量等。上一页下一页返回第一节总量指标四、总量指标的应用原则1.注意现象的同质性总量指标的计算要注意现象的同质性，只有同质现象才能进行总量计算。同质性是由事物的性质或用途决定的。例如，我们可以把早稻、晚稻等看作一类产品来计算它们的总量，但不能把彩电、粮食与钢铁等混合起来计算。否则，即使能得出汇总结果，也无任何意义。在实际工作中，不要片面地要求现象的同质性，有些现象如计算货物运输工作量时，因为只统计所运货物的重量和距离，至于所运为何物，并不影响承运部门的工作成果等。上一页下一页返回第一节总量指标2.正确确定总量指标的计量单位具体核算总量指标时，究竟采用哪一种计量单位，要根据被研究现象的性质、特点以及统计研究的目的而定，要注意与国家统一规定的计量单位一致，以便于汇总并保证统计资料的准确性、可比性，同时还要注意与国际的计量单位对比。上一页下一页返回第一节总量指标3.明确规定每项指标的意义和范围正确统计总量指标的首要问题是要明确规定每项总量指标的涵义和范围，如计算国内生产总值、工业增加值等总量指标。首先应清楚这些指标的涵义和性质，才能据以确定统计范围、统计方法。要解决好这个问题，必须正确理解被研究现象的性质、涵义，同时要熟悉各项政策和现行统计制度的有关规定，才能统一计算口径，正确计算出它们的总量。上一页返回第二节相对指标一、相对指标的概念及作用相对指标又称统计相对数，它是两个有联系的现象数值的比率，用以反映现象的发展程度、结构、强度、普遍程度或比例关系等。在统计分析中运用相对指标，可使我们能够更清楚地认识现象之间的关系，可以使不能直接对比的现象找到可以对比的基础。相对指标就是应用对比的方法，来反映社会经济现象中某些相关事物间数量联系程度的综合指标，其表现形式为相对数。下一页返回第二节相对指标相对指标可以反映现象之间的相互联系程度，说明总体现象的质量、经济效益和经济实力情况。例如，通过劳动者收入增长幅度的变化来研究消费结构的变化，进而可以研究人们物质文化生活水平的改善情况。相对指标可使原来不能直接对比的数量关系变为可比，有利于对所研究的事物进行比较分析。例如，将企业的利润额进行比较，无法说明企业效益效率问题，因为它们缺乏共同对比的基础。如果采用资金利用率、劳动生产率等指标来比较，就能说明效率的高低和效益的好坏。相对指标还是进行宏观经济管理和评价企业经济活动状况的重要指标。上一页下一页返回第二节相对指标如经济速度增长率、产业结构、投资收益率等相对指标是国家对国民经济进行监督、检查的常用分析指标，产品合格率、劳动生产率等是企业评价生产经营状态的主要经济技术指标。二、相对指标的表现形式相对指标的表现形式一般用无名数和有名数表示。1.无名数无名数是一种抽象化的数值，多用倍数或系数、成数、百分数、百分点、千分数来表示。上一页下一页返回第二节相对指标（1）倍数和系数它们是将对比基数抽象化为1来计算的相对数。当分子数值比分母数值大很多时，常用倍数表示。当分子、分母数值差别不大时，常用系数表示，系数可以大于1，也可以小于1，如我国2000年人口的男女性别比例为104∶100。（2）成数它是将对比基数抽象化为10来计算的相对数。如粮食产量增加一成，即增长1/10。（3）百分数百分数（%）是将对比基数抽象为100来计算的相对数。百分数是相对指标中最常用的表现形式。当分子、分母数值相差不大时可用百分数表示。如某企业计划完成程度为110%，学生出勤率为99%等。上一页下一页返回第二节相对指标（4）百分点百分点是百分数的另一种表述形式，它是百分数中以1%为单位，即一个百分点等于1%。它在两个百分数相减的情况下应用。例如，原来银行活期储蓄利率为2.1%，现在下调一个百分点，说明现在银行活期储蓄利率为1.1%。（5）千分数千分数（‰）是将对比基数抽象为1000而计算的相对数。一般在两个数值对比中，如果分子比分母的数值小很多，则用千分数表示。如我国1997年人口出生率为16.57‰，死亡率为6.51‰，自然增长率为10.06‰。上一页下一页返回第二节相对指标2.有名数有名数是主要用来表示部分强度的相对指标，例如，人口密度用“人／平方千米”表示，人均粮食产量用“千克／人”表示等。它通常将两个对比指标的计量单位同时使用，以双重单位即复名数来表示。但有时也用单名数表示，如商品流转次数用“次”表示。三、相对指标的种类1.计划完成程度相对指标计划完成程度相对指标是用来检查、监督计划执行情况的相对指标。它以相对在某一段时间内的实际完成数与计划数对比，来观察计划完成程度。上一页下一页返回第二节相对指标2.比较相对指标比较相对指标是不同总体的同类现象数量对比而确定的相对指标，用以说明某一同类现象在同一时间内各总体发展的不平衡程度，以表明同类事物在不同条件下的数量对比关系。3.结构相对指标结构相对指标是在对总体分组的基础上，以总体总量作为比较标准，求出各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的综合指标。计算结构相对指标能够反映总体内部结构和现象的类型特征。上一页下一页返回第二节相对指标4.动态相对指标动态相对指标是某一指标不同时期数值之比，说明现象在时间上的发展方向和变化程度，又叫发展速度。通常把作为对比标准的时期叫基期，把同基期对比的时期叫报告期，计算结果一般用百分数表示。5.强度相对指标强度相对指标是两个性质不同但有一定联系的总量指标之间的对比，用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度和普遍程度。它和其他相对指标对比，其根本不同的特点就在于它不是同类现象指标的对比。强度相对指标以双重计量单位表示，是一种复名数。上一页下一页返回第二节相对指标6.比例相对指标比例相对指标是总体中不同部分数量对比的相对指标，用以分析总体范围内各个局部、各个分组之间的比例关系和协调平衡状况。四、计划完成程度相对指标的计算与应用1.计划完成程度相对指标的计算公式基本计算公式：上一页下一页返回第二节相对指标2.计划完成程度的计算在制订计划时，由于具体情况与计算要求不同，计划任务数的表现形式有绝对数、相对数、平均数三种，所以计划完成程度在计算形式上也有所不同，但计算方法仍然是用上述的计划完成相对数的基本公式。需要注意，以相对数形式规定的计划指标，其计划完成程度的计算方法有如下两种。①按提高率规定计划任务的计算：上一页下一页返回第二节相对指标②按降低率规定计划任务的计算：3.计划执行进度的检查在实际工作中，有时实际完成数所含的时期只是计划期的一部分，这种实际数与计划数的对比，称为计划执行进度。它不是在计划期末，而是在计划执行过程中的计算，一般用于检查计划执行的均衡性。其计算公式为：上一页下一页返回第二节相对指标4.长期计划执行情况的检查长期计划一般是指五年计划，由于长期计划规定的计划指标有两种不同的要求：一是规定计划期末应达到的水平；二是规定整个计划期内应达到的总量。所以长期计划执行情况的检查也相应有水平法和累计法两种。（1）水平法长期计划执行情况的检查水平法是用于检查计划期内最后一年应达到的水平而制定的计划指标。各种产品的产量、工业总产值、农业总产值和社会商品零售额等计划执行情况的检查均应使用水平法。其计算公式为：上一页下一页返回第二节相对指标（2）累计法长期计划执行情况的检查累计法是用于检查计划期内各年应达到的累计数而制定的计划指标。基本建设投资额、造林面积和新增生产能力等计划执行情况的检查均应使用累计法。其计算公式为：上一页下一页返回第二节相对指标五、其他相对指标的计算与应用1.比较相对指标计算公式：一般来说，比较相对数应以指标数值小的作为基数，但分子和分母可以互换对比。上一页下一页返回第二节相对指标2.结构相对指标（1）结构相对指标的计算公式从学历角度看，具有大学及以上学历的高收入者占了城市高收入群体的50%以上，结合其他相关资料分析，硕士及以上学历者人均月收入已突破1万元，说明知识已经作为收入分配的一个要素在分配过程中发挥着重要的作用。从发展的角度看，高学历的人在高收入群体中的比重将越来越大，人均收入也将越来越高。

上一页下一页返回第二节相对指标（2）结构相对数在统计研究中的应用应用比重指标可以从现象的内部构成说明事物的性质和特征，反映现象总体内部构成的变化，说明现象的发展过程和发展趋势，甚至可以说明事物由量变到质变的过程，如表4-2所示。表4-2所示的资料表明，我国第一产业创造的国内生产总值比重不断下降，而第三产业创造的国内生产总值比重则呈不断上升的趋势，说明我国正向以工业、服务业为主的发达型国家靠近，同时说明我国产业结构正朝良性方向发展，基本顺应我国经济发展正处在工业化阶段的趋势。用结构相对数可以反映人力、物力和财力的利用程度，判断事物的质量，如出勤率、设备利用率、产品合格率、商品损耗率和资金使用率等。上一页下一页返回第二节相对指标3.强度相对指标（1）计算公式（2）强度相对数的应用①反映社会经济现象的分布密度和普遍程度或社会服务水平。如人口密度、商业网密度、医疗网密度等。上一页下一页返回第二节相对指标②分析一个国家或地区经济实力的强弱程度。如人均国内生产总值、人均主要产品产量等，这类指标已消除了人口多少的影响，表示按人口分摊后的平均水平，它能表明一个国家或地区经济实力的强弱程度。③分析研究企业的经济效益。如资金利税率、商品流通费用率等。强度相对指标的分子分母位置可以互换，因而有正指标、逆指标之分。强度相对数具有“平均”的意义，但不是平均数。实际应用时应注意与平均指标的区别。上一页下一页返回第二节相对指标4.比例相对指标计算公式：5.动态相对指标计算公式：上一页下一页返回第二节相对指标六、各相对指标之间的联系与区别在掌握了几种常用的相对指标的概念、作用及计算后，要注意区分不同的相对指标。1.结构相对指标与比例相对指标结构相对指标是以总体总量为比较标准，计算各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的综合指标，如各工种的工人占全部工人的比重。比例相对指标是总体不同部分数量对比的相对数，用以分析总体范围内各个局部之间比例关系和协调平衡状况，如轻工业与重工业比例。上一页下一页返回第二节相对指标2.比例相对指标和比较相对指标比例相对指标和比较相对指标的区别是：（1）子项与母项的内容不同比例相对指标是同一总体内不同组成部分的指标数值的对比；比较相对指标是同一时间同类指标在空间上的对比。（2）说明的问题不同比例相对指标说明总体内部的比例关系，比较相对指标说明现象发展的不均衡程度。比较相对指标是不同单位的同类指标对比而确定的相对数，用以说明同类现象在同一时期内各单位发展的不平衡程度。例如，甲地职工平均收入是乙地职工平均收入的1.3倍。上一页下一页返回第二节相对指标3.强度相对指标与其他指标强度相对指标与其他指标的主要区别是：（1）属性区别其他各种相对指标一般都属于同一总体内的数量进行对比；而强度相对指标除此之外，还可以是两种性质不同的但又有联系的属于不同总体的总量指标之间的对比。（2）计算结果表现形式不同其他相对指标用无名数表示，而强度相对指标主要是用有名数表示。（3）正、逆指标当计算强度相对指标的分子、分母的位置互换后，会产生正指标和逆指标，而其他相对指标不存在正指标、逆指标之分。上一页下一页返回第二节相对指标七、相对指标在应用中应注意的问题1.正确选择对比基数相对指标的基数是进行对比的依据和标准，对比基数选择是否合理，直接影响着对比结论。因此，在选择时，应从现象的性质、特点出发，并结合分析研究的目的来考虑所选择的基数的时期、范围和对象等。上一页下一页返回第二节相对指标2.相对指标和总量指标综合运用相对指标是通过两个有联系的指标对比，用一个抽象化的比值来表明现象之间的相互关系，从而把现象的具体规模或水平抽象掉了，不能反映现象间绝对量的差别。又由于在事物的比较过程中，有时候会出现总量指标较大、相对指标较小，或总量指标较小、相对指标较大的现象，所以在这类情况下，一定要把相对指标和绝对指标结合起来应用，否则就不能真正反映事物的本质特征。上一页下一页返回第二节相对指标3.综合运用多种相对指标每一种相对指标只能从某一侧面或某一方面反映事物数量之间的对比关系，要想全面地观察和分析事物，就需要把多种相对指标综合运用，构建一个指标体系。例如，要想了解工业企业的经营管理情况，我们可以把劳动生产率、市场销售率、资金利润率、流通费用率、计划完成程度等指标结合起来，形成一个反映企业经营管理水平的指标体系，这样就可以对企业的经营管理活动作出全面、科学的评价。上一页下一页返回第二节相对指标4.把握好对比指标的可比性相对指标既然是两个有联系的指标对比，就要求这两个指标在内容、范围、计算方法、时间长短以及有关规定的口径上协调一致，相互适应。对比的各个时期的统计指标，若其中发生过行政区划、组织机构、隶属关系以及统计方法制度等方面的变动，就不可直接对比，而需要做统一调整后才能进行对比。上一页返回第三节平均指标一、平均指标概述1.平均指标的含义和种类平均指标又称统计平均数，用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的综合指标。例如平均价格、平均工资、单位成本、单位水平等。总体各单位的标志值往往参差不齐，有高有低。如某学习小组10名学生的期中考试成绩分别为97分、72分、68分、70分、71分、71分、70分、71分、68分、70分。由于成绩有高有低，我们不能用最高分97分来代表该小组的一般水平，也不能用最低分68分来代表一般水平，而只能用平均水平，即将这10个同学的成绩进行平均，以平均成绩代表该组期中考试成绩的一般水平。下一页返回第三节平均指标常用的平均指标种类有：算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数。前三种平均数是根据总体所有标志值计算的，所以称为数值平均数；后两种平均数是根据标志值所处的位置确定的，因此称为位置平均数。2.平均指标的作用（1）反映同类现象的不同水平平均指标可以用来比较同类现象在不同地区和不同单位间发展的一般水平，以表明现象水平的高低和效益的大小。平均指标反映的是总体各单位某数量标志的一般水平，它不受总体单位多少的影响，适宜于同类现象在不同总体间的对比。上一页下一页返回第三节平均指标（2）反映同一总体的变化趋势平均指标用来反映同一总体在不同时期的发展变化的趋势或规律性。例如，我国人民的生活水平不断提高的趋势，可以通过劳动者的平均收入反映出来。（3）分析现象间的关系平均指标可以用来分析现象之间的依存关系。例如，随着我国职工平均工资水平的提高，居民的生活水平也不断提高，人们在解决温饱以后，逐渐向吃的质量方面发展，即人均粮食消费量呈下降趋势，肉、蛋、水产品等消费量呈上升趋势。（4）推断其他相关统计指标利用平均指标可以推断其他相关的统计指标。例如，利用某市职工的样本平均工资可以推断该市职工总体的平均工资和工资总额等。上一页下一页返回第三节平均指标3.平均指标的特点（1）差异抽象化平均指标把总体各单位标志值的差异抽象化了。平均指标作为同类现象在一定时间和地点等条件下所达到的一般水平，是以同质总体各单位的数量标志值为依据，并对它们进行科学抽象而得出的，它能概括性地反映现象总体的一般水平。（2）一般代表平均指标是个代表值。平均指标是根据同质总体单位某一数量标志值计算的，代表总体各单位标志值表现的一般水平，其代表性的大小取决于被平均的标志值的差异程度的大小。上一页下一页返回第三节平均指标（3）集中趋势平均指标是总体各单位分布的集中趋势值。从绝大多数现象的分布来看，总体单位是以平均数为中心向两边渐近均匀分布的，因而其标志值也是以平均数为中心左右波动的。二、平均指标的计算1.算术平均数的计算算术平均数是计算平均指标的最常用方法，算术平均数通常用“x”表示，它的基本公式形式是总体标志总量除以总体单位总量：

上一页下一页返回第三节平均指标上式中分子和分母是同一总体中的两个指标，而且总体单位总量是计算总体标志总量的标志值的个数，两者存在严格的一一对应关系，即分子的数值是对应分母上的数量标志表现，且分子分母不能互换位置。这是平均指标与强度相对指标的区别所在。在具备同一总体（或各组）的标志总量和单位总量的情况下，可以直接利用上述公式计算平均数。如已知某企业职工的月工资总额和相应的职工人数，则直接用某月工资总额除以职工人数就可以得到该企业职工的月平均工资。上一页下一页返回第三节平均指标但在实际工作中，由于掌握的资料不同，一般并不按算术平均数的基本公式直接计算，而是采用简单算术平均数和加权算术平均数两种形式分别计算。但无论采用哪种公式，均离不开算术平均数的基本公式。（1）简单算术平均数适用于未分组的统计资料。如果已知各单位标志值和总体单位数，可采用简单算术平均数方法计算。式中，xi

为变量值，即各单位的标志值；n为总体单位的个数，即总体单位总量；Σ为求和符号。上一页下一页返回第三节平均指标（2）加权算术平均数适用于分组的统计资料。在实际工作中，我们掌握的资料常常是已经分组整理好的变量数列，如果采用简单算术平均数的方法来计算几乎不可能。如果已知各组的变量值和变量值出现的次数，则可采用加权算术平均数计算。式中，xi

表示各组的变量值，fi

表示各组的单位数。上一页下一页返回第三节平均指标（3）算术平均数的数学性质①各标志值与其平均数的离差之和等于零。即简单算术平均数：Σ（xi-x）=0加权算术平均数：Σ（xi-x）fi=0②各标志值与算术平均数的离差平方和最小。即简单算术平均数：Σ（xi-x）2=最小值加权算术平均数：Σ（xi-x）2fi=最小值这两个基本性质是进行趋势预测、回归预测时建立数学模型的重要理论依据。上一页下一页返回第三节平均指标2.调和平均数的计算调和平均数是指各单位变量值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数。在统计工作中，调和平均数常常被作为算术平均数的变形来使用。调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种形式。（1）简单调和平均数上一页下一页返回第三节平均指标（2）加权调和平均数加权调和平均数是各组变量值倒数的加权算术平均数的倒数，在分组资料的情况下使用。上一页下一页返回第三节平均指标3.几何平均数在社会经济现象中，有些现象是按照类似于几何级数的形式变动的，如人口的自然变动；有些现象是按一定的比率变动的，如复利条件下的本利和的变动等。在计算这些现象的平均水平时，不能采用算术平均法和调和平均法，而应采用几何平均法。几何平均数是n个变量值乘积的n次方根。几何平均数适用于计算平均比率或计算平均速度指标，这是因为几何平均数的数学性质与现象发展的平均比率和平均速度形成的客观过程是一致的。几何平均数通常用xG表示。根据所掌握的资料不同，几何平均数可分为简单几何平均数和加权几何平均数。上一页下一页返回第三节平均指标（1）简单几何平均数适用于根据未分组资料来计算平均比率或平均速度。其公式如下：（2）加权几何平均数加权几何平均数适用于根据已分组资料来计算平均比率或平均速度等。其计算公式为：因几何平均数是否有单独存在的意义尚有争议，为此不再详述。上一页下一页返回第三节平均指标4.众数众数是总体中出现次数最多或最普遍的标志值。它是位置平均数，不受数列中极端变量值的影响，这是区别于算术平均数的一个重要标志。但它与算术平均数的作用一样，也可以反映总体各单位某一数量标志值的一般水平，只是精确度有所区别。例如，某班40个学生当中，20岁的有3名，19岁的有5名，18岁的有29名，17岁的有3名。由于18岁的人数最多，故18岁为该班学生年龄标志的众数，它可以代表该班学生年龄的一般水平。再如，为了掌握集市上某种商品的价格水平，可不必全面登记该商品的全部价格求其算术平均数，只用将该商品成交量最多的那个价格即众数作为代表值，就可以反映该商品价格的一般水平。众数是根据特殊位置确定的，当数列没有明显的集中趋势而趋于均匀分布时，不存在众数。上一页下一页返回第三节平均指标众数的确定，根据掌握资料的不同可采用不同的方法，一般有两种情况：（1）根据单项数列确定众数在单项数列情况下，确定众数很简单，次数最多的那一组的变量值就是众数。（2）根据组距数列确定众数在组距数列条件下，确定众数比较复杂。可以先确定众数所在组，然后运用下限公式或上限公式进行计算，以求得近似的众数。其计算公式如下。下限公式：上一页下一页返回第三节平均指标上限公式：5.中位数将总体中各单位的标志值按大小顺序排列，位于中间位置的标志值就是中位数。它与众数一样，也是位置平均数，同样不受数列中极端变量值的影响。在变量数列中，有一半单位的标志值小于中位数，另一半单位的标志值大于中位数，因而中位数也叫分割值。上一页下一页返回第三节平均指标未分组资料和分组资料都可确定中位数，根据所掌握资料的不同，分为如下两种情况。（1）根据未分组资料确定根据未分组的资料确定中位数，先把各单位的标志值按大小顺序排列，然后根据公式确定中点位置，其公式为：当变量值的个数为奇数时，中点位置所对应的变量值即为中位数；当变量值的个数为偶数时，则中点位置的前、后两个变量值的简单算术平均数即为中位数。上一页下一页返回第三节平均指标（2）根据分组资料确定根据分组资料确定中位数比较复杂。可以先用公式确定中位数的位置，并根据各组的向上（或向下）累计次数，找出中位数所在组，然后按照上限或下限公式确定中位数。下限公式：上限公式：上一页下一页返回第三节平均指标三、平均指标的应用原则在统计研究和分析中，平均指标得到了极其广泛的应用，为了保证平均指标的科学性，更好地发挥其作用，在应用时必须遵守下面几条基本原则。1.在同质总体中计算和应用平均指标同质总体是指由性质相同的同类单位构成的总体。只有在同质总体中各单位才具有共同的特征，这样才能按某一数量标志计算平均数。把性质不同的事物放在一起平均将会形成一种虚构的平均数，它会抹杀现象之间的本质差异，歪曲现象的真实情况。因此，总体的同质性是计算应用平均指标首先要注意的问题。上一页下一页返回第三节平均指标2.用组平均数补充说明总平均数平均数是在抽去局部特征和差异以后计算出来的，它给人以总体的和综合的数量概念。如果要进一步分析问题，仅仅到此是不够的，还必须计算总体内部各种类型或各部分的平均数，以配合总平均数作进一步的说明。3.用分配数列补充说明总平均数由于平均数把总体各单位的差异给掩盖了，无法反映总体各单位的分布状况。因此，对总体单位的分布状况，根据分析研究的需要，可以用分配数列补充说明总平均数，以便多视角地观察问题。上一页返回第四节标志变异指标一、标志变异指标的概念及特点标志变异指标又称标志变动度，是反映总体各单位标志值之间差异大小的综合指标。标志变异指标是和平均指标相联系的一种分析指标。平均指标可以综合反映某一数量标志的一般水平，却把各单位之间的差异抽象掉了，且平均指标本身也无法说明其代表性的大小，标志变异指标则正好弥补了这一点。如果用平均指标来说明分配数列中变量值的集中趋势，则标志变异指标可以说明变量值的离中趋势。所以在统计研究中，经常把平均指标和标志变异指标结合起来应用。二、标志变异指标的作用标志变异指标在统计分析研究中的作用是多方面的，主要有以下几点。下一页返回第四节标志变异指标1.衡量平均指标代表性的尺度平均指标作为某一数量标志值的代表值，其代表性的大小与总体内各个标志值的分散程度有密切关系。平均指标的代表性与标志变异指标的关系是：总体的标志变异指标愈大，平均指标的代表性愈小；反之，标志变异指标愈小，平均指标的代表性愈大。例如，有两个小组的统计学考试成绩，第一组的四个人分别为60分、70分、80分、90分，第二组的四个人分别为20分、80分、100分、100分。两个小组的平均成绩都是75分，但两组变量值的差异程度却明显不同。第一组的最高分和最低分相差30分，第二组却相差80分，可见第一组的平均成绩75分代表性较高，而第二组的平均成绩75分代表性较低。上一页下一页返回第四节标志变异指标2.用于研究现象的稳定性和均衡性标志变异指标可以表明生产过程的节奏性或其他经济活动过程的均衡性，说明经济管理工作的质量。例如，洪立公司两个车间某月份产品生产计划完成情况如表4-12所示。甲、乙两车间虽然都完成了全月生产计划，但两车间在执行计划的均衡性方面差异较大。甲车间各旬比较均衡，而乙车间表现为前松后紧。这为我们进一步分析提供了依据。3.统计分析的一个基本指标标志变异指标是确定抽样数目和计算抽样误差的必要依据，这部分内容将在以后的抽样推断中详述。上一页下一页返回第四节标志变异指标三、标志变异指标的种类和计算标志变异指标一般有极差、平均差、标准差和离散系数等几种，前三种的计量单位与平均指标相同，后一种是与平均指标对比，消除了原有计量单位的一种相对指标。1.极差极差又称全距，是总体各单位中最大标志值与最小标志值之差，一般用R表示。其计算公式为：极差=最大标志值-最小标志值上一页下一页返回第四节标志变异指标例如，前面所述两小组平均成绩的代表性，就是用极差进行衡量和比较的。极差测定标志变异情况很简单，但是极差只涉及极大和极小两个标志值，不是根据全部标志值计算的，容易受极端值的影响，不能充分说明各个标志值的具体变动情况，所以在应用时有较大的局限性。2.平均差平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，反映的是各标志值对其平均数的平均差异程度，但由于总体中各单位的标志值与其算术平均数的离差之和恒等于零，即Σ（xi-x）=0，故对离差取绝对值计算。平均差与极差之间的不同之处在于它考虑了总体中各单位标志值的变动影响。平均差一般用AD表示。由于掌握的资料不同，其计算方法有简单和加权两种形式。上一页下一页返回第四节标志变异指标（1）简单平均差在资料未分组情况下采用简单平均法，其计算公式为：（2）加权平均差在分组资料的条件下，则采用加权平均法，其计算公式为：上一页下一页返回第四节标志变异指标3.标准差标准差是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，又称为均方差。它是测定标志变动程度的最主要的指标。标准差的实质与平均差基本相同，只是在数学处理方法上与平均差不同。平均差是用取绝对值的方法消除离差的正负号，然后用算术平均的方法求出平均离差；而标准差是用平方的方法消除离差的正负号，然后对离差的平方计算算术平均数，并开方求出标准差。标准差一般用σ表示。由于掌握的资料不同，标准差的计算也有简单和加权两种形式。上一页下一页返回第四节标志变异指标（1）简单标准差计算公式如下：（2）加权标准差计算公式如下：上一页下一页返回第四节标志变异指标4.离散系数离散系数又称变异系数，是以相对数形式表示的变异指标。它是通过变异指标中的全距、平均差或标准差与平均数对比得到的，分别称为极差系数、平均差系数和标准差系数。最为常用的是标准差系数。离散系数的应用条件是：当所对比的两个数列的性质、计量单位、水平高低不同时，就不能采用全距、平均差或标准差进行对比分析，因为它们都是绝对指标，其数值的大小不仅受各单位标志值差异程度的影响，而且受到总体单位标志值本身性质、计量单位和水平高低的影响；为了对比分析不同水平的变量数列之间标志值的变异程度，就必须消除数列计量单位和水平高低等的影响，这时就要计算标志变异指标的相对指标，即离散系数。上一页下一页返回第四节标志变异指标离散系数反映的是单位平均水平下标志值的离散程度，因而通过计算离散系数为水平高低不同的两个数列提供了对比的基础。标准差系数一般用v表示，其计算公式如下：上一页返回第五节Excel在综合指标中的应用统计数据的描述均可以利用Excel中提供的有关统计函数和公式来完成。下面就本章集中趋势、离中趋势的描述中列举的部分问题，说明如何在Excel中实现。一、集中趋势的描述描述集中趋势的统计量有：均值、众数和中位数等。在Excel中，对于未分组的资料可用统计函数计算，对于已分组的资料可以根据公式计算。下一页返回第五节Excel在综合指标中的应用1.均值均值的计算根据掌握的数据资料不同，其计算操作方法也不同。对于未分组的原始资料，可计算简单均值。例如，清大科研所8名高级科研人员的月工资分别为：2000、2100、2150、2200、2230、2300、2500、3000（单位：元），则计算操作方法为：首先将这8名高级科研人员的月工资输入A1到A8单元格内，排序不排序均可。然后利用AVERAGE函数计算平均值，可单击任一空单元格，输入“=AVERAGE（A1∶A8）”，回车确定即得到月平均工资2310元。上一页下一页返回第五节Excel在综合指标中的应用还可以利用打开函数对话框的方法来计算平均值。单击任一空单元格后，单击“插入”菜单，选择“函数”命令，打开“插入函数”对话框，如图4-1所示，选择“函数分类”里“统计”项目下的“AVERAGE函数”，单击“确定”。选定函数后进入“函数参数”设置对话框，如图4-2所示。在“Number1”中输入数据所在域“A1∶A8”，单击确定后计算结果显示在你所选定的单元格内。假定利用分组资料计算均值，可计算其加权均值。首先列出计算表，然后利用公式计算。现以表4-19所示学生数学成绩表为例，说明其操作方法。上一页下一页返回第五节Excel在综合指标中的应用首先将分组资料输入，例如，A、B两列，然后填写组中值（C列），这样我们就列出了学生数学成绩分组表，如表4-19所示。下面计算各组学生成绩，并求出总成绩。单击D2单元格，输入“=C2×B2”，回车确定后即得出第一组60分以下学生总成绩；然后利用填充柄功能，即鼠标指向D2单元格右下角小黑方块，当鼠标指针变为黑十字时，按下左键，并向下拖曳至D6单元格后放开，得出各组学生总成绩；然后单击D7单元格并输入“=SUM（D2∶D6）”，计算出学生总成绩并利用填充柄功能，计算出总人数（B7单元格）；最后单击任一空单元格，输入“=D7／B7”，确定后即得出学生的平均成绩76.4分。上一页下一页返回第五节Excel在综合指标中的应用如果已知的权数资料是各组单位数比重（频率），如表4-20所示，则需这样计算：首先计算E列，单击E2单元格，输入“=D2*C2”得2.2，再利用填充柄功能，计算E3~E6的值。最后在E7单元格输入“=SUM（E2∶E6）”，即求出平均值76.4。上一页下一页返回第五节Excel在综合指标中的应用2.调和均值简单调和均值可以用调和平均函数HARMEAN计算。例如，东莲菜市场西红柿的单价，早市每千克为2.6元，午市每千克为2.2元，晚市每千克为2.0元，如果早、中、晚各购买1元，则：单击任一单元格，输入“=HARMEAN（2.6，2.2，2.0）”，确定后，得西红柿一天的平均价格2.24元。如果掌握的资料已分组，可计算加权调和均值。以A、B、C三种商品所示资料为例，将价格和销售额输入后，如表4-21所示。其计算方法为：先计算销售量，然后单击E2单元格，输入“=D2/C2”得出A商品的销售量290件，并利用填充柄功能计算出B、C商品的销售量；上一页下一页返回第五节Excel在综合指标中的应用然后单击E5单元格，输入“=SUM（E2∶E4）”求出总销售量，并利用填充柄功能，计算出总销售额，最后单击任一空单元格，输入“=D5/E5”，即得出平均价格31.94元。3.几何平均数在Excel中，几何平均数可用函数GEOMEAN计算。例如，华商银行一笔投资的年利率按复利计算，10年的年利率分别是：3%有3年，5%有2年，8%有2年，10%有3年，单击任一单元格，输入“=GEOMEAN（1.03，1.03，1.03，1.05，1.05，1.08，1.08，1.10，1.10，1.10）”，确定后即得结果1.0646，则其平均年利率6.46%。上一页下一页返回第五节Excel在综合指标中的应用4.众数如果掌握的数据是原始资料，可利用MODE函数求众数。首先将原始数据输入Excel中，单击任一单元格，在“插入”菜单中选择“函数”，在弹出的对话框中“函数分类”里选择“统计”，在函数中选择“MODE”，即打开众数函数MODE对话框，如图4-3所示。在Number1中输入原始数据所在的单元格区域，单击确定即可。如果掌握的数据是分组资料，可用公式求众数。我们以下图为例，数据输入后，如表4-22所示。上一页下一页返回第五节Excel在综合指标中的应用可单击任一单元格，输入“=4000+（B4-B3）/［（B4-B3）+（B4-B5）］*1000”，确定后得出众数为4428.6。在输入的等式中，4000为众数所在组的下限，B4-B3为众数所在组的频数与前一组的频数之差，B4-B5为众数所在组的频数与后一组的频数之差，1000为众数组组距。5.中位数中位数的计算比较简单，如果利用原始数据计算，可对原始数据排序，按照确定中位数的公式确定中位数的位置，然后再根据确定的位置找出或计算出中位数的数值即可。如果掌握的是分组资料，可用公式计算中位数。上一页下一页返回第五节Excel在综合指标中的应用仍以表4-22为例，可采取以下步骤：首先确定包含中位数的组。根据总频数的一半（即200）以及累计频数，可知中位数在“4000~5000”这个组内。然后单击任一空单元格，输入“=4000+（B7/2-130）*1000/B4”，式中4000为中位数所在组的下限，B7为总频数，130为小于中位数所在组下限的累计次数，1000为中位数所在组的组距，B4为中位数所在组的次数。确定后就得到中位数4350元。上一页下一页返回第五节Excel在综合指标中的应用二、离中