二次根式及其性质课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.1二次根式及其性质第十九章二次根式第1课时2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，正数的正的平方根叫作它的算术平方根.其中0的算术平方根是0.

用(a≥0)表示.

一般地，若一个数的平方等于a，则这个数叫作a的平方根.a的平方根是(a≥0).(1)如果x2=9，那么x=

.(2)如果x2=5，那么x=

.(3)如果x2=a（a≥0），那么x=

.(4)13的平方根是

，13的算术平方根是

.3.平方根有什么性质？

正数有两个平方根，它们互为相反数；

0有一个平方根是0；

负数没有平方根.

4.复习巩固:1.理解二次根式的概念。2.掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围。（1）面积为3

的正方形的边长为_____，面积为S

的正方形的边长为______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5，如果用含有h的式子表示t，则t为_____．用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:（1）这些式子分别表示什么意义？分别表示3，S，65，的算术平方根．

①根指数都为2;②被开方数为非负数.（2）这些式子有什么共同特征？在前面的问题中，得到的结果分别是：，，，．

一般地，我们把形如

的式子叫作二次根式.“”称为二次根号.二次根式是代数式.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a≥0注意：a可以是数，也可以是式.提示：既可表示开平方运算,也可表示运算的结果【归纳】例1

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否（1）；（2）81；（3）；（4）;（5）;（6）；（7）.【例题】【解析】下列各式是二次根式吗?是是是是是（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）不是不是不是不是不是【跟踪训练】【例2】求下列二次根式中字母的取值范围：【解析】（1）由于被开方数是非负数，可知a+1≥0，即a≥-1.（2）由于被开方数是非负数，且分母不为零，可知1-2a>0，即a<.（3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意实数.【例题】x取何值时,下列二次根式有意义?（1）（2）x≥1x≤0（3）（4）x为全体实数x>0（5）（6）x≥0x≠0x≥-1且x≠2(7)（9）x>0x为全体实数(8)【跟踪训练】

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.【归纳】二次根式有意义的条件和非负性二次根式的定义在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集通过本课时的学习，需要我们掌握：形如的式子叫作二次根式1.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）

（2）

【解析】

（2）由

≥0且3-a≠0得，a<3.

所以当a<3时，

在实数范围内有意义.（1）由a-1≥0得，a≥1.

所以当a≥1时，

在实数范围内有意义.2．下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【解析】A中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A不一定是二次根式；B中当x≥0时是二次根式，故B不一定是二次根式；C中无论x为何值，x2+2＞0，所以C一定是二次根式；D中当﹤x﹤时，不是二次根式，所以D也不正确.C【解析】3．若是二次根式，则这个二次根式是______.由题意是二次根式，则这个二次根式的根指数m-3=2，故m=5,所以此二次根式应该是4.使有意义的x取值范围是_______.

【解析】要使式子有意义，要满足x-2≥0，解得x≥2.x≥25.已知实数x,y满足等式，求x2-2xy+y2的值.【解析】

由题意得

解得：x=3.把x=3,代入得y=-5.所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64.19.1二次根式第2课时1.求下列各式的值，没有请说明理由

（1）=（2）=（3）=（4）=

20无，负数没有算术平方根2.二次根式的定义:3.二次根式有意义的条件:

1.掌握和应用二次根式的性质≥0（a≥0）、（）2=a（a≥0）和=a（a≥0）.2.熟练应用二次根式性质求二次根式的值1.求下列各式的值，没有请说明理由

（1）=（2）=（3）=（4）=

20无，负数没有算术平分根

二次根式的双重非负性，首先a≥0，二次根式的被开方数（式）非负；其次≥0，即二次根式的值非负【归纳】

≥0（a≥0）

400.01【归纳】一般地，

【例题】【跟踪训练】利用算术平方根的意义填空：22550

丨a丨【归纳】一般地，

【例2】化简：【例题】【解析】【跟踪训练】1.求下列各式的值.

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2.从取值范围来看,

a≥0a取任何实数1:从运算顺序来看,先开方,后平方先平方,后开方3.从运算结果来看:

【归纳提升】

=a(a≥0)；

二次根式的性质二次根式的双重非负性

通过本课时的学习，需要我们掌握：1.填空：（）；（）.3-0.022.计算：（1）（2）

（2）

【解析】

3.计算：

（1）