高校自主招生数学压轴卷

高校自主招生数学压轴卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

试标题:高校自主招生数学压轴卷

一、选择题

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-(a+1)x+a=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为

A.{1,2}B.{0,1}C.{1}D.{0,1,2}

2.函数f(x)=|x+1|+|x-1|的最小值为

A.0B.1C.2D.3

3.若复数z满足|z|=1，且z^5=1，则z^2019的值为

A.1B.-1C.iD.-i

4.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=39，则a_6+a_10+a_14的值为

A.57B.63C.69D.75

5.已知函数f(x)=sin^2x+cos^2x+2sinx·cosx，则f(x)的最小正周期为

A.π/2B.πC.2πD.4π

6.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和为7的概率为

A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18

7.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆心到直线3x-4y-5=0的距离为

A.1B.2C.3D.4

8.函数g(x)=log_a(x+3)-1(a>0且a≠1)的图像关于y轴对称，则a的值为

A.2B.1/2C.3D.1/3

9.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-bc，则角A的大小为

A.30°B.45°C.60°D.90°

10.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1(n∈N*)，则a_10的值为

A.1023B.1024C.2047D.2048

11.若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为M，则M的值为

A.8B.10C.12D.14

12.已知点A(1,2)和B(3,0)在直线l上，则直线l的方程为

A.x-y-1=0B.x+y-3=0C.x-y+1=0D.x+y+1=0

13.已知函数h(x)=tan(x+π/4)，则h(x)的图像在y轴上的截距为

A.1B.-1C.0D.不存在

14.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=√3，则边b的值为

A.1B.√2C.2D.√3

15.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0垂直，则实数a的值为

A.-2B.1C.2D.-1

二、填空题

1.已知函数f(x)=2^x-1，则f^{-1}(3)的值为__________。

2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=162，则b_1的值为__________。

3.已知直线l1:y=kx+1与直线l2:y=-x+4相交于点P，且∠OPP'=45°，则k的值为__________。

4.若复数z=1+i，则|z^3|的值为__________。

5.函数g(x)=sin(x+π/3)-cos(x-π/6)的最小正周期为__________。

6.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=2，则边c的值为__________。

7.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，则圆C上到直线x-y+5=0距离最远的点的坐标为__________。

8.函数h(x)=x^2-2x+3在区间[1,3]上的最小值为__________。

9.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+3(n∈N*)，则c_5的值为__________。

10.在直角坐标系中，点A(1,2)和B(3,0)关于直线l对称，则直线l的方程为__________。

三、多选题

1.已知函数f(x)=x^3-ax+1，若f(x)在x=1处取得极值，则a的可能取值为

A.3B.2C.1D.0

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2=b^2+c^2-bc，则△ABC可能是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

3.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n-2(n∈N*)，则下列说法正确的有

A.{a_n}是等比数列B.{a_n}是等差数列C.a_n=3^n-2D.a_n=2·3^n-1

4.已知函数g(x)=|x-1|+|x+2|，则下列说法正确的有

A.g(x)的最小值为3B.g(x)的图像关于x=-1.5对称C.g(x)在(-∞,-2]上单调递减D.g(x)在[-2,1]上单调递减

5.已知直线l1:y=kx+1与直线l2:y=-x+4相交于点P，且∠OPP'=45°，则下列说法正确的有

A.k=1B.k=-1C.P在圆x^2+y^2=5上D.P在直线x+y=5上

四、判断题

1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在该区间上一定存在最大值。

2.已知集合A={x|sinx=1}，B={x|cosx=-1}，则A∪B={π/2}。

3.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z=2(cos(π/3)+isin(π/3))。

4.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_10=20，则a_6+a_7+a_8+a_9=40。

5.函数f(x)=tan(x+π/4)的图像关于点(π/4,0)中心对称。

6.若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。

7.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则圆C的面积是9π。

8.函数g(x)=log_2(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增。

9.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=75°。

10.已知数列{b_n}满足b_n=b_{n-1}+d(n∈N*,d为常数)，则{b_n}是等差数列。

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的长度。

3.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1(n∈N*)，求a_10的值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：集合A={x|x^2-3x+2=0}={1,2}，B={x|x^2-(a+1)x+a=0}={x|(x-1)(x-a)=0}={1,a}。若B⊆A，则a=1或a=2。

2.C

解析：f(x)=|x+1|+|x-1|表示数轴上点x到-1和1的距离之和，最小值为2，当x在[-1,1]之间时取到。

3.B

解析：z^5=1的解为z=1,ω,ω^2,ω^3,ω^4，其中ω=e^2πi/5=-1/2+i√3/2。z^2019=(z^5)^403·z^4=z^4=-1。

4.B

解析：由等差数列性质，a_5=a_1+4d，a_9=a_1+8d，a_1+a_5+a_9=3a_1+12d=39，则a_6+a_10+a_14=3a_1+30d=3(a_1+10d)=63。

5.B

解析：f(x)=sin^2x+cos^2x+2sinx·cosx=1+sin(2x)，周期为π。

6.A

解析：总情况36种，点数和为7的情况(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，概率为6/36=1/6。

7.A

解析：圆心(1,-2)，直线3x-4y-5=0，距离d=|3·1-4·(-2)-5|/√(3^2+4^2)=1。

8.A

解析：g(x)关于y轴对称，则log_a(-x)-1=log_a(x)-1，即log_a(-x)=log_a(x)，-x=x，a=2。

9.C

解析：a^2=b^2+c^2-bc=b^2+c^2-2bc·cosA，故cosA=1/2，A=60°。

10.A

解析：a_n=2^n-1，a_10=1023。

11.B

解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=1，f(1)=-1，f(2)=3，最大值3，最小值-1，M=4。

12.A

解析：斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，方程y-2=-1(x-1)，即x+y-3=0。

13.C

解析：h(x)=tan(x+π/4)，x=0时，h(0)=tan(π/4)=1。

14.B

解析：由正弦定理，b=a·sinB/sinA=√3·√2/2/√3/2=√2。

15.D

解析：l1⊥l2，则a(a+1)=-2，a^2+a+2=0，(a+2)(a-1)=0，a=-2或a=1。当a=1时，l1与l2重合，舍去，故a=-1。

二、填空题答案及解析

1.3

解析：f^{-1}(3)即f(x)=3，2^x-1=3，2^x=4，x=2。

2.2

解析：b_2=b_1·q=6，b_4=b_1·q^3=162，q=3，b_1=2。

3.-1

解析：P在第一象限，设P(x,y)，OP=√(x^2+y^2)，PP'=√(x^2+y^2)，由∠OPP'=45°得x=y，联立l1和l2，解得P(3/5,3/5)，故k=-1。

4.8

解析：|z^3|=|z|^3=|1+i|^3=√2^3=8。

5.2π

解析：g(x)=√3/2·sinx+1/2·cosx+1/2·cosx+√3/2·sinx=√3·sin(x+π/6)+1，周期为2π。

6.2√3

解析：由正弦定理，c=a·sinC/sinA=2·sin120°/sin30°=2·√3/2/1/2=2√3。

7.(3+√2,2+√2)

解析：圆心(2,3)，直线距离d=|2-3+5|/√2=4/√2=2√2，最远点在直线方向上延长，方向向量为(1,-1)，单位向量(√2/2,-√2/2)，最远点(2+2√2,3-2√2)=(3+√2,2+√2)。

8.2

解析：h(x)=(x-1)^2+2，最小值为2，当x=1时取到。

9.35

解析：c_n=2^n-1，c_5=32-1=31。

10.x-y+1=0

解析：AB中点(2,1)，斜率为-1/1=-1，方程y-1=-1(x-2)，即x-y+1=0。

三、多选题答案及解析

1.AB

解析：f'(x)=3x^2-2x，f'(1)=1-2=-1，故x=1处有极小值，a=1。若a=3，f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=-3，x=1处有极大值。

2.AB

解析：a^2=b^2+c^2-bc=b^2+c^2-2bc·cosA，cosA=1/2，A=60°，△ABC为锐角三角形。若b=c，△ABC为等腰三角形。

3.BD

解析：a_{n+1}-a_n=3a_n-2-a_n=2(a_n-1)，故a_{n+1}-1=2(a_n-1)，是首项为0，公比为2的等比数列，a_n-1=2^{n-1}，a_n=2^n-1。

4.AC

解析：g(x)=|x-1|+|x+2|，分段(∞,-2],[-2,1],[1,+∞)，分别g(x)=-x+1-x-2=-2x-1，g(x)=-x+1+x+2=3，g(x)=x-1+x+2=2x+1，最小值为3。图像关于x=-1.5对称。在(-∞,-2]上g(x)=-2x-1单调递减，在[-2,1]上g(x)=3单调不变。

5.BC

解析：由∠OPP'=45°，P在以O为圆心，OP为半径的圆上，x^2+y^2=5。联立l1和l2，(kx+1)y=-x+4，k^2x^2+(2k-1)xy-x+4=0，P(x,y)在圆上，x^2+y^2=5。若k=1，方程x+y-3=0，联立圆方程，(x+4y-12)=0，判别式Δ>0，有交点。若k=-1，方程-x-y+1=0，联立圆方程，(2x+y-6)=0，判别式Δ>0，有交点。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：f(x)在区间I上单调递增，若I为开区间，可能无最值，如f(x)=x在(0,1)上单调递增，无最值。

2.错误

解析：A={...,-2π,-π,π/2,2π,...}，B={...,-3π/2,3π/2,...}，A∪B={...,-3π/2,-π,π/2,3π/2,...}。

3.正确

解析：|z|=2，argz=π/3，z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=1+√3i。

4.正确

解析：a_6+a_7+a_8+a_9=a_1+5d+a_1+6d+a_1+7d+a_1+8d=4a_1+26d=4(a_1+6d)=4a_7=4·10=40。

5.正确

解析：f(x)=tan(x+π/4)，图像向左平移π/4个单位，关于(π/4,0)中心对称。

6.正确

解析：事件A和事件B互斥，即A∩B=∅，P(A∪B)=P(A)+P(B)。

7.错误

解析：圆面积πr^2=π·3^2=9π，圆周长2πr=6π。

8.正确

解析：g(x)=log_2(x+1)，x+1>0，定义域(-1,+∞)，g'(x)=1/(x+1)·log_2e>0，单调递增。

9.错误

解析：A=60°，B=45°，C=180°-(60°+45°)=75°。

10.正确

解析：b_n-b_{n-1}=d，是等差数列定义。

五、问答题答案及解析

1.解：f(x)=x^3-3x^2+2x，f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x)+2=3(x-1)^2-1。令