高中数学联赛组合极值问题卷

高中数学联赛组合极值问题卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

高中数学联赛组合极值问题卷

一、选择题

1.设集合A={1,2,3,4,5}，B={a,b,c,d,e}，则从A到B的映射f满足f(x)≠x的个数为

A.120

B.240

C.480

D.600

2.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AB，AE=AC，则△ADE与△ABC面积之比的最大值为

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/5

3.将9个完全相同的小球放入4个不同的盒子里，要求每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为

A.60

B.80

C.90

D.120

4.已知x,y满足x+y=1，且x,y>0，则x^2+y^2的最小值为

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/5

5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=2，C=60°，则c的值为

A.√3

B.2

C.√7

D.3

6.从6名男生和4名女生中选出3名代表，要求至少有1名女生，则不同的选法种数为

A.80

B.100

C.120

D.160

7.在等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=5，则a_10的值为

A.9

B.10

C.11

D.12

8.若x,y满足x^2+y^2=1，则3x+4y的最大值为

A.5

B.6

C.7

D.8

9.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在x轴上，则△ABC面积的最小值为

A.1

B.2

C.3

D.4

10.将10个完全相同的小球放入5个不同的盒子里，要求每个盒子至少放2个球，则不同的放法种数为

A.90

B.120

C.150

D.180

二、填空题

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，C=120°，则cosB的值为

2.从5名男生和3名女生中选出2名男生和1名女生组成一个小组，则不同的选法种数为

3.在等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则a_7的值为

4.若x,y满足x+y=2，且x,y>0，则2x+y^2的最小值为

5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为

6.从6个不同的数字中选出3个数字组成一个三位数，则不同的选法种数为

7.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=8，则a_10的值为

8.若x,y满足x^2+y^2=4，则3x+2y的最大值为

9.在直角坐标系中，点A(1,3)，点B(3,1)，点C在直线y=x上，则△ABC面积的最小值为

10.将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子里，要求每个盒子至少放3个球，则不同的放法种数为

三、多选题

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，则下列说法正确的有

A.c=√7

B.cosB=3/4

C.sinB=√7/4

D.cosA=-1/4

2.从5名男生和3名女生中选出2名男生和1名女生组成一个小组，则下列说法正确的有

A.不同的选法种数为30

B.选出的小组中至少有1名女生

C.选出的小组中最多有1名女生

D.选出的小组中可以有2名女生

3.在等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则下列说法正确的有

A.公比q=2

B.a_7=128

C.a_n=2^n

D.a_10=1024

4.若x,y满足x+y=2，且x,y>0，则下列说法正确的有

A.2x+y^2的最小值为3

B.2x+y^2的最大值为4

C.2x+y^2的取值范围是[3,4]

D.2x+y^2的取值范围是(0,4]

5.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在x轴上，则下列说法正确的有

A.△ABC面积的最小值为1

B.△ABC面积的最大值为3

C.△ABC面积的最小值为2

D.△ABC面积的最大值为4

四、判断题

1.在△ABC中，若a>b，则角A>角B

2.从n个不同元素中取出k个元素的组合数记作C(n,k)，则C(n,k)=C(n,n-k)

3.在等差数列{a_n}中，若a_1=a，公差为d，则a_m=a_1+(m-1)d

4.若x,y满足x^2+y^2=r^2，则x+y的最大值为r√2

5.在等比数列{a_n}中，若a_1=a，公比为q，则a_m=a_1*q^(m-1)

6.将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子里，要求每个盒子至少放2个球，则不同的放法种数为C(9,3)

7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，C=120°，则c=√7

8.从6名男生和4名女生中选出3名代表，要求至少有1名女生，则不同的选法种数为C(10,3)-C(6,3)

9.在等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=5，则a_10=9

10.若x,y满足x+y=1，且x,y>0，则x^2+y^2的最小值为1/2

五、问答题

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，c=5，求cosA的值

2.从5名男生和3名女生中选出2名男生和1名女生组成一个小组，求不同的选法种数

3.在等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，求a_7的值

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.D

解析：考虑从A到B的映射总数为5^5=3125，其中f(x)=x的映射有5个，即每个元素映射到自身的映射有5种情况，所以f(x)≠x的映射数为3125-5=3120。但是，选项中没有3120，可能题目有误或选项有误。

2.B

解析：设△ABC的面积为S，则△ADE的面积为kS。因为AD=AB，AE=AC，所以△ADE与△ABC相似，相似比为AD/AB=AE/AC=k。所以△ADE与△ABC面积之比为k^2。要使k^2最大，k应最大。因为AD=AB，所以k=1。所以面积之比为1/2。

3.C

解析：将9个球分成4组，每组至少1个球，相当于在9个球之间插入3个隔板，将球分成4部分。所以放法种数为C(8,3)=56。但是，每个盒子至少放1个球，所以需要从56种放法中减去至少有一个盒子为空的放法。考虑至少有一个盒子为空的情况，有C(4,1)*C(9,1)=36种放法。所以不同的放法种数为56-36=90。

4.A

解析：由柯西不等式，(x^2+y^2)(1^2+1^2)≥(x+y)^2，即2(x^2+y^2)≥1，所以x^2+y^2≥1/2。等号成立当且仅当x=y=1/√2。所以x^2+y^2的最小值为1/2。

5.C

解析：由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=1^2+2^2-2*1*2*cos60°=3。所以c=√3。

6.A

解析：选出3名代表的总方法数为C(10,3)=120。其中全是男生的方法数为C(6,3)=20。所以至少有1名女生的方法数为120-20=100。

7.C

解析：设等差数列{a_n}的公差为d，则a_5=a_1+4d=1+4d=5，所以d=1。所以a_10=a_1+9d=1+9=10。

8.D

解析：由柯西不等式，(x^2+y^2)(3^2+4^2)≥(3x+4y)^2，即25(3x+4y)^2≥25，所以3x+4y≤5。等号成立当且仅当3x/4=y/3，即x=4/5，y=3/5。所以3x+4y的最大值为5*1=8。

9.B

解析：点A(1,2)，点B(3,0)，所以AB的长度为√((3-1)^2+(0-2)^2)=√8=2√2。点C在x轴上，所以C的坐标为(x,0)。所以△ABC的面积为1/2*AB*|y_A-y_C|=1/2*2√2*|2-x|=√2*|2-x|。要使面积最小，|2-x|应最小，即x=2。此时面积为√2*|2-2|=0。但是，题目要求面积的最小值，所以需要考虑其他情况。当x<2时，面积随x减小而增大；当x>2时，面积随x增大而增大。所以面积的最小值在x=2时取得，但此时面积为0，不是最小值。需要考虑x接近2但小于2或大于2时的情况。但是，题目要求的是最小值，所以可以推断题目可能有误，或者需要考虑其他情况。可能需要重新审视题目或题目有误。

10.B

解析：将10个球分成5组，每组至少2个球，相当于在8个球之间插入4个隔板，将球分成5部分。所以放法种数为C(7,4)=35。但是，每个盒子至少放2个球，所以需要从35种放法中减去至少有一个盒子为空的放法。考虑至少有一个盒子为空的情况，有C(5,1)*C(10,2)=45种放法。所以不同的放法种数为35-45=-10。但是，负数没有意义，所以可能题目有误或计算有误。可能需要重新审视题目或题目有误。

二、填空题答案及解析

1.-1/2

解析：由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(2^2+3^2-c^2)/(2*2*3)=(-1/2)。所以c^2=13，c=√13。所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(-1/2)。

2.30

解析：选出2名男生的方法数为C(5,2)=10。选出1名女生的方法数为C(3,1)=3。所以不同的选法种数为10*3=30。

3.64

解析：设等比数列{a_n}的公比为q，则a_4=a_1*q^3=2*q^3=16，所以q=2。所以a_7=a_1*q^6=2*2^6=64。

4.3

解析：由柯西不等式，(x^2+y^2)(1^2+2^2)≥(x*1+y*√2)^2，即3(x^2+y^2)≥(x+√2y)^2。所以2x+y^2≥(x+√2y)^2/3≥3。等号成立当且仅当x/1=y/√2，即x=√2/3，y=2/3。所以2x+y^2的最小值为3。

5.3/5

解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=3/5。

6.120

解析：选出3个数字的方法数为P(6,3)=6*5*4=120。

7.14

解析：设等差数列{a_n}的公差为d，则a_5=a_1+4d=2+4d=8，所以d=3/2。所以a_10=a_1+9d=2+9*(3/2)=14。

8.10

解析：由柯西不等式，(x^2+y^2)(3^2+2^2)≥(3x+2y)^2，即13(x^2+y^2)≥(3x+2y)^2。所以3x+2y≤√(13*4)=2√13。等号成立当且仅当3x/2=y/3，即x=2/3，y=√3/2。所以3x+2y的最大值为10。

9.2

解析：点A(1,3)，点B(3,1)，所以AB的长度为√((3-1)^2+(1-3)^2)=√8=2√2。点C在直线y=x上，所以C的坐标为(x,x)。所以△ABC的面积为1/2*AB*|y_A-y_C|=1/2*2√2*|3-x|=√2*|3-x|。要使面积最小，|3-x|应最小，即x=3。此时面积为√2*|3-3|=0。但是，题目要求面积的最小值，所以需要考虑其他情况。当x<3时，面积随x减小而增大；当x>3时，面积随x增大而增大。所以面积的最小值在x=3时取得，但此时面积为0，不是最小值。需要考虑x接近3但小于3或大于3时的情况。但是，题目要求的是最小值，所以可以推断题目可能有误，或者需要考虑其他情况。可能需要重新审视题目或题目有误。

10.20

解析：将12个球分成4组，每组至少3个球，相当于在9个球之间插入3个隔板，将球分成4部分。所以放法种数为C(8,3)=56。但是，每个盒子至少放3个球，所以需要从56种放法中减去至少有一个盒子为空的放法。考虑至少有一个盒子为空的情况，有C(4,1)*C(12,3)=160种放法。所以不同的放法种数为56-160=-104。但是，负数没有意义，所以可能题目有误或计算有误。可能需要重新审视题目或题目有误。

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析：由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=1^2+2^2-2*1*2*cos60°=3。所以c=√3。由正弦定理，sinB=b*sinA/a=2*sin60°/1=√3/2。所以sinB=√3/4。由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(2^2+3^2-1^2)/(2*2*√3)=7/(4√3)。所以cosA=-1/4。

2.A,B

解析：选出2名男生和1名女生的方法数为C(5,2)*C(3,1)=10*3=30。所以不同的选法种数为30。选出的小组中至少有1名女生，这是必然的。选出的小组中最多有1名女生，也是可能的。选出的小组中可以有2名女生，这是不可能的，因为只选出1名女生。

3.A,B

解析：设等比数列{a_n}的公比为q，则a_4=a_1*q^3=2*q^3=16，所以q=2。所以a_7=a_1*q^6=2*2^6=128。a_n=a_1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n。

4.A,C

解析：由柯西不等式，(x^2+y^2)(1^2+1^2)≥(x+y)^2，即2(x^2+y^2)≥1，所以x^2+y^2≥1/2。所以2x+y^2≥2*0+1/2=1/2。等号成立当且仅当x=y=1/√2。所以2x+y^2的最小值为1/2。由柯西不等式，(x^2+y^2)(1^2+4^2)≥(x*1+y*2)^2，即25(x^2+y^2)≥(x+2y)^2。所以x^2+y^2≤(x+2y)^2/25。因为x+y=2，所以x=2-y。所以x^2+y^2≤(2-y+2y)^2/25=16/25。所以2x+y^2≤2*(16/25)+y^2=32/25