高中数学竞赛基础容斥原理卷

高中数学竞赛基础容斥原理卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高中一年级数学竞赛班

高中数学竞赛基础容斥原理卷

一、选择题

1.设集合A包含10个元素，集合B包含8个元素，集合A与B的交集包含3个元素，那么集合A与B的并集包含多少个元素？

A.13

B.14

C.15

D.16

2.已知集合M包含12个元素，集合N包含9个元素，且M与N的并集包含15个元素，那么M与N的交集包含多少个元素？

A.3

B.4

C.5

D.6

3.设集合X包含20个元素，集合Y包含15个元素，集合Z包含10个元素，且X与Y的并集包含28个元素，X与Z的并集包含25个元素，Y与Z的并集包含22个元素，那么X、Y、Z三个集合的并集包含多少个元素？

A.35

B.36

C.37

D.38

4.已知集合P包含15个元素，集合Q包含10个元素，集合R包含8个元素，且P与Q的交集包含5个元素，Q与R的交集包含3个元素，P与R的交集包含4个元素，那么P、Q、R三个集合的并集包含多少个元素？

A.22

B.23

C.24

D.25

5.设集合S包含18个元素，集合T包含12个元素，集合U包含9个元素，且S与T的并集包含24个元素，S与U的并集包含21个元素，T与U的并集包含15个元素，那么S、T、U三个集合的并集包含多少个元素？

A.27

B.28

C.29

D.30

6.已知集合V包含14个元素，集合W包含11个元素，集合X包含7个元素，且V与W的交集包含6个元素，W与X的交集包含4个元素，V与X的交集包含3个元素，那么V、W、X三个集合的并集包含多少个元素？

A.19

B.20

C.21

D.22

7.设集合A包含16个元素，集合B包含10个元素，集合C包含8个元素，且A与B的并集包含22个元素，B与C的并集包含14个元素，A与C的并集包含18个元素，那么A、B、C三个集合的并集包含多少个元素？

A.24

B.25

C.26

D.27

8.已知集合M包含13个元素，集合N包含9个元素，集合P包含6个元素，且M与N的交集包含4个元素，N与P的交集包含3个元素，M与P的交集包含2个元素，那么M、N、P三个集合的并集包含多少个元素？

A.18

B.19

C.20

D.21

9.设集合X包含17个元素，集合Y包含11个元素，集合Z包含7个元素，且X与Y的并集包含25个元素，Y与Z的并集包含16个元素，X与Z的并集包含19个元素，那么X、Y、Z三个集合的并集包含多少个元素？

A.26

B.27

C.28

D.29

10.已知集合P包含19个元素，集合Q包含14个元素，集合R包含10个元素，且P与Q的交集包含7个元素，Q与R的交集包含5个元素，P与R的交集包含6个元素，那么P、Q、R三个集合的并集包含多少个元素？

A.26

B.27

C.28

D.29

二、填空题

1.设集合A包含12个元素，集合B包含8个元素，集合C包含6个元素，且A与B的交集包含4个元素，B与C的交集包含3个元素，C与A的交集包含2个元素，A、B、C三个集合的并集包含多少个元素？

2.已知集合M包含15个元素，集合N包含10个元素，集合P包含7个元素，且M与N的并集包含23个元素，N与P的并集包含14个元素，P与M的并集包含18个元素，M、N、P三个集合的交集包含多少个元素？

3.设集合X包含20个元素，集合Y包含14个元素，集合Z包含10个元素，且X与Y的交集包含8个元素，Y与Z的交集包含5个元素，Z与X的交集包含4个元素，X、Y、Z三个集合的并集包含多少个元素？

4.已知集合A包含13个元素，集合B包含9个元素，集合C包含7个元素，且A与B的并集包含21个元素，B与C的并集包含12个元素，C与A的并集包含16个元素，A、B、C三个集合的交集包含多少个元素？

5.设集合P包含17个元素，集合Q包含11个元素，集合R包含8个元素，且P与Q的交集包含6个元素，Q与R的交集包含3个元素，R与P的交集包含4个元素，P、Q、R三个集合的并集包含多少个元素？

6.已知集合M包含19个元素，集合N包含13个元素，集合P包含9个元素，且M与N的并集包含27个元素，N与P的并集包含15个元素，P与M的并集包含22个元素，M、N、P三个集合的交集包含多少个元素？

7.设集合X包含18个元素，集合Y包含12个元素，集合Z包含8个元素，且X与Y的交集包含7个元素，Y与Z的交集包含4个元素，Z与X的交集包含3个元素，X、Y、Z三个集合的并集包含多少个元素？

8.已知集合A包含16个元素，集合B包含10个元素，集合C包含6个元素，且A与B的并集包含24

个元素，B与C的并集包含14个元素，C与A的并集包含18个元素，A、B、C三个集合的交集包含多少个元素？

9.设集合P包含15个元素，集合Q包含9个元素，集合R包含7个元素，且P与Q的交集包含5个元素，Q与R的交集包含3个元素，R与P的交集包含4个元素，P、Q、R三个集合的并集包含多少个元素？

10.已知集合M包含20个元素，集合N包含14个元素，集合P包含10个元素，且M与N的交集包含8个元素，N与P的交集包含5个元素，P与M的交集包含6个元素，M、N、P三个集合的并集包含多少个元素？

三、多选题

1.设集合A包含10个元素，集合B包含8个元素，集合C包含6个元素，且A与B的交集包含3个元素，B与C的交集包含2个元素，C与A的交集包含1个元素，那么A、B、C三个集合的并集包含多少个元素？

A.15

B.16

C.17

D.18

2.已知集合M包含12个元素，集合N包含9个元素，集合P包含7个元素，且M与N的并集包含20个元素，N与P的并集包含14个元素，P与M的并集包含17个元素，那么M、N、P三个集合的交集包含多少个元素？

A.3

B.4

C.5

D.6

3.设集合X包含18个元素，集合Y包含12个元素，集合Z包含8个元素，且X与Y的并集包含26个元素，Y与Z的并集包含16个元素，Z与X的并集包含20个元素，那么X、Y、Z三个集合的并集包含多少个元素？

A.27

B.28

C.29

D.30

4.已知集合A包含15个元素，集合B包含10个元素，集合C包含7个元素，且A与B的并集包含22个元素，B与C的并集包含13个元素，C与A的并集包含18个元素，那么A、B、C三个集合的交集包含多少个元素？

A.4

B.5

C.6

D.7

5.设集合P包含17个元素，集合Q包含11个元素，集合R包含8个元素，且P与Q的并集包含25个元素，Q与R的并集包含15个元素，R与P的并集包含19个元素，那么P、Q、R三个集合的并集包含多少个元素？

A.26

B.27

C.28

D.29

6.已知集合M包含19个元素，集合N包含13个元素，集合P包含9个元素，且M与N的并集包含27个元素，N与P的并集包含16个元素，P与M的并集包含23个元素，那么M、N、P三个集合的并集包含多少个元素？

A.24

B.25

C.26

D.27

7.设集合X包含18个元素，集合Y包含12个元素，集合Z包含8个元素，且X与Y的并集包含26个元素，Y与Z的并集包含16个元素，Z与X的并集包含20个元素，那么X、Y、Z三个集合的并集包含多少个元素？

A.27

B.28

C.29

D.30

8.已知集合A包含16个元素，集合B包含10个元素，集合C包含6个元素，且A与B的并集包含24个元素，B与C的并集包含14个元素，C与A的并集包含18个元素，那么A、B、C三个集合的并集包含多少个元素？

A.22

B.23

C.24

D.25

9.设集合P包含15个元素，集合Q包含9个元素，集合R包含7个元素，且P与Q的并集包含23个元素，Q与R的并集包含13个元素，R与P的并集包含17个元素，那么P、Q、R三个集合的并集包含多少个元素？

A.21

B.22

C.23

D.24

10.已知集合M包含20个元素，集合N包含14个元素，集合P包含10个元素，且M与N的并集包含28个元素，N与P的并集包含18个元素，P与M的并集包含24

四、判断题

1.如果集合A包含5个元素，集合B包含7个元素，那么集合A与B的并集最多包含12个元素。

2.根据容斥原理，对于任意三个集合A、B、C，有|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|。

3.如果集合M包含10个元素，集合N包含8个元素，集合M与N的交集包含3个元素，那么集合M与N的并集包含15个元素。

4.对于任意两个集合X和Y，如果|X|=5，|Y|=6，那么|X∪Y|=11或10。

5.容斥原理只能用于计算两个集合的并集的元素个数。

6.如果集合P包含9个元素，集合Q包含7个元素，集合P与Q的并集包含14个元素，那么集合P与Q的交集包含2个元素。

7.对于任意三个集合A、B、C，有|A∪B∪C|≤|A|+|B|+|C|。

8.如果集合X包含12个元素，集合Y包含10个元素，集合Z包含8个元素，且X与Y的并集包含18个元素，Y与Z的并集包含14个元素，Z与X的并集包含16个元素，那么X、Y、Z三个集合的并集包含至少27个元素。

9.根据容斥原理，对于任意两个集合M和N，有|M∪N|=|M|+|N|−|M∩N|。

10.如果集合A包含15个元素，集合B包含10个元素，集合C包含5个元素，且A与B的并集包含20个元素，B与C的并集包含12个元素，C与A的并集包含14个元素，那么A、B、C三个集合的并集包含至少25个元素。

五、问答题

1.已知集合X包含20个元素，集合Y包含14个元素，集合Z包含10个元素，且X与Y的交集包含8个元素，Y与Z的交集包含5个元素，Z与X的交集包含4个元素，X与Y与Z的交集包含2个元素，求X、Y、Z三个集合的并集包含多少个元素。

2.设集合M包含18个元素，集合N包含12个元素，集合P包含9个元素，且M与N的并集包含25个元素，N与P的并集包含15个元素，P与M的并集包含19个元素，M与N与P的并集包含22个元素，求M、N、P三个集合的交集包含多少个元素。

3.如果集合A包含16个元素，集合B包含10个元素，集合C包含7个元素，且A与B的并集包含23个元素，B与C的并集包含13个元素，C与A的并集包含16个元素，A与B与C的并集包含24个元素，求A、B、C三个集合的交集包含多少个元素。

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：根据容斥原理，|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|=10+8−3=15，所以集合A与B的并集包含15个元素。

2.C

解析：根据容斥原理，|M∪N|=|M|+|N|−|M∩N|=12+9−15=6，所以M与N的交集包含6个元素。

3.B

解析：设|X∩Y|=a，|Y∩Z|=b，|Z∩X|=c，|X∩Y∩Z|=d。根据容斥原理，28=20+15−a，22=25+10−b，所以a=7，b=3。又因为28=20+10−c，所以c=2。最后，由于27=20+14−a+2+3−d，解得d=2。所以X、Y、Z三个集合的并集包含27个元素。

4.B

解析：设|P∩Q|=a，|Q∩R|=b，|R∩P|=c，|P∩Q∩R|=d。根据容斥原理，22=15+10−a，25=10+8−b，所以a=3，b=5。又因为25=15+8−c，所以c=2。最后，由于22=15+10−3+5−2−d，解得d=3。所以P、Q、R三个集合的并集包含25个元素。

5.C

解析：设|S∩T|=a，|T∩U|=b，|U∩S|=c，|S∩T∩U|=d。根据容斥原理，24=18+12−a，15=12+9−b，所以a=6，b=3。又因为21=18+9−c，所以c=6。最后，由于27=18+12−6+3−6−d，解得d=3。所以S、T、U三个集合的并集包含27个元素。

6.D

解析：设|V∩W|=a，|W∩X|=b，|V∩X|=c，|V∩W∩X|=d。根据容斥原理，19=14+11−a，20=11+7−b，所以a=6，b=4。又因为22=14+7−c，所以c=3。最后，由于22=14+11−6+4−3−d，解得d=2。所以V、W、X三个集合的并集包含22个元素。

7.C

解析：设|A∩B|=a，|B∩C|=b，|C∩A|=c，|A∩B∩C|=d。根据容斥原理，22=16+10−a，14=10+8−b，所以a=4，b=2。又因为18=16+8−c，所以c=6。最后，由于24=16+10−4+2−6−d，解得d=2。所以A、B、C三个集合的并集包含24个元素。

8.A

解析：设|M∩N|=a，|N∩P|=b，|M∩P|=c，|M∩N∩P|=d。根据容斥原理，18=13+9−a，19=9+6−b，所以a=4，b=4。又因为20=13+6−c，所以c=3。最后，由于18=13+9−4+4−3−d，解得d=2。所以M、N、P三个集合的并集包含18个元素。

9.B

解析：设|X∩Y|=a，|Y∩Z|=b，|Z∩X|=c，|X∩Y∩Z|=d。根据容斥原理，25=18+11−a，16=11+8−b，所以a=6，b=3。又因为19=18+8−c，所以c=7。最后，由于26=18+11−6+3−7−d，解得d=3。所以X、Y、Z三个集合的并集包含26个元素。

10.D

解析：设|M∩N|=a，|N∩P|=b，|M∩P|=c，|M∩N∩P|=d。根据容斥原理，27=19+13−a，15=13+10−b，所以a=7，b=6。又因为22=19+10−c，所以c=7。最后，由于26=19+13−7+6−7−d，解得d=5。所以M、N、P三个集合的并集包含26个元素。

二、填空题

1.11

解析：根据容斥原理，|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|=12+8+6−4−3−2+1=11。

2.3

解析：根据容斥原理，|M∪N∪P|=|M|+|N|+|P|−|M∩N|−|N∩P|−|P∩M|+|M∩N∩P|=15+10+7−(23−15−10)+14−15−(18−15−10)+15−14−10=3。

3.21

解析：根据容斥原理，|X∪Y∪Z|=|X|+|Y|+|Z|−|X∩Y|−|Y∩Z|−|Z∩X|+|X∩Y∩Z|=20+14+10−8−5−4+2=21。

4.4

解析：根据容斥原理，|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|=13+9+7−21−12−16+4=4。

5.20

解析：根据容斥原理，|P∪Q∪R|=|P|+|Q|+|R|−|P∩Q|−|Q∩R|−|R∩P|+|P∩Q∩R|=17+11+8−6−3−4+2=20。

6.5

解析：根据容斥原理，|M∪N∪P|=|M|+|N|+|P|−|M∩N|−|N∩P|−|P∩M|+|M∩N∩P|=19+13+9−27−15−22+5=5。

7.17

解析：根据容斥原理，|X∪Y∪Z|=|X|+|Y|+|Z