高中数学国赛无穷递降法卷

高中数学国赛无穷递降法卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/文科班

高中数学国赛无穷递降法卷

一、选择题

1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_3的值为

A.7

B.8

C.9

D.10

2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-a_n，且b_1=1，则b_4的值为

A.15

B.16

C.17

D.18

3.设数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+n，且c_1=1，则c_5的值为

A.15

B.16

C.17

D.18

4.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=3d_n-1，则d_4的值为

A.19

B.20

C.21

D.22

5.若数列{e_n}的前n项和T_n=3^n-b_n，且e_1=2，则e_3的值为

A.23

B.24

C.25

D.26

6.设数列{f_n}满足f_n=f_{n-1}+2n，且f_1=1，则f_6的值为

A.49

B.50

C.51

D.52

7.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=4g_n+2，则g_3的值为

A.18

B.19

C.20

D.21

8.若数列{h_n}的前n项和U_n=4^n-c_n，且h_1=3，则h_2的值为

A.19

B.20

C.21

D.22

9.设数列{i_n}满足i_n=i_{n-1}+3n，且i_1=1，则i_4的值为

A.20

B.21

C.22

D.23

10.已知数列{j_n}满足j_1=2，j_n+1=5j_n-3，则j_3的值为

A.42

B.43

C.44

D.45

11.若数列{k_n}的前n项和V_n=5^n-d_n，且k_1=4，则k_4的值为

A.312

B.313

C.314

D.315

12.设数列{l_n}满足l_n=l_{n-1}+4n，且l_1=1，则l_7的值为

A.140

B.141

C.142

D.143

13.已知数列{m_n}满足m_1=1，m_n+1=6m_n+3，则m_4的值为

A.213

B.214

C.215

D.216

14.若数列{n_n}的前n项和W_n=7^n-e_n，且n_1=5，则n_3的值为

A.360

B.361

C.362

D.363

15.设数列{p_n}满足p_n=p_{n-1}+5n，且p_1=2，则p_8的值为

A.204

B.205

C.206

D.207

二、填空题

1.已知数列{q_n}满足q_1=1，q_n+1=3q_n+2，则q_3的值为

2.若数列{r_n}的前n项和S_n=2^n-q_n，且r_1=2，则r_4的值为

3.设数列{s_n}满足s_n=s_{n-1}+4n，且s_1=1，则s_6的值为

4.已知数列{t_n}满足t_1=3，t_n+1=5t_n-1，则t_3的值为

5.若数列{u_n}的前n项和T_n=4^n-s_n，且u_1=1，则u_5的值为

6.设数列{v_n}满足v_n=v_{n-1}+6n，且v_1=1，则v_9的值为

7.已知数列{w_n}满足w_1=2，w_n+1=7w_n+3，则w_4的值为

8.若数列{x_n}的前n项和U_n=3^n-t_n，且x_1=3，则x_2的值为

9.设数列{y_n}满足y_n=y_{n-1}+7n，且y_1=1，则y_5的值为

10.已知数列{z_n}满足z_1=4，z_n+1=9z_n-2，则z_3的值为

11.若数列{a_n}的前n项和V_n=6^n-y_n，且a_1=5，则a_6的值为

12.设数列{b_n}满足b_n=b_{n-1}+8n，且b_1=2，则b_10的值为

13.已知数列{c_n}满足c_1=3，c_n+1=11c_n+4，则c_5的值为

14.若数列{d_n}的前n项和W_n=8^n-c_n，且d_1=4，则d_4的值为

15.设数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+9n，且e_1=1，则e_12的值为

三、多选题

1.下列数列中，满足a_n+1=3a_n+2的是

A.a_n=3^n-1

B.a_n=2*3^n-1

C.a_n=3^n+1

D.a_n=2*3^n+1

2.下列数列中，满足b_n=b_{n-1}+4n的是

A.b_n=2n^2-2n

B.b_n=n^2+4n

C.b_n=2n^2+4n

D.b_n=n^2-4n

3.下列数列中，满足c_n+1=5c_n-1的是

A.c_n=5^n-1

B.c_n=4*5^n-1

C.c_n=5^n+1

D.c_n=4*5^n+1

4.下列数列中，满足d_n=d_{n-1}+6n的是

A.d_n=3n^2-3n

B.d_n=n^2+6n

C.d_n=3n^2+6n

D.d_n=n^2-6n

5.下列数列中，满足e_n+1=7e_n+3的是

A.e_n=7^n-1

B.e_n=6*7^n-1

C.e_n=7^n+1

D.e_n=6*7^n+1

6.下列数列中，满足f_n=f_{n-1}+8n的是

A.f_n=4n^2-4n

B.f_n=n^2+8n

C.f_n=4n^2+8n

D.f_n=n^2-8n

7.下列数列中，满足g_n+1=9g_n-2的是

A.g_n=9^n-1

B.g_n=8*9^n-1

C.g_n=9^n+1

D.g_n=8*9^n+1

8.下列数列中，满足h_n=h_{n-1}+10n的是

A.h_n=5n^2-5n

B.h_n=n^2+10n

C.h_n=5n^2+10n

D.h_n=n^2-10n

9.下列数列中，满足i_n+1=11i_n+4的是

A.i_n=11^n-1

B.i_n=10*11^n-1

C.i_n=11^n+1

D.i_n=10*11^n+1

10.下列数列中，满足j_n=j_{n-1}+12n的是

A.j_n=6n^2-6n

B.j_n=n^2+12n

C.j_n=6n^2+12n

D.j_n=n^2-12n

四、判断题

1.数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的通项公式为a_n=2^n-1。

2.数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=3b_n+2，则该数列的通项公式为b_n=3^n-1。

3.数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+n，且c_1=1，则该数列的通项公式为c_n=n(n+1)/2。

4.数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=5d_n-3，则该数列的通项公式为d_n=5^n-3。

5.数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=7e_n+3，则该数列的通项公式为e_n=7^n-1。

6.数列{f_n}满足f_n=f_{n-1}+2n，且f_1=1，则该数列的通项公式为f_n=n(n+1)。

7.数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=4g_n+2，则该数列的通项公式为g_n=4^n-1。

8.数列{h_n}满足h_1=3，h_n+1=6h_n-1，则该数列的通项公式为h_n=6^n-1。

9.数列{i_n}满足i_n=i_{n-1}+3n，且i_1=1，则该数列的通项公式为i_n=3n(n+1)/2。

10.数列{j_n}满足j_1=2，j_n+1=9j_n-2，则该数列的通项公式为j_n=9^n-1。

11.数列{k_n}满足k_n=k_{n-1}+4n，且k_1=1，则该数列的通项公式为k_n=2n^2+2n。

12.数列{l_n}满足l_n=l_{n-1}+5n，且l_1=1，则该数列的通项公式为l_n=n(n+1)(n+2)/6。

13.数列{m_n}满足m_1=1，m_n+1=8m_n+4，则该数列的通项公式为m_n=8^n-1。

14.数列{n_n}满足n_1=5，n_n+1=10n_n-1，则该数列的通项公式为n_n=10^n-1。

15.数列{p_n}满足p_n=p_{n-1}+6n，且p_1=2，则该数列的通项公式为p_n=3n^2+3n。

五、问答题

1.已知数列{q_n}满足q_1=1，q_n+1=4q_n+3，求该数列的前n项和S_n。

2.设数列{s_n}满足s_n=s_{n-1}+5n，且s_1=2，求该数列的第10项s_10的值。

3.已知数列{t_n}满足t_1=3，t_n+1=7t_n-1，求该数列的通项公式。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C解析：根据递推公式a_n+1=2a_n+1，a_1=1，则a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，所以a_3=9。

2.B解析：根据S_n=2^n-a_n，b_1=S_1-a_1=2^1-a_1=1，则b_2=S_2-a_2=2^2-a_2，又因为S_2=b_1+b_2，所以2^2-a_2=1+b_2，解得b_2=16-2^2=12，同理可得b_3=48-2^3=40，b_4=160-2^4=120，所以b_4=16。

3.C解析：根据递推公式c_n=c_{n-1}+n，c_1=1，则c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+3=6，c_4=c_3+4=10，c_5=c_4+5=15，所以c_5=17。

4.D解析：根据递推公式d_n+1=3d_n-1，d_1=2，则d_2=3d_1-1=5，d_3=3d_2-1=14，d_4=3d_3-1=41，所以d_4=22。

5.A解析：根据S_n=3^n-b_n，e_1=S_1-b_1=3^1-b_1=2，则e_2=S_2-b_2=3^2-b_2，又因为S_2=e_1+e_2，所以3^2-b_2=2+e_2，解得e_2=23-3^2=14，同理可得e_3=84-3^3=51，所以e_3=23。

6.A解析：根据递推公式f_n=f_{n-1}+2n，f_1=1，则f_2=f_1+2=3，f_3=f_2+4=7，f_4=f_3+6=13，f_5=f_4+8=21，f_6=f_5+10=31，所以f_6=49。

7.B解析：根据递推公式g_n+1=4g_n+2，g_1=1，则g_2=4g_1+2=6，g_3=4g_2+2=26，g_4=4g_3+2=106，所以g_4=19。

8.C解析：根据S_n=4^n-c_n，h_1=S_1-c_1=4^1-c_1=3，则h_2=S_2-c_2=4^2-c_2，又因为S_2=h_1+h_2，所以4^2-c_2=3+h_2，解得h_2=21-4^2=5，所以h_2=21。

9.C解析：根据递推公式i_n=i_{n-1}+3n，i_1=1，则i_2=i_1+3=4，i_3=i_2+6=10，i_4=i_3+9=19，i_5=i_4+12=31，i_6=i_5+15=46，所以i_6=22。

10.B解析：根据递推公式j_n+1=5j_n-3，j_1=2，则j_2=5j_1-3=7，j_3=5j_2-3=32，j_4=5j_3-3=157，所以j_4=43。

11.C解析：根据递推公式k_n=k_{n-1}+4n，k_1=1，则k_2=k_1+4=5，k_3=k_2+8=13，k_4=k_3+12=25，k_5=k_4+16=41，k_6=k_5+20=61，所以k_6=52。

12.D解析：根据递推公式l_n=l_{n-1}+5n，l_1=1，则l_2=l_1+5=6，l_3=l_2+10=16，l_4=l_3+15=31，l_5=l_4+20=51，l_6=l_5+25=76，l_7=l_6+30=106，l_8=l_7+35=141，l_9=l_8+40=181，所以l_9=143。

13.C解析：根据递推公式m_n+1=6m_n+3，m_1=1，则m_2=6m_1+3=9，m_3=6m_2+3=57，m_4=6m_3+3=345，所以m_4=215。

14.B解析：根据S_n=7^n-e_n，n_1=S_1-e_1=7^1-e_1=5，则n_2=S_2-e_2=7^2-e_2，又因为S_2=n_1+n_2，所以7^2-e_2=5+n_2，解得n_2=361-7^2=360，所以n_3=360。

15.A解析：根据递推公式p_n=p_{n-1}+5n，p_1=2，则p_2=p_1+5=7，p_3=p_2+10=17，p_4=p_3+15=32，p_5=p_4+20=52，p_6=p_5+25=77，p_7=p_6+30=107，p_8=p_7+35=142，所以p_8=204。

二、填空题答案及解析

1.10解析：根据递推公式q_n+1=3q_n+2，q_1=1，则q_2=3q_1+2=5，q_3=3q_2+2=17，所以q_3=10。

2.26解析：根据S_n=2^n-q_n，r_1=S_1-q_1=2^1-q_1=2，则r_2=S_2-q_2=2^2-q_2，又因为S_2=r_1+r_2，所以2^2-q_2=2+r_2，解得r_2=26-2^2=20，所以r_4=80-2^4=26。

3.55解析：根据递推公式s_n=s_{n-1}+4n，s_1=1，则s_2=s_1+4=5，s_3=s_2+8=13，s_4=s_3+12=25，s_5=s_4+16=41，s_6=s_5+20=61，所以s_6=55。

4.38解析：根据递推公式t_n+1=5t_n-1，t_1=3，则t_2=5t_1-1=14，t_3=5t_2-1=69，所以t_3=38。

5.2187解析：根据S_n=4^n-s_n，u_1=S_1-s_1=4^1-s_1=1，则u_2=S_2-s_2=4^2-s_2，又因为S_2=u_1+u_2，所以4^2-s_2=1+u_2，解得u_2=2187-4^2=2173，所以u_5=65536-2187=2187。

6.2025解析：根据递推公式v_n=v_{n-1}+6n，v_1=1，则v_2=v_1+6=7，v_3=v_2+12=19，v_4=v_3+18=37，v_5=v_4+24=61，v_6=v_5+30=91，v_7=v_6+36=127，v_8=v_7+42=169，v_9=v_8+48=217，所以v_9=2025。

7.448解析：根据递推公式w_n+1=7w_n+3，w_1=2，则w_2=7w_1+3=17，w_3=7w_2+3=122，w_4=7w_3+3=847，所以w_4=448。

8.35解析：根据S_n=3^n-t_n，x_1=S_1-t_1=3^1-t_1=3，则x_2=S_2-t_2=3^2-t_2，又因为S_2=x_1+x_2，所以3^2-t_2=3+x_2，解得x_2=35-3^2=26，所以x_2=35。

9.175解析：根据递推公式y_n=y_{n-1}+7n，y_1=1，则y_2=y_1+7=8，y_3=y_2+14=22，y_4=y_3+21=43，y_5=y_4+28=71，所以y_5=175。

10.730解析：根据递推公式z_n+1=9z_n-2，z_1=4，则z_2=9z_1-2=34，z_3=9z_2-2=304，所以z_3=730。

11.7776解析：根据S_n=6^n-y_n，a_1=S_1-y_1=6^1-y_1=5，则a_2=S_2-y_2=6^2-y_2，又因为S_2=a_1+a_2，所以6^2-y_2=5+a_2，解得a_2=7776-6^2=7770，所以a_6=46656-7776=7776。

12.4096解析：根据递推公式b_n=b_{n-1}+8n，b_1=2，则b_2=b_1+8=10，b_3=b_2+16=26，b_4=b_3+24=50，b_5=b_4+32=82，b_6=b_5+40=122，b_7=b_6+48=170，b_8=b_7+56=226，b_9=b_8+64=290，b_10=b_9+72=362，所以b_10=4096。

13.6656解析：根据递推公式c_n+1=11c_n+4，c_1=3，则c_2=11c_1+4=37，c_3=11c_2+4=411，c_4=11c_3+4=4515，所以c_4=6656。

14.6561解析：根据S_n=8^n-c_n，d_1=S_1-c_1=8^1-c_1=4，则d_2=S_2-c_2=8^2-c_2，又因为S_2=d_1+d_2，所以8^2-c_2=4+d_2，解得d_2=6561-8^2=6409，所以d_4=65536-6656=6561。

15.9216解析：根据递推公式e_n=e_{n-1}+9n，e_1=1，则e_2=e_1+9=10，e_3=e_2+18=28，e_4=e_3+27=55，e_5=e_4+36=91，e_6=e_5+45=136，e_7=e_6+54=190，e_8=e_7+63=253，e_9=e_8+72=325，e_10=e_9+81=406，e_11=e_10+90=496，e_12=e_11+99=595，所以e_12=9216。

三、多选题答案及解析

1.AB解析：根据递推公式a_n+1=3a_n+2，令a_n=3^n-1，则a_n+1=3(3^n-1)+2=3^{n+1}-1，满足条件；令a_n=2*3^n-1，则a_n+1=2*3(3^n)-1=2*3^{n+1}-1，不满足条件；令a_n=3^n+1，则a_n+1=3(3^n)+1=3^{n+1}+1，不满足条件；令a_n=2*3^n+1，则a_n+1=2*3(3^n)+1=2*3^{n+1}+1，不满足条件。

2.AC解析：根据递推公式b_n=b_{n-1}+4n，令b_n=2n^2-2n，则b_n+1=2(n+1)^2-2(n+1)=2n^2+4n，满足条件；令b_n=n^2+4n，则b_n+1=n^2+2n+4n+4=n^2+6n+4，不满足条件；令b_n=2n^2+4n，则b_n+1=2(n+1)^2+4(n+1)=2n^2+8n+6，不满足条件；令b_n=n^2-4n，则b_n+1=n^2-2n-4n-4=n^2-6n-4，不满足条件。

3.AB解析：根据递推公式c_n+1=5c_n-1，令c_n=5^n-1，则c_n+1=5(5^n-1)-1=5^{n+1}-1，满足条件；令c_n=4*5^n-1，则c_n+1=4*5(5^n)-1=4*5^{n+1}-1，不满足条件；令c_n=5^n+1，则c_n+1=5(5^n)+1=5^{n+1}+1，不满足条件；令c_n=4*5^n+1，则c_n+1=4*5(5^n)+1=4*5^{n+1}+1，不满足条件。

4.AB解析：根据递推公式d_n=d_{n-1}+6n，令d_n=3n^2-3n，则d_n+1=3(n+1)^2-3(n+1)=3n^2+6n，满足条件；令d_n=n^2+6n，则d_n+1=n^2+2n+6n+6=n^2+8n+6，不满足条件；令d_n=3n^2+6n，则d_n+1=3(n+1)^2+6(n+1)=3n^2+12n+9，不满足条件；令d_n=n^2-6n，则d_n+1=n^2-2n-6n-6=n^2-8n-6，不满足条件。

5.AB解析：根据递推公式e_n+1=7e_n+3，令e_n=7^n-1，则e_n+1=7(7^n-1)+3=7^{n+1}-1，满足条件；令e_n=6*7^n-1，则e_n+1=6*7(7^n)-1=6*7^{n+1}-1，不满足条件；令e_n=7^n+1，则e_n+1=7(7^n)+1=7^{n+1}+1，不满足条件；令e_n=6*7^n+1，则e_n+1=6*7(7^n)+1=6*7^{n+1}+1，不满足条件。

6.AB解析：根据递推公式f_n=f_{n-1}+8n，令f_n=4n^2-4n，则f_n+1=4(n+1)^2-4(n+1)=4n^2+8n，满足条件；令f_n=n^2+8n，则f_n+1=n^2+2n+8n+8=n^2+10n+8，不满足条件；令f_n=4n^2+8n，则f_n+1=4(n+1)^2+8(n+1)=4n^2+16n+12，不满足条件；令f_n=n^2-8n，则f_n+1=n^2-2n-8n-8=n^2-10n-8，不满足条件。

7.AB解析：根据递推公式g_n+1=9g_n-2，令g_n=9^n-1，则g_n+1=9(9^n-1)-2=9^{n+1}-1，满足条件；令g_n=8*9^n-1，则g_n+1=8*9(9^n)-1=8*9^{n+1}-1，不满足条件；令g_n=9^n+1，则g_n+1=9(9^n)+1=9^{n+1}+1，不满足条件；令g_n=8*9^n+1，则g_n+1=8*9(9^n)+1=8*9^{n+1}+1，不满足条件。

8.AB解析：根据递推公式h_n=h_{n-1}+10n，令h_n=5n^2-5n，则h_n+1=5(n+1)^2-5(n+1)=5n^2+10n，满足条件；令h_n=n^2+10n，则h_n+1=n^2+2n+10n+10=n^2+12n+10，不满足条件；令h_n=5n^2+10n，则h_n+1=5(n+1)^2+10(n+1)=5n^2+20n+15，不满足条件；令h_n=n^2-10n，则h_n+1=n^2-2n-10n-10=n^2-12n-10，不满足条件。

9.AB解析：根据递推公式i_n+1=11i_n+4，令i_n=11^n-1，则i_n+1=11(11^n-1)+4=11^{n+1}-1，满足条件；令i_n=10*11^n-1，则i_n+1=10*11(11^n)-1=10*11^{n+1}-1，不满足条件；令i_n=11^n+1，则i_n+1=11(11^n)+1=11^{n+1}+1，不满足条件；令i_n=10*11^n+1，则i_n+1=10*11(11^n)+1=10*11^{n+1}+1，不满足条件。

10.AB解析：根据递推公式j_n+1=9j_n-2，令j_n=6n^2-6n，则j_n+1=6(n+1)^2-6(n+1)=6n^2+12n，满足条件；令j_n=n^2+12n，则j_n+1=n^2+2n+12n+12=n^2+14n+12，不满足条件；令j_n=6n^2+12n，则j_n+1=6(n+1)^2+12(n+1)=6n^2+24n+18，不满足条件；令j_n=n^2-12n，则j_n+1=n^2-2n-12n-12=n^2-14n-12，不满足条件。

四、判断题答案及解析

1.错误解析：根据递推公式a_n+1=2a_n+1，a_1=1，则a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，所以a_n=2^n-1不正确。

2.错误解析：根据递推公式b_n+1=3b_n+2，b_1=1，则b_2=3b_1+2=5，b_3=3b_2+2=17，所以b_n=3^n-1不正确。

3.正确解析：根据递推公式c_n=c_{n-1}+n，c_1=1，则c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+3=6，c_4=c_3+4=10，c_5=c_4+5=15，所以c_n=n(n+1)/2正确。

4.错误解析：根据递推公式d_n+1=5d_n-3，d_1=2，则d_2=5d_1-3=7，d_3=5d_2-3=32，所以d_n=5^n-3不正确。

5.错误解析：根据递推公式e_n+1=7e_n+3，e_1=2，则e_2=7e_1+3=17，e_3=7e_2+3=122，所以e_n=7^n-1不正确。

6.正确解析：根据递推公式f_n=f_{n-1}+2n，f_1=1，则f_2=f_1+2=3，f_3=f_2+4=7，f_4=f_3+6=13，f_5=f_4+8=21，f_6=f_5+10=31，所以f_n=n(n+1)正确。

7.错误解析：根据递推公式g_n+1=4g_n+2，g_1=1，则g_2=4g_1+2=6，g_3=4g_2+2=26，所以g_n=4^n-1不正确。

8.错误解析：根据递推公式h_n+1=6h_n-1，h_1=3，则h_2=6h_1-1=17，h_3=6h_2-1=101，所以h_n=6^n-1不正确。

9.正确解析：根据递推公式i_n=i_{n-1}+3n，i_1=1，则i_2=i_1+3=4，i_3=i_2+6=10，i_4=i_3+9=19，i_5=i_4+12=31，i_6=i_5+15=46，所以i_n=3n(n+1)/2正确。

10.错误