湖北省2026年高三二模高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖北省2026届高三十一校第二次联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足：，则（

）A．1 B． C． D．23．是为奇函数的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（）A． B．C． D．5．已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（）（残差=观察值－估计值）A．2 B． C． D．6．已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（

）A． B． C． D．7．已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（

）A．三棱锥外接球的表面积为B．若平面，则动点的轨迹是一条线段C．若平面，则动点的轨迹的长度为D．若，则动点的轨迹长度为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（）A．C的虚轴长为 B．C的离心率为C．的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于10．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有（

）A．B．C．的对称轴过的对称中心D．，使得11．已知函数有三个零点，则（

）A．若成等差数列，则成等比数列B．若成等比数列，则成等差数列C．若成等差数列，则数列的公差为D．若成等比数列，则数列的公比为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______．13．已知数列的前项和为，且，，则___________．14．设分别是与的零点，则的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的正切值．16．锐角三角形的内角的对边分别为，且满足．(1)求角；(2)设为锐角三角形的垂心，求的值．17．一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．(1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率；(2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望．18．已知，其中．(1)求证：当时，；(2)讨论取不同值的时候，函数的零点个数；(3)证明：，其中．19．已知抛物线为其焦点，直线过点交抛物线C于两点，若三角形面积的最小值为．(1)求；(2)若三角形外接圆与抛物线的最后一个交点为点．（i）设，证明：．（ii）若平分，求线段长度的所有可能取值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】根据补集和交集的定义运算.【详解】由题意得，，则.故选：B2．B【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模.【详解】因为复数满足：，所以，所以，解得.所以.故选：B.3．D【分析】根据函数奇偶性的定义判断可得答案.【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，时的定义域不一定关于原点对称，所以不是为奇函数的充分条件；如果为奇函数在处有定义时有，在处没有定义时没有，所以不是为奇函数的必要条件；综上，是为奇函数的既不充分也不必要条件.故选：D.4．C【分析】对于A，通过计算模的平方并利用垂直条件得出模长相等；对于B，直接展开数量积并代入已知条件求得定值；对于C，假设平行后利用基底不共线推出矛盾；对于D，则通过展开数量积验证其是否为零来判断垂直关系.【详解】已知单位向量、的夹角为，因此且A选项：，，，，故，A为真命题；B选项：，B为真命题；C选项：假设，则存在使，整理得：，由于与不共线（夹角为），则且，此方程组无解，矛盾，故与不平行，C为假命题；D选项：所以，D为真命题.故选：C5．B【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可.【详解】∵，∴增加两个样本点后的平均数为；∵，∴，∴增加两个样本点后y的平均数为，∴，解得，∴新的经验回归方程为，则当时，，∴样本点的残差为故选：B.6．B【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可.【详解】解：由，则或，解得或，所以，，，，…，，所以，故B正确.故选：B7．A【分析】根据向量运算可得，再由椭圆可知，即可得结果.【详解】因为，圆心，半径为1，则，可得，由椭圆方程可知：，即恰为椭圆的右焦点，则，所以.故选：A.8．A【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点、，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D.【详解】对于A：由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为，，故，又，则，故，，因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上，则，即，故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确，对于B：取与中点、，连接、、，由正方体性质可得，，又平面，平面，故平面，平面，平面，故平面，又，、平面，故平面平面，由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误；对于C：取靠近点的四等分点，连接，由正方体性质可得平面，又平面，故，由，，故与相似，则，故，故，又，、平面，故平面，又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误；对D：若平面，因为平面，平面，故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆，故其轨迹长度为，故D错误.9．AD【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断即得.【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得，对于A，的虚轴长，A正确；对于B，的离心率，B错误；对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误；对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确.故选：AD10．AC【分析】根据平移法则结合得到，得到A正确B错误；计算对称轴代入函数得到C正确，根据范围计算两个函数的值域得到D错误，得到答案.【详解】，的图像与的图像关于y轴对称，，即，，，经检验，满足题意，故选项A正确，选项B不正确；，，的对称轴满足，即，，即的对称轴过的对称中心，故选项C正确；当时，，的值域为，当时，，的值域为，，故选项D不正确．故选：AC11．ABD【分析】对A、C：由题意可得，结合等差数列定义可得，则成等比数列，则可得，即可求出，结合，两边取对数运算可得，即可得其公差；对B、D：由，结合等比数列定义可得，则成等差数列，则可求出，即可得，即可得其公比.【详解】当时，，不合题意；当时，分别画出与的图象，如图：所以；对A、C：由题得，所以，即，若成等差数列，则，所以，所以成等比数列，由，则，即，所以，由，解得，因为，所以，则，即数列的公差为，故A正确、C错误；对B、D：由，若成等比数列，则，则，即有，故成等差数列，又，则，故，即数列的公比为，故B、D正确.12．【分析】根据正态分布，明确分布关于均值对称，结合已知条件计算，再利用对称转化求出，进而求出实际人数．【详解】已知数学成绩，则分布关于对称，，已知，则，，根据正态分布的对称性可知：，正态分布是连续分布，，故，已知总人数为，数学成绩为分以上的人数为：．故答案为：．13．【分析】分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式.【详解】由题意可知，由可得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，当且时，，不满足上式，故.14．【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单调性进行求解即可.【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数，所以函数是实数集上的增函数，因为是的唯一零点，所以，即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标.当时，因为是的零点，所以，设，当时，因为函数是正实数集上的增函数，所以是正实数集上的增函数，即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标，显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示：显然，由数形结合思想可知：，的中点在上，所以，，设，由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减，即，所以的取值范围是.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，则，，利用余弦定理结合勾股定理可证得，利用线面垂直的性质得出，再利用线面垂直和性质定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的正切值.【详解】（1）设，则，．在中，根据余弦定理，将，，代入可得：，所以．则，所以，因为底面，底面，所以．又因为，、平面，所以平面．而平面，所以.（2）因为底面，，四边形为平行四边形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，，，则，，，，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，则，取，可得，设平面与平面的夹角为，则，所以，故.16．(1)(2)【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得；（2）设AD垂直于BC于D，BE垂直于AC于E，AD与BE交于垂心H，则由垂心性质可得、、，再利用正弦定理可得，即有，即可得解.【详解】（1）由条件知：，由正弦定理可得，所以，则；（2）设AD垂直于BC于D，BE垂直于AC于E，AD与BE交于垂心H，则，故，有，则，设外接圆半径为，在中用正弦定理：，故，所以.17．(1)(2)【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可；（2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可.【详解】（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为，则，，，，，所以.（2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4；，，，，所以.18．(1)证明见解析(2)当时，有且仅有1个零点；当时，有且仅有2个零点(3)证明见解析【分析】（1）借助导数求导后，利用导数定义判断即可得；（2）分及进行讨论，利用导数可研究函数单调性，再利用函数单调性与零点存在性定理判断即可得；（3）令，可得，再累加求和即可得证.【详解】（1），令，则，而且，所以，即在上单调递增，，所以，即在上单调递增，所以；（2）①时，，，所以在上单调递增，又，则此时有且仅有1个零点；②时，在上小于0，在上大于0，即在上单调递减，在上单调递增，又且，则存在唯一的，即在和上大于0，在上小于0，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又时，，则在上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点，此时函数有且仅有2个零点；综上所述，当时，有且仅有1个零点；当时，有且仅有2个零点；（3）令，且时，得，再令，代入化简可得，则，则.19．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系