国家集训队数论感觉卷

国家集训队数论感觉卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高二/理科班

试标题:国家集训队数论感觉卷

一、选择题

1.若整数n满足n^2+2007n+2008=0，则n的所有可能值的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

2.设a为正整数，且满足a^2+a+41=0，则a的所有可能值的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

3.已知x为实数，且x^3-x+1=0，则x的所有可能值的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

4.若整数n满足n^2-2007n+2008=0，则n的所有可能值的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

5.设a为正整数，且满足a^2-a+41=0，则a的所有可能值的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

6.已知x为实数，且x^3+x+1=0，则x的所有可能值的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

7.若整数n满足n^2+2006n+2007=0，则n的所有可能值的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

8.设a为正整数，且满足a^2+a+40=0，则a的所有可能值的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

9.已知x为实数，且x^3-x+1=0，则x的所有可能值的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若整数n满足n^2-2006n+2007=0，则n的所有可能值的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题

1.若整数n满足n^2+2007n+2008=0，则n的所有可能值的乘积是

2.设a为正整数，且满足a^2+a+41=0，则a的所有可能值的和是

3.已知x为实数，且x^3-x+1=0，则x的所有可能值的平方和是

4.若整数n满足n^2-2007n+2008=0，则n的所有可能值的最大值是

5.设a为正整数，且满足a^2-a+41=0，则a的所有可能值的倒数和是

6.已知x为实数，且x^3+x+1=0，则x的所有可能值的立方和是

7.若整数n满足n^2+2006n+2007=0，则n的所有可能值的绝对值和是

8.设a为正整数，且满足a^2+a+40=0，则a的所有可能值的平方根和是

9.已知x为实数，且x^3-x+1=0，则x的所有可能值的倒数平方和是

10.若整数n满足n^2-2006n+2007=0，则n的所有可能值的立方根和是

三、多选题

1.若整数n满足n^2+2007n+2008=0，则n的所有可能值的性质是

A.必为奇数

B.必为偶数

C.必为负数

D.必为正数

2.设a为正整数，且满足a^2+a+41=0，则a的所有可能值的性质是

A.必为奇数

B.必为偶数

C.必为负数

D.必为正数

3.已知x为实数，且x^3-x+1=0，则x的所有可能值的性质是

A.必为有理数

B.必为无理数

C.必为负数

D.必为正数

4.若整数n满足n^2-2007n+2008=0，则n的所有可能值的性质是

A.必为奇数

B.必为偶数

C.必为负数

D.必为正数

5.设a为正整数，且满足a^2-a+41=0，则a的所有可能值的性质是

A.必为奇数

B.必为偶数

C.必为负数

D.必为正数

6.已知x为实数，且x^3+x+1=0，则x的所有可能值的性质是

A.必为有理数

B.必为无理数

C.必为负数

D.必为正数

7.若整数n满足n^2+2006n+2007=0，则n的所有可能值的性质是

A.必为奇数

B.必为偶数

C.必为负数

D.必为正数

8.设a为正整数，且满足a^2+a+40=0，则a的所有可能值的性质是

A.必为奇数

B.必为偶数

C.必为负数

D.必为正数

9.已知x为实数，且x^3-x+1=0，则x的所有可能值的性质是

A.必为有理数

B.必为无理数

C.必为负数

D.必为正数

10.若整数n满足n^2-2006n+2007=0，则n的所有可能值的性质是

A.必为奇数

B.必为偶数

C.必为负数

D.必为正数

四、判断题

1.若整数n满足n^2+2007n+2008=0，则n的所有可能值的乘积为0

2.设a为正整数，且满足a^2+a+41=0，则不存在这样的a

3.已知x为实数，且x^3-x+1=0，则x的所有可能值的平方和为负数

4.若整数n满足n^2-2007n+2008=0，则n的所有可能值的最大值为负数

5.设a为正整数，且满足a^2-a+41=0，则a的所有可能值的倒数和为正数

6.已知x为实数，且x^3+x+1=0，则x的所有可能值的立方和为0

7.若整数n满足n^2+2006n+2007=0，则n的所有可能值的绝对值和为2006

8.设a为正整数，且满足a^2+a+40=0，则a的所有可能值的平方根和为实数

9.已知x为实数，且x^3-x+1=0，则x的所有可能值的倒数平方和为正数

10.若整数n满足n^2-2006n+2007=0，则n的所有可能值的立方根和为1

五、问答题

1.证明不存在正整数a满足a^2+a+41=0

2.设整数n满足n^2-2007n+2008=0，求n的所有可能值的集合

3.已知实数x满足x^3-x+1=0，求x^4+x^2+1的值

试卷答案

一、选择题

1.B

解析：n^2+2007n+2008=0，判别式Δ=2007^2-4*2008=2007^2-8032。Δ为奇数的平方减去一个偶数，必为奇数，故方程无有理根，只能有两个共轭虚根，即n的所有可能值为2个。

2.A

解析：a为正整数，a^2+a+41=0，则a^2+a=-41。a为正整数，a^2+a必为正数，不可能等于-41，故无解，a的所有可能值的个数为0。

3.B

解析：x^3-x+1=0，若x为实数，则x^3=-x-1。考虑函数f(x)=x^3-x，其导数f'(x)=3x^2-1。令f'(x)=0得x=±1/√3。在(-∞,-1/√3)上f'(x)>0，f(x)单调递增；在(-1/√3,1/√3)上f'(x)<0，f(x)单调递减；在(1/√3,+∞)上f'(x)>0，f(x)单调递增。计算f(-1/√3)=(-1/√3)^3-(-1/√3)=2/3√3>0，f(1/√3)=(1/√3)^3-(1/√3)=-2/3√3<0。由零点存在性定理，在(-1/√3,1/√3)内必有唯一实根x。故x的所有可能值的个数为1。

4.B

解析：n^2-2007n+2008=0，判别式Δ=2007^2-4*2008=2007^2-8032。Δ为奇数的平方减去一个偶数，必为奇数，故方程无有理根，只能有两个共轭虚根，即n的所有可能值为2个。

5.A

解析：a为正整数，a^2-a+41=0，则a^2-a=-41。a为正整数，a^2-a=a(a-1)必为偶数，不可能等于-41，故无解，a的所有可能值的个数为0。

6.B

解析：x^3+x+1=0，若x为实数，则x^3=-x-1。考虑函数f(x)=x^3+x，其导数f'(x)=3x^2+1>0，f(x)在R上单调递增。若存在实数x满足x^3=-x-1，则f(x)只能取一个值，矛盾。故无实数解，x的所有可能值的个数为0。

7.B

解析：n^2+2006n+2007=0，判别式Δ=2006^2-4*2007=2006^2-8028。Δ为偶数的平方减去一个偶数，必为偶数，故方程无有理根，只能有两个共轭虚根，即n的所有可能值为2个。

8.A

解析：a为正整数，a^2+a+40=0，则a^2+a=-40。a为正整数，a^2+a必为正数，不可能等于-40，故无解，a的所有可能值的个数为0。

9.B

解析：x^3-x+1=0，若x为实数，则x^3=-x-1。考虑函数f(x)=x^3-x，其导数f'(x)=3x^2-1。令f'(x)=0得x=±1/√3。在(-∞,-1/√3)上f'(x)>0，f(x)单调递增；在(-1/√3,1/√3)上f'(x)<0，f(x)单调递减；在(1/√3,+∞)上f'(x)>0，f(x)单调递增。计算f(-1/√3)=(-1/√3)^3-(-1/√3)=2/3√3>0，f(1/√3)=(1/√3)^3-(1/√3)=-2/3√3<0。由零点存在性定理，在(-1/√3,1/√3)内必有唯一实根x。故x的所有可能值的个数为1。

10.B

解析：n^2-2006n+2007=0，判别式Δ=2006^2-4*2007=2006^2-8024。Δ为偶数的平方减去一个偶数，必为偶数，故方程无有理根，只能有两个共轭虚根，即n的所有可能值为2个。

二、填空题

1.2008

解析：n^2+2007n+2008=0，n1*n2=2008。n的所有可能值为两个共轭虚数n1和n2，其乘积n1*n2为方程的常数项，即2008。

2.-41

解析：a为正整数，a^2+a+41=0无解，故a的所有可能值的个数为0，其和为-41（此题无实际意义，仅形式上填空）。

3.1

解析：x为实数，x^3-x+1=0，x1为唯一实根。x1^2+x1^2=2x1^2。x1^3-x1=-1，所以x1^2+x1^2=x1^2+(-1/x1)=x1^2-1/x1。由x1^3=-x1-1得x1^2=-x1-1，代入得2(-x1-1)=2x1^2=2(-x1-1)，所以2x1^2=1。x1^2+x1^2=1。

4.2007

解析：n^2-2007n+2008=0，判别式Δ=2007^2-4*2008=2007^2-8032。Δ为奇数的平方减去一个偶数，必为奇数。设n1和n2为两个共轭虚根，则n1*n2=2008。由于是虚根，其实部必为相反数，设n1=a+bi，n2=a-bi，则n1+n2=2a。方程n^2-2007n+2008=0的实部为n^2-2007n，虚部为0。要使n^2-2007n=0，即n(n-2007)=0，必须有n=n1或n=n2。由于n1和n2为虚数，其和2a为实数，且为方程n^2-2007n=0的解。故n的所有可能值的最大值（即实部最大的虚根的实部）为2007。

5.0

解析：a为正整数，a^2-a+41=0无解，故a的所有可能值的个数为0，其倒数和为0（此题无实际意义，仅形式上填空）。

6.1

解析：x为实数，x^3+x+1=0，x1为唯一实根。x1^3+x1=-1。x1^3+x1^2+x1=x1^3+x1+1=0。所以x1^3+x1^2=1。

7.2006

解析：n^2+2006n+2007=0，n1+n2=-2006。n的所有可能值为两个共轭虚数n1和n2，其绝对值和为|n1|+|n2|=|n1|+|n2|=|-2006/2|+|-2006/2|=1003+1003=2006。

8.无意义

解析：a为正整数，a^2+a+40=0无解，故a的所有可能值的个数为0，其平方根和无意义（此题无实际意义，仅形式上填空）。

9.1

解析：x为实数，x^3-x+1=0，x1为唯一实根。x1^3-x1=-1。x1^3+x1^2+x1=0。所以x1^2+x1^2=1。x1^2+x1^2+x1^4=1+x1^2=1+(-1/x1)=1-1/x1。由x1^3=-x1-1得x1^2=-x1-1，代入得1-1/x1=1-1/(-1-1)=1-1/(-2)=1+1/2=3/2。但题目要求的是x1^2+x1^2，即1。

10.无意义

解析：n^2-2006n+2007=0，判别式Δ=2006^2-4*2007=2006^2-8024。Δ为偶数的平方减去一个偶数，必为偶数。设n1和n2为两个共轭虚根，则n1+n2=2006。n的所有可能值为n1和n2，其立方根和为(n1)^(1/3)+(n2)^(1/3)。由于n1和n2为虚数，其立方根也是虚数，其和也为虚数。题目要求的是实数范围内的和，故无意义（此题无实际意义，仅形式上填空）。

三、多选题

1.A,B

解析：n^2+2007n+2008=0，n^2为正，2007n为负（因为n^2为正，要平衡方程左边的正数，n必须为负），2008为正。n^2+2007n=-2008，两边同时除以n（n≠0）得n+2007=-2008/n。由于n为负数，-2008/n为负数，故n+2007为负数。因此n必须为负偶数，否则n+2007不为整数。所以n的所有可能值必为负数，且必为偶数。不能确定必为奇数或必为正数。

2.A,B

解析：a为正整数，a^2+a+41=0无解，故a的所有可能值的个数为0。不存在这样的a。a的所有可能值必为正整数，因为题目条件规定了a为正整数。

3.B,C

解析：x为实数，x^3-x+1=0，若x为有理数，则方程x^3-x+1=0有理根。由有理根定理，可能的有理根为±1。代入x=1，1^3-1+1=1≠0；代入x=-1，(-1)^3-(-1)+1=-1+1+1=1≠0。故方程无有理根，x必为无理数。计算f'(x)=3x^2-1，令f'(x)=0得x=±1/√3。f(-1/√3)=2/3√3>0，f(1/√3)=-2/3√3<0。由零点存在性定理，存在唯一实数x，故x必为无理数。又x^3=-x-1，x^3+x=-1。若x为正数，则x^3+x>0，不可能等于-1；若x为负数，则x^3+x<0，不可能等于-1。故x不能为正数或负数，x=0时，0^3-0+1=1≠0。矛盾。故x不能为正数、负数或0，即x必须为负数。所以x的所有可能值的性质是必为无理数且必为负数。不能确定必为有理数或必为正数。

4.A,B

解析：n^2-2007n+2008=0，n^2为正，-2007n为正（因为n^2为正，要平衡方程左边的正数，n必须为负），2008为正。n^2-2007n=2008，两边同时除以n（n≠0）得n-2007=2008/n。由于n为负数，2008/n为负数，故n-2007为负数。因此n必须为负偶数，否则n-2007不为整数。所以n的所有可能值必为负数，且必为偶数。不能确定必为奇数或必为正数。

5.A,B

解析：a为正整数，a^2-a+41=0无解，故a的所有可能值的个数为0。不存在这样的a。a的所有可能值必为正整数，因为题目条件规定了a为正整数。

6.B,C

解析：x为实数，x^3+x+1=0，若x为有理数，则方程x^3+x+1=0有理根。由有理根定理，可能的有理根为±1。代入x=1，1^3+1+1=3≠0；代入x=-1，(-1)^3+(-1)+1=-1≠0。故方程无有理根，x必为无理数。计算f'(x)=3x^2+1>0，f(x)在R上单调递增。若存在实数x满足x^3+x+1=0，则f(x)只能取一个值，矛盾。故无实数解，x的所有可能值的性质是必为无理数且必为负数。不能确定必为有理数或必为正数。

7.A,B

解析：n^2+2006n+2007=0，n^2为正，2006n为负（因为n^2为正，要平衡方程左边的正数，n必须为负），2007为正。n^2+2006n=-2007，两边同时除以n（n≠0）得n+2006=-2007/n。由于n为负数，-2007/n为负数，故n+2006为负数。因此n必须为负偶数，否则n+2006不为整数。所以n的所有可能值必为负数，且必为偶数。不能确定必为奇数或必为正数。

8.A,B

解析：a为正整数，a^2+a+40=0无解，故a的所有可能值的个数为0。不存在这样的a。a的所有可能值必为正整数，因为题目条件规定了a为正整数。

9.B,C

解析：x为实数，x^3-x+1=0，若x为有理数，则方程x^3-x+1=0有理根。由有理根定理，可能的有理根为±1。代入x=1，1^3-1+1=1≠0；代入x=-1，(-1)^3-(-1)+1=-1+1+1=1≠0。故方程无有理根，x必为无理数。计算f'(x)=3x^2-1，令f'(x)=0得x=±1/√3。f(-1/√3)=2/3√3>0，f(1/√3)=-2/3√3<0。由零点存在性定理，存在唯一实数x，故x必为无理数。又x^3=-x-1，x^3+x=-1。若x为正数，则x^3+x>0，不可能等于-1；若x为负数，则x^3+x<0，不可能等于-1。故x不能为正数或负数，x=0时，0^3-0+1=1≠0。矛盾。故x不能为正数、负数或0，即x必须为负数。所以x的所有可能值的性质是必为无理数且必为负数。不能确定必为有理数或必为正数。

10.A,B

解析：n^2-2006n+2007=0，n^2为正，-2006n为正（因为n^2为正，要平衡方程左边的正数，n必须为负），2007为正。n^2-2006n=2007，两边同时除以n（n≠0）得n-2006=2007/n。由于n为负数，2007/n为负数，故n-2006为负数。因此n必须为负偶数，否则n-2006不为整数。所以n的所有可能值必为负数，且必为偶数。不能确定必为奇数或必为正数。

四、判断题

1.错

解析：n^2+2007n+2008=0，n1*n2=2008。n的所有可能值为两个共轭虚数n1和n2，其乘积n1*n2为方程的常数项，即2008。2008不为0，故n的所有可能值的乘积不为0。

2.对

解析：a为正整数，a^2+a+41=0无解，故a的所有可能值的个数为0。不存在这样的a。

3.错

解析：x为实数，x^3-x+1=0，x1为唯一实根。x1^2+x1^2=x1^2+x1^2。x1^3-x1=-1，所以x1^2+x1^2=x1^2+(-1/x1)=x1^2-1/x1。由x1^3=-x1-1得x1^2=-x1-1，代入得2(-x1-1)=2x1^2。x1^2+x1^2=2x1^2。若x1为负数，则x1^2为正数，x1^2+x1^2为正数；若x1为正数，则x1^2为正数，x1^2+x1^2为正数。故x1^2+x1^2为正数，不为负数。

4.错

解析：n^2-2007n+2008=0，判别式Δ=2007^2-4*2008=2007^2-8032。Δ为奇数的平方减去一个偶数，必为奇数。设n1和n2为两个共轭虚根，则n1+n2=2007。n的所有可能值为n1和n2，其最大值（即实部最大的虚根的实部）为2007/2，不是2007。

5.错

解析：a为正整数，a^2-a+41=0无解，故a的所有可能值的个数为0。不存在这样的a。a的所有可能值必为正整数，因为题目条件规定了a为正整数。

6.错

解析：x为实数，x^3+x+1=0，x1为唯一实根。x1^3+x1=-1。x1^3+x1^2+x1=x1^3+x1+1=0。所以x1^3+x1^2=1。x1^3+x1^2+x1^3=1+x1^3=1+(-1)=0。故x1^3+x1^2+x1^3=0，不为1。

7.错

解析：n^2+2006n+2007=0，n1+n2=-2006。n的所有可能值为两个共轭虚数n1和n2，其绝对值和为|n1|+|n2|=|n1|+|n2|=|-2006/2|+|-2006/2|=1003+1003=2006。但题目问的是绝对值和，答案应为2006，不是2006。

8.错

解析：a为正整数，a^2+a+40=0无解，故a的所有可能值的个数为0。不存在这样的a。a的所有可能值必为正整数，因为题目条件规定了a为正整数。

9.错

解析：x为实数，x^3-x+1=0，x1为唯一实根。x1^3-x1=-1。x1^2+x1^2+x1^2=2x1^2+x1^2=3x1^2。x1^3+x1^2+x1=0。所以x1^2+x1^2=-x1。由x1^3=-x1-1得x1^2=-x1-1，代入得3(-x1-1)=-x1。-3x1-3=-x1。-2x1=3。x1=-3/2。x1^2=9/4。3x1^2=27/4。3x1^2不为正数。

10.错

解析：n^2-2006n+2007=0，判别式Δ=2006^2-4*2007=2006^2-8024。Δ为偶数的平方减去一个偶数，必