全国高中数学联赛二试数论专项卷

全国高中数学联赛二试数论专项卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

全国高中数学联赛二试数论专项卷

一、选择题

1.若正整数n满足n²+2018n+2019能被2019整除，则n的所有可能值为

A.1,2,3

B.0,1,2

C.0,1,3

D.1,2,4

2.设p是大于3的质数，若p+1能被6整除，则p的末位数可能是

A.3,9

B.1,7

C.5,7

D.3,5

3.某个正整数a的各位数字之和为2018，若a能被9整除但不能被3整除，则a的位数最少为

A.224

B.225

C.226

D.227

4.若正整数x,y满足x²+y²=2018²，则x+y能被5整除的充要条件是

A.x-y能被5整除

B.x+y能被10整除

C.x²-y²能被5整除

D.x³+y³能被5整除

5.设m,n是正整数，且m²+n²=2018³，则gcd(m,n)的所有可能值为

A.1,2

B.1,4

C.1,2,4

D.1,8

6.若正整数n满足n²+2018n+2019能被2019整除，则n的所有可能值为

A.1,2,3

B.0,1,2

C.0,1,3

D.1,2,4

7.设p是大于3的质数，若p+1能被6整除，则p的末位数可能是

A.3,9

B.1,7

C.5,7

D.3,5

8.某个正整数a的各位数字之和为2018，若a能被9整除但不能被3整除，则a的位数最少为

A.224

B.225

C.226

D.227

9.若正整数x,y满足x²+y²=2018²，则x+y能被5整除的充要条件是

A.x-y能被5整除

B.x+y能被10整除

C.x²-y²能被5整除

D.x³+y³能被5整除

10.设m,n是正整数，且m²+n²=2018³，则gcd(m,n)的所有可能值为

A.1,2

B.1,4

C.1,2,4

D.1,8

二、填空题

11.若正整数n满足n²+2018n+2019能被2019整除，则n的所有可能值为______。

12.设p是大于3的质数，若p+1能被6整除，则p的末位数可能是______。

13.某个正整数a的各位数字之和为2018，若a能被9整除但不能被3整除，则a的位数最少为______。

14.若正整数x,y满足x²+y²=2018²，则x+y能被5整除的充要条件是______。

15.设m,n是正整数，且m²+n²=2018³，则gcd(m,n)的所有可能值为______。

16.若正整数n满足n²+2018n+2019能被2019整除，则n的所有可能值为______。

17.设p是大于3的质数，若p+1能被6整除，则p的末位数可能是______。

18.某个正整数a的各位数字之和为2018，若a能被9整除但不能被3整除，则a的位数最少为______。

19.若正整数x,y满足x²+y²=2018²，则x+y能被5整除的充要条件是______。

20.设m,n是正整数，且m²+n²=2018³，则gcd(m,n)的所有可能值为______。

三、多选题

21.若正整数n满足n²+2018n+2019能被2019整除，则n的所有可能值为

A.1,2,3

B.0,1,2

C.0,1,3

D.1,2,4

22.设p是大于3的质数，若p+1能被6整除，则p的末位数可能是

A.3,9

B.1,7

C.5,7

D.3,5

23.某个正整数a的各位数字之和为2018，若a能被9整除但不能被3整除，则a的位数最少为

A.224

B.225

C.226

D.227

24.若正整数x,y满足x²+y²=2018²，则x+y能被5整除的充要条件是

A.x-y能被5整除

B.x+y能被10整除

C.x²-y²能被5整除

D.x³+y³能被5整除

25.设m,n是正整数，且m²+n²=2018³，则gcd(m,n)的所有可能值为

A.1,2

B.1,4

C.1,2,4

D.1,8

四、判断题

26.若正整数n满足n²+2018n+2019能被2019整除，则n的所有可能值为1,2,3。

27.设p是大于3的质数，若p+1能被6整除，则p的末位数可能是3,9。

28.某个正整数a的各位数字之和为2018，若a能被9整除但不能被3整除，则a的位数最少为224。

29.若正整数x,y满足x²+y²=2018²，则x+y能被5整除的充要条件是x-y能被5整除。

30.设m,n是正整数，且m²+n²=2018³，则gcd(m,n)的所有可能值为1,2。

31.若正整数n满足n²+2018n+2019能被2019整除，则n的所有可能值为0,1,2。

32.设p是大于3的质数，若p+1能被6整除，则p的末位数可能是1,7。

33.某个正整数a的各位数字之和为2018，若a能被9整除但不能被3整除，则a的位数最少为225。

34.若正整数x,y满足x²+y²=2018²，则x+y能被5整除的充要条件是x³+y³能被5整除。

35.设m,n是正整数，且m²+n²=2018³，则gcd(m,n)的所有可能值为1,4。

五、问答题

36.设正整数n满足n²+2018n+2019能被2019整除，求n的所有可能值的通项公式。

37.证明：若质数p的末位数为1或7，则p+1能被6整除。

38.设正整数a的各位数字之和为2018，且a能被9整除但不能被3整除，求a的最小值。

试卷答案

一、选择题

1.答案：C

解析：设n²+2018n+2019=2019k，则n²+2018n+(2019-2019k)=0。判别式Δ=2018²-4(1-2019k)=2018²+8076k-4。要使n为整数，Δ必须为完全平方数。令Δ=m²，则8076k=m²-2018²=(m+2018)(m-2018)。由于8076=4×2019，所以m±2018必为偶数，设为2a，2b，则k=(a+2018)(b-2018)/2019。考虑k为正整数，a+2018和b-2018需同时为2019的倍数。设a+2018=2019x，b-2018=2019y，则k=2019xy/2019=xy。要使k为正整数，x,y需为正整数。a=-2018+2019x，b=2018+2019y。n=(-2018±√Δ)/2=(-1009±a√2019)/2或(-1009±b√2019)/2。要使n为正整数，Δ必须为完全平方数，且a或b为偶数。Δ=2018²+8076k，要使Δ为完全平方数，k必须满足特定条件。通过试验，发现k=1时，Δ=2018²+8076=4076²，满足条件。此时n=(-1009±2018)/2，得n=0或1。因此，n的所有可能值为0,1,3。选项C正确。

2.答案：B

解析：设p为大于3的质数，p+1能被6整除，即p+1=6m，p=6m-1。由于p为质数，m必须为正整数。考虑p的末位数，p=10a+b，b为末位数。则6m-1=10a+b，6m=10a+b+1。10a+b+1能被6整除，即10a+b+1=6c。10a+b=6c-1。由于10a=6c-1-b，a=(6c-1-b)/10。要使a为整数，6c-1-b必须为10的倍数。考虑b的取值，b=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。当b=1时，6c-2=10k，c=5k+1/3，c需为整数，取k=1，c=2，6m=13，p=11，质数。当b=7时，6c-8=10k，c=5k+4/3，c需为整数，取k=1，c=3，6m=19，p=17，质数。当b=9时，6c-10=10k，c=5k+1，c为整数，6m=11，p=7，质数。因此，p的末位数可能是1,7。选项B正确。

3.答案：C

解析：设a的位数为k，各位数字之和为2018，a能被9整除但不能被3整除。a能被9整除，即各位数字之和2018能被9整除。2018=2+0+1+8=11，11不能被9整除。因此，a的各位数字之和必须为2018+9m，m为正整数。2018=9×224+2，所以a的各位数字之和最少为2018+9=2027。设a的各位数字之和为2027，位数最少。各位数字之和为2027，最小各位数字为9，个数最多。2027/9=224余1，所以a的位数最少为226。选项C正确。

4.答案：A

解析：设x+y=5k，x-y=5l，x²+y²=2018²。则(x+y)²+(x-y)²=2(x²+y²)，25k²+25l²=2×2018²，k²+l²=2018²/25=(2018/5)²=40362。x²+y²=2018²，x²+y²=25k²，k²=4072。x²+y²=2018²，x²-y²=25l²，l²=4072。因此，x-y能被5整除是x+y能被5整除的充要条件。选项A正确。

5.答案：C

解析：设m=2018a，n=2018b，gcd(m,n)=gcd(2018a,2018b)=2018gcd(a,b)。由于2018=2×1009，1009为质数。m²+n²=2018³，(2018a)²+(2018b)²=2018³，2018²(a²+b²)=2018³，a²+b²=2018。gcd(a,b)的可能值为gcd(1,1)=1，gcd(1,2)=1，gcd(1,4)=1，gcd(2,2)=2，gcd(2,4)=2，gcd(4,4)=4。因此，gcd(m,n)的所有可能值为1,2,4。选项C正确。

6.答案：C

解析：同第1题解析。选项C正确。

7.答案：B

解析：同第2题解析。选项B正确。

8.答案：C

解析：同第3题解析。选项C正确。

9.答案：A

解析：同第4题解析。选项A正确。

10.答案：C

解析：同第5题解析。选项C正确。

二、填空题

11.答案：0,1,3

解析：同第1题解析。n的所有可能值为0,1,3。

12.答案：1,7

解析：同第2题解析。p的末位数可能是1,7。

13.答案：226

解析：同第3题解析。a的位数最少为226。

14.答案：x-y能被5整除

解析：同第4题解析。x-y能被5整除是充要条件。

15.答案：1,2,4

解析：同第5题解析。gcd(m,n)的所有可能值为1,2,4。

16.答案：0,1,3

解析：同第1题解析。n的所有可能值为0,1,3。

17.答案：1,7

解析：同第2题解析。p的末位数可能是1,7。

18.答案：226

解析：同第3题解析。a的位数最少为226。

19.答案：x-y能被5整除

解析：同第4题解析。x-y能被5整除是充要条件。

20.答案：1,2,4

解析：同第5题解析。gcd(m,n)的所有可能值为1,2,4。

三、多选题

21.答案：B,C

解析：同第1题解析。n的所有可能值为0,1,3。

22.答案：B,D

解析：同第2题解析。p的末位数可能是1,7。

23.答案：C,D

解析：同第3题解析。a的位数最少为226,227。

24.答案：A,C

解析：同第4题解析。x-y能被5整除和x²-y²能被5整除是充要条件。

25.答案：A,B,C

解析：同第5题解析。gcd(m,n)的所有可能值为1,2,4。

四、判断题

26.答案：正确

解析：同第1题解析。n的所有可能值为0,1,3。

27.答案：正确

解析：同第2题解析。p的末位数可能是1,7。

28.答案：正确

解析：同第3题解析。a的位数最少为226。

29.答案：正确

解析：同第4题解析。x-y能被5整除是充要条件。

30.答案：正确

解析：同第5题解析。gcd(m,n)的所有可能值为1,2,4。

31.答案：正确

解析：同第1题解析。n的所有可能值为0,1,3。

32.答案：正确

解析：同第2题解析。p的末位数可能是1,7。

33.答案：正确

解析：同第3题解析。a的位数最少为226。

34.答案：错误

解析：x+y能被5整除不一定能推出x³+y³能被5整除。反例：x=1,y=4，x+y=5，能被5整除，但x³+y³=1+64=65，不能被5整除。

35.答案：正确

解析：同第5题解析。gcd(m,n)的所有可能值为1,2,4。

五、问答题

36.解析：设n²+2018n+2019=2019k，n²+2018n+(2019-2019k)=0。判别式Δ=2018²-4(1-2019k)=2018²+8076k-4。要使Δ为完全平方数，Δ=m²，8076k=m²-2018²=(m+2018)(m-2018)。m±2018必为偶数，设为2a，2b，则k=(a+2018)(b-2018)/2019。k为正整数，a+2018和b-2018需同时为2019的倍数。设a+2018=2019x，b-2018=2019y，则k=2019xy/2019=xy。a=-2018+2019x，b=2018+2019y。n=(-1009±a√2019)/2或(-1009±b√2019)/2。要使n为正整数，Δ必须为完全平方数，且a或b为偶数。Δ=2018²+8076k，要使Δ为完全平方数，k必须满足特定条件。通过试验，发现k=1时，Δ=2018²+8076=4076²，满足条件。此时n=(-1009±2018)/2，得n=0或1。因此，n的所有可能值为0,1,3。通项公式为n=0,1,3。

37.证明：设p为大于3的质数，p=10a+b，b为末位数。