专题课传统几何体（阳马、鳖臑等）课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

旧概念几何体借助传统数学几何体，拓展学生几何直观，提升空间观念与空间想象素养。堑堵阳马鳖臑羡除刍甍刍童牟合方盖阿基米德多面体柏拉图多面体卡塔兰多面体三品棋堢壔曲池宛田圆囷冥谷盘池方亭九章算术《九章算术》是中国最著名、也是最早的一部数学专著，在古代算经十书中是地位极为重要的一类，其上继承了先秦数学之源流，入汉后，又经过张苍、耿寿昌等人的整理、增补和修订，大约于东汉初年即公元一世纪基本成型，诸如魏晋的刘徽、唐朝的李淳风等一批术数家又对其注解，作为几代人的劳动结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成，也为后世的数学家，提供了学习的范本。

唐宋时，被国家颁布规定为教科书，在1084年时，由当时的北宋朝廷进行刊刻，《九章算术》也是世界上最早的印刷本数学书，在隋唐时期就已传入朝鲜、日本，现已被译成日、俄、德、英、法翻译等多国文字。九章算术《九章算术》分为九章共收有246个数学问题，它们的主要内容分别是：第一章“方田”，研究田亩面积计算；第二章“粟米”，研究谷物粮食的按比例折换；第三章“袁分”，研究比例分配问题；第四章“少广”，论面、体积及边长、径长等；第五章“商功”，研究土石工程、体积计算；第六章“均输”，研究合理摊派赋税；第七章“盈不足”，即双设法盈亏问题；第八章“方程”，研究一次方程组问题；第九章“勾股”，利用勾股定理求解。常见的传统几何体关系图《九章算术・商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺。术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。”底面为直角三角形的直三棱柱。邪解立方得两堑堵。堑堵qiàndǔ底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，称为阳马。《九章算术・商功》刘徽注：“阳马之形，方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。”“邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。”阳马yángmǎ

“阳马”作为古代数学概念，在当代被重新引入公众视野，如2015年湖北高考文科数学卷曾以阳马与鳖臑为题干进行命题。试题旨在考查学生解决实际问题的能力和在陌生情境下的数学应用能力。此举也引发了关于传统文化融入现代教育的讨论。阳马yángmǎ“臑”指动物前肢、臂骨；“鳖臑”形容形体像甲鱼的前肢，细而尖，是古人对极特殊四面体的形象称呼。四个面全都是直角三角形的四面体，称为鳖臑。它是空间中“最直角”的简单多面体，也是研究线面垂直、空间直角的绝佳模型。刘徽注：“臑者，臂骨也。或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。”鳖臑biēnào古人分割多面体的基本单元：三品棋——立方、堑堵、阳马邪解立方得两堑堵。邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。三品棋——立方、堑堵、阳马三品棋——立方、堑堵、阳马三品棋——立方、堑堵、阳马三品棋——立方、堑堵、阳马阳马还可以进一步分割，可以分割成1个立方体，2个堑堵，2个阳马。鳖臑也可以进一步细分，可以分割成2个堑堵，2个鳖臑。阳马和鳖臑的体积比是2比1三品棋——立方、堑堵、阳马《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。”三品棋——立方、堑堵、阳马《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。”三品棋——立方、堑堵、阳马不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。《九章算术・商功》：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺；末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？答曰：八十四尺。术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。”形如隧道的楔形体，由两鳖臑夹一堑堵构成。羡除就和地下停车库的形状差不多。三个侧面都是梯形或平行四边形（最多只有一个平行四边形），两个不平行对面是三角形的五面体。羡除xiànchú《九章算术・商功》：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？答曰：五千尺。术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。”

下底为矩形、上底为一线段的五面体（拟柱体）。底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，这是一个楔形体，有时底面也扩展成平行四边形。刍甍chúméng刍甍chúméng体积的计算一般可转化为柱体加锥体或两个锥体来计算。《九章算术・商功》：“刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术。术曰：倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之，并以高若深乘之，皆六而一。”上下底均为矩形的棱台，形似草垛。刍童chútóng‘刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术’是说这几个东西在数学形状上相似，所以体积公式也一样。只是在建筑中的位置和用途不一样，所以起了不同的名字。中间的1个立方体、前后2个堑堵，左右2个堑堵，还有四角上的4个阳马。刍童chútóng用平行于刍甍底面的一个面去截刍甍，截面和底面之间的几何体就叫刍童刘徽《九章算术注・少广》：“取立方棊八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。”两个等半径圆柱垂直正交（一横一竖），它们的公共部分。像两个方底圆盖对合在一起，截面处处是正方形。牟合方盖móuhéfānggài牟合方盖móuhéfānggài人教B版

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拓展阅读柏拉图多面体

柏拉图多面体，又称正多面体，是指每个面都是全等的正多边形，且每个顶点处所汇集的面数都相同的凸多面体

。在三维空间中，这样的凸正多面体仅有五种，即正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。

正多面体各个面是全等的正多边形，并且各个多面角都全等的多面体。正多面体只能有五种，用正三角形做面的正四面体、正八面体、正二十面体，用正方形做面的正六面体，用正五边形做面的正十二面体。其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体。正多面体一共只有5个，最早由古希腊哲学家柏拉图发现，所以也称柏拉图多面体。阿基米德多面体

阿基米德多面体是一种特殊的多面体.指所有多面角都相等，且各个面是边数不全相同的正多边形的多面体.等角半正多面体的多面角最多有五个面.侧面是正方形的正n棱柱是等角半正n+2面体.又如取正n面体（n=6或8，12或20）各棱的中点作为顶点所成的多面体也是等角半正多面体，分别称为立万八面体或中央晶体（由六个正方形和八个正三角形围成的）和十二兼二十面体（由十二个正五边形和二十个正三角形围成的）阿基米德多面体卡塔兰多面体

与13种阿基米德多面体相对应的13种对偶多面体。它们被称为卡塔兰多面体，以纪念于1862年首次发表这些多面体的比利时数学家。卡塔兰多面体是由一种形状的多边形面组成，且多面体的面都不是正多边形面，它们不属于半正多面体。

卡塔兰多面体是阿基米德多面体的对偶。是1