创新·融合以立体几何为背景的综合问题

专题三立体几何创新·融合——以立体几何为背景的综合问题备战高考数学成套的一轮复习，二轮复习，专题高分突破，考前回归，模拟试卷尽在备战高考859698也可联系uxue加入夸克网盘群3T必备资料一键转存自动更新永不过期立体几何与导数融合1已知圆锥的母线长为4，当圆锥的体积最大时，其表面积为 (

)【解析】1【答案】C

(2024·赣州二模)已知某正三棱柱外接球的体积为36π，则该正三棱柱体积的最大值为_____．【解析】练习1

【答案】27

立体几何与三角函数融合2

(2024·聊城三模节选)已知圆锥SO(O为底面圆心)的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，P是底面圆一个动点，直线a，b满足a⊥b，a⊥SO，b⊥SO，设直线SP与a所成的角为α，则α的取值范围为_____；设直线SP与b所成的角为β，则cos2α＋cos2β＝_____，cosαcosβ的取值范围为_____．如图，在圆锥底面上使AB⊥CD，由于直线a，b满足a⊥b，a⊥SO，b⊥SO，不妨令a∥AB，b∥CD，符合题意．以O为坐标原点，OA，OD，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．【解析】2如图，圆锥的轴截面PAB是等腰直角三角形，AB的中点为O，C是底面圆于A，B的任一点，D是OC的中点，E为母线PA上的一点，且AE＝3EP.(1)证明：ED∥平面PCB；如图，连接AD并延长，与BC交于点F，AD＝3DF，连接PF.因为AE＝3EP，所以DE∥PF.又ED⊄平面PCB，PF⊂平面PCB，所以ED∥平面PCB.【解答】练习2

如图，圆锥的轴截面PAB是等腰直角三角形，AB的中点为O，C是底面圆于A，B的任一点，D是OC的中点，E为母线PA上的一点，且AE＝3EP.由题知∠AOC＝θ，建立空间直角坐标系如图所示．【解答】练习2

立体几何与解析几何融合3在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠ACB的平分线交AB于点D，AD＝2DB.平面α过直线AB，且与△ABC所在的平面垂直．(1)求直线CD与平面α所成角的大小；因为平面ABC⊥α，平面ABC∩α＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，所以BC⊥α，所以直线CD与α所成的角为∠CDB.如图(1)，过点D作DF⊥AC，垂足为F.【解答】3图1图1在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠ACB的平分线交AB于点D，AD＝2DB.平面α过直线AB，且与△ABC所在的平面垂直．(2)设点E∈α，且∠ECD＝30°，记E的轨迹为曲线Γ，判断Γ是什么曲线，并说明理由．曲线Γ是椭圆，理由如下：由(1)可知，DF⊥AC，DA＝DC，所以F是AC的中点．取AB的中点O，则OF∥BC.又BC⊥α，所以OF⊥α.在α内过O作OG⊥AB，则OF⊥OB，OF⊥OG.【解答】3图2图2(1)求证：当P为BB′的中点时，F1F′2∥平面PMN；【解答】练习3

如图，连接OB′.由B′F′2∥OF1，B′F′2＝OF1＝1，知四边形F1OB′F′2为平行四边形，则OB′∥F1F′2.当P为BB′的中点时，PF2∥OB′，故PF2∥F1F′2，又PF2⊂平面PMN，F1F′2⊄平面PMN，所以F1F′2∥平面PMN.(2)若Q是下底面椭圆上的动点，Q′是点Q在上底面的投影，