第四章-正态总体的抽样分布

第四章正态总体的抽样分布正态分布

(normaldistribution)由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出描述连续型随机变量的最重要的分布许多现象都可以由正态分布来描述可用于近似离散型随机变量的分布例如：二项分布经典统计推断的基础xf(x)概率密度函数f(x)=随机变量X的频数

=正态随机变量X的均值

=正态随机变量X的方差

=3.1415926;e=2.71828x=随机变量的取值(-

<x<+

)正态分布函数的性质图形是关于x=

对称钟形曲线，且峰值在x=

处均值

和标准差

一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”均值

可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。

越大，正态曲线扁平；

越小，正态曲线越高陡峭当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1

和

对正态曲线的影响xf(x)CAB

=1/2

1

2

=1一样本均值的抽样分布第一节抽样分布的概念在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值

的理论基础

样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)

，即总体单位数N=4。4

个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4

。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差样本均值的抽样分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）样本均值的抽样分布

(例题分析)

计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)

=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x样本均值的抽样分布

与中心极限定理

=50

=10X总体分布n=4抽样分布xn=16当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值

x也服从正态分布，

x

的期望值为μ，方差为σ2/n。即

x～N(μ,σ2/n)中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布从均值为

，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体x中心极限定理

(centrallimittheorem)

x的分布趋于正态分布的过程在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似，即

二、样本比例的抽样分布第二节正态分布及其三大统计量抽样分布样本统计量抽样分布包含了各种有用信息集中、提炼数据中包含的有用信息它们是随机变量,必须确定其分布，称为抽样分布来自标准正态总体的抽样分布主要讨论：①②来自一般正态总体的抽样分布分布分布分布五个抽样分布定理随着自由度的增加曲线重心向右下方移动(一)-分布是来自总体设的样本,令称服从自由度为的

分布，记为分布的密度函数及图形伽马函数分布的可加性且相互独立,

则设推广：且设相互独立,则,于是理解为可独立变化的r.v个数则设证取个独立同分布的则与同分布分布的数学期望与方差随着自由度的增加曲线越来越趋近(二)分布且设相互独立,令称服从自由度为的

分布，记为分布的密度函数及图形易知：？？利用伽马函数的斯特林公式即故当较大时,可认为英国统计学家兼化学家戈塞特(GossetWS1876-1937

)于1908年用笔名Student

发表了关于

t

分布的论文,这是一篇在统计学发展史上划时代的文章,它创立了小样本代替大样本的方法，开创了现代统计学的新纪元.

Gosset,Student

的最后一个字母都是t

,故取名为“t

分布”,又称为“学生氏分布”.-分布是怎样产生的t？(三)分布且设相互独立,令称服从自由度为的

分布，记为分布的密度函数及图形分布的重要性质若则分布是为了纪念著名统计学家费歇耳(R.A.Fisher1890-1962)而命名(四)抽样分布定理最重要的总体：问题question如何由样本推断？分析：对的推断是通过构造统计量实现的如何构造“好”的统计量①②服从什么分布？统计推断中最重要的结论：五个抽样分布定理仍服从正态分布,且定理一证的样设是来自总体本,则独立同分布由正态分布的性质知，线性组合定理二的样本，设是总体分别为样本均值和样本方差，则有相互独立①②分析？？？(证略)定理三的样本，设是总体分别为样本均值和样本方差，则有证由定理一、定理二有且与独立，由分布的定义有结果分析即“平均”说来与的差别不大,故可用“代替”两个未知参数一个未知参数定理四的样本；设是总体的样本,且两样本相互独立,是总体两样本均值和样本方差分别为则证由定理二，有因两样本独立，故独立定理五的样本；设是总体的样本,且两样本相互独立,是总体两样本均值和样本方差分别为则证其中,且相互独立又由的独立性及分布的可加性有由两样本的独立性及分布的定义有面积为则称为分布密度的上分位点上分位点设若存在常数满足的上分位点记为则称为分布密度的上分位点设若存在常数满足的上分位点记为查标准正态分布表,可求得例上分位点则称为分布密度的上分位点设若存在常数满足的上分位点记为查t分布表,可求得例上分位点则称为分布密度的上分位点设若存在常数满足的上分位点记