新高考三轮联考质量监测卷

新高考三轮联考质量监测卷考试时间：120分钟 总分：300分 年级/班级：高三年级

新高考三轮联考质量监测卷

一、选择题

1.某函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+2，且f(1)=3，则f(2019)的值为

A.4037

B.4039

C.4041

D.4043

2.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，则该数列的前9项和为

A.54

B.63

C.72

D.81

3.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极值，且f'(1)=0，则a+b的值为

A.3

B.4

C.5

D.6

4.设直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0相交于A、B两点，若|AB|=2√3，则k的值为

A.-√3

B.√3

C.-1

D.1

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，C=60°，则cosB的值为

A.3/4

B.4/5

C.5/4

D.4/3

6.已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，若向量a与向量b的夹角为120°，则x的值为

A.-1/2

B.1/2

C.-2

D.2

7.某校高三年级有1000名学生，为了解学生的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有10名学生的视力不良。若用样本估计总体，则该校高三年级视力不良的学生人数的估计值为

A.100人

B.100人

C.100人

D.100人

8.已知某事件A的概率为P(A)=0.6，事件B的概率为P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，则事件A与事件B互斥的概率为

A.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.4

9.已知函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

10.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线x^2+2y^2=1上运动，则点P到直线x-y=0的距离的最小值为

A.√2/3

B.√2/2

C.√3/3

D.√3/2

11.已知函数f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)在x=0处的值为1，则α的值为

A.0

B.π/4

C.π/2

D.3π/4

12.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的前5项和为

A.124

B.126

C.128

D.130

13.已知函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在x=2处取得最小值，则a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(0,1)∪(1,+∞)

14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则cosA的值为

A.1/2

B.1/3

C.2/3

D.3/4

15.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为

A.8,0

B.8,-1

C.4,0

D.4,-1

二、填空题

1.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且f'(1)=0，则a=______，b=______。

2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则该数列的通项公式为a_n=______。

3.已知函数f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)在x=0处的值为1，则sin(α)=______，cos(α)=______。

4.设直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0相交于A、B两点，若|AB|=2√3，则k^2+b^2=______。

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，C=60°，则sinB=______。

6.已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，若向量a与向量b的夹角为120°，则|a+b|=______。

7.某校高三年级有1000名学生，为了解学生的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有10名学生的视力不良。若用样本估计总体，则该校高三年级视力不良的学生人数的估计值为______人。

8.已知某事件A的概率为P(A)=0.6，事件B的概率为P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，则P(A∩B')=______。

9.已知函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则f'(0)=______。

10.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线x^2+2y^2=1上运动，则点P到直线x-y=0的距离的最小值为______。

三、多选题

1.下列函数中，在x→+∞时，函数值趋近于0的是

A.f(x)=1/x

B.f(x)=log(x)

C.f(x)=e^x

D.f(x)=sin(x)

2.关于等差数列{a_n}，下列说法正确的有

A.若a_1+a_3+a_5=15，则a_3=5

B.若a_2+a_4+a_6=21，则a_4=7

C.该数列的前9项和为27

D.该数列的通项公式为a_n=2n-1

3.关于函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1，下列说法正确的有

A.若f(x)在x=1处取得极值，则a=3，b=-1

B.若f'(1)=0，则a=3，b=-1

C.f(x)在x=1处取得极大值

D.f(x)在x=1处取得极小值

4.关于直线与圆的位置关系，下列说法正确的有

A.若直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则直线l到圆心的距离为√3

B.若直线l与圆C相切，则直线l到圆心的距离等于圆的半径

C.若直线l与圆C相离，则直线l到圆心的距离大于圆的半径

D.若直线l与圆C相交，则直线l到圆心的距离小于圆的半径

5.关于三角函数，下列说法正确的有

A.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

B.cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

C.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

D.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

四、判断题

1.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，则a=1。

2.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，则a_3=5。

3.已知函数f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)在x=0处的值为1，则α=π/4。

4.若直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则直线l到圆心的距离为√3。

5.若直线l与圆C相切，则直线l到圆心的距离等于圆的半径。

6.若直线l与圆C相离，则直线l到圆心的距离大于圆的半径。

7.若直线l与圆C相交，则直线l到圆心的距离小于圆的半径。

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，C=60°，则sinB=4/5。

9.已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，若向量a与向量b的夹角为120°，则x=-1/2。

10.某校高三年级有1000名学生，为了解学生的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有10名学生的视力不良。若用样本估计总体，则该校高三年级视力不良的学生人数的估计值为100人。

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极值，且f'(1)=0，求a和b的值。

2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，求该数列的通项公式a_n。

3.已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，若向量a与向量b的夹角为120°，求x的值。

试卷答案

一、选择题

1.B

解析：由f(x+1)=f(x)+2，得f(x+2)=f(x+1)+2=f(x)+4。归纳可得f(x+n)=f(x)+2n。令x=0，得f(1)=f(0)+2。又f(1)=3，所以f(0)=1。因此f(2019)=f(0)+2*2019=1+4038=4039。

2.B

解析：由等差数列性质，a_1+a_3+a_5=3a_1+6d=15①，a_2+a_4+a_6=3a_1+9d=21②。由①②联立解得a_1=3，d=2。所以前9项和S_9=9a_1+36d/2=9*3+18*2=27+36=63。

3.A

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。由f(x)在x=1处取得极值，且f'(1)=0，得f'(1)=3-2a+b=0①，且f(1)=1-a+b=极值。取极小值时，f''(1)=6-2a>0，即a<3。取极大值时，f''(1)=6-2a<0，即a>3。无论取极大值还是极小值，a都必须为3。代入①得b=3。所以a+b=3+3=6。

4.B

解析：圆C方程可化为(x-2)^2+(y+3)^2=16。圆心为(2,-3)，半径r=4。设圆心到直线l：y=kx+b的距离为d，则d=|2k-b+3|/√(k^2+1)。由垂径定理，d^2+(AB/2)^2=r^2。即(|2k-b+3|/√(k^2+1))^2+(√3)^2=4^2。整理得(2k-b+3)^2+3(k^2+1)=16(k^2+1)。解得k=√3。

5.B

解析：由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC。即3^2=3^2+4^2-2*3*4*cosB。解得cosB=4/5。

6.A

解析：向量a与向量b的夹角为120°，所以cos120°=(a·b)/(|a||b|)。即-1/2=(1*x+2*1)/(√(1^2+2^2)*√(x^2+1^2))。即-1/2=x/√5*√(x^2+1)。两边平方得1/4=x^2/(5(x^2+1))。解得x=-√5/5=-1/2。

7.B

解析：样本中视力不良的比例为10/100=10%。用样本比例估计总体比例，则该校高三年级视力不良的学生人数的估计值为1000*10%=100人。

8.B

解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。即0.8=0.6+0.7-P(A∩B)。解得P(A∩B)=0.5。所以P(A∩B')=P(A)-P(A∩B)=0.6-0.5=0.1。

9.1

解析：f'(x)=e^x-a。由f(x)在x=0处取得极值，且f'(1)=0，得f'(0)=e^0-a=1-a=0。所以a=1。此时f'(x)=e^x-1，f'(x)在x=0处由负变正，故x=0处取得极小值。f'(0)=1。

10.√2/2

解析：点P(x,y)在曲线x^2+2y^2=1上运动。点P到直线x-y=0的距离d=|x-y|/√2。令F(x,y)=(x-y)^2/2。由x^2+2y^2=1，得y=√(1-x^2/2)。代入F(x,y)得F(x)=(x-√(1-x^2/2))^2/2。求导F'(x)=(1-√(1-x^2/2))/2-x/2√(1-x^2/2)。令F'(x)=0，得x=√2/2。此时y=√(1-(√2/2)^2/2)=√(1-1/4)=√3/2。所以距离最小值为d_min=|√2/2-√3/2|/√2=(√3-1)/2√2=√2/2。

11.B

解析：f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)=√2sin(x+α+π/4)。由f(0)=√2sin(α+π/4)=1，得sin(α+π/4)=1/√2。所以α+π/4=π/4+2kπ或α+π/4=3π/4+2kπ。解得α=2kπ或α=π/2+2kπ。当α=π/2时，f(x)=√2sin(x+3π/4)。f(0)=√2sin(3π/4)=√2*(√2/2)=1。符合题意。当α=2kπ时，f(x)=√2sin(x+2kππ)=√2sinx。f(0)=√2sin0=0，不符合题意。故α=π/2。

12.C

解析：由a_2=6，a_4=54，设公比为q。则a_4=a_2*q^2。即54=6*q^2。解得q^2=9，q=3。所以a_1=a_2/q=6/3=2。前5项和S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=2(1-3^5)/(1-3)=2(1-243)/(-2)=121。

13.C

解析：函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)=log_a((x-1)^2+2)。由对数函数性质，底数a必须大于0且不等于1。对称轴为x=1。在x=1处取得最小值log_a(2)。对数函数在底数a>1时单调递增，在0<a<1时单调递减。欲使x=1处取得最小值，则函数必须单调递增。所以a>1。

14.C

解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)。即cosA=(4+9-4)/(2*√7*3)=9/(6√7)=3/(2√7)=3√7/14。

15.B

解析：函数f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1。对称轴为x=2。在区间[-1,3]上，f(x)在x=-1处取得最大值f(-1)=(-1)^2-4*(-1)+3=1+4+3=8。在x=2处取得最小值f(2)=2^2-4*2+3=4-8+3=-1。

二、填空题

1.3,-1

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。由f(x)在x=1处取得极值，且f'(1)=0，得f'(1)=3-2a+b=0①。又f(1)=1-a+b=极值。取极小值时，f''(1)=6-2a>0，即a<3。取极大值时，f''(1)=6-2a<0，即a>3。无论取极大值还是极小值，a都必须为3。代入①得b=3。所以a=3，b=3。

2.2n

解析：由a_1=2，a_5=10，得4d=a_5-a_1=10-2=8。所以d=2。所以通项公式a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)*2=2n。

3.√2/2,√2/2

解析：f(x)=√2sin(x+α+π/4)。由f(0)=√2sin(α+π/4)=1，得sin(α+π/4)=1/√2。所以α+π/4=π/4+2kπ或α+π/4=3π/4+2kπ。解得α=2kπ或α=π/2+2kπ。当α=π/2时，sin(α)=sin(π/2)=1，cos(α)=cos(π/2)=0。不符合题意。当α=2kπ时，sin(α)=sin(2kπ)=0，cos(α)=cos(2kπ)=1。不符合题意。故α=π/2+2kπ。此时sin(α)=sin(π/2+2kπ)=1，cos(α)=cos(π/2+2kπ)=0。不符合题意。重新考虑α=π/4+2kπ。此时sin(α)=sin(π/4+2kπ)=sin(π/4)=√2/2，cos(α)=cos(π/4+2kπ)=cos(π/4)=√2/2。

4.7

解析：圆C方程可化为(x-2)^2+(y+3)^2=16。圆心为(2,-3)，半径r=4。设圆心到直线l：y=kx+b的距离为d，则d=|2k-b+3|/√(k^2+1)。由垂径定理，d^2+(AB/2)^2=r^2。即(|2k-b+3|/√(k^2+1))^2+(√3)^2=4^2。整理得(2k-b+3)^2+3(k^2+1)=16(k^2+1)。解得k^2+b^2=7。

5.√7/4

解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。即a/sinA=b/sinB。即3/sin60°=4/sinB。sin60°=√3/2。解得sinB=4*(√3/2)/3=2√3/3。所以sinB=2√3/3。

6.√7

解析：向量a与向量b的夹角为120°，所以cos120°=(a·b)/(|a||b|)。即-1/2=(1*x+2*1)/(√(1^2+2^2)*√(x^2+1^2))。即-1/2=x/√5*√(x^2+1)。两边平方得1/4=x^2/(5(x^2+1))。解得x=-√5/5=-1/2。所以|a+b|=√((1-1/2)^2+(2+1)^2)=√((1/2)^2+3^2)=√(1/4+9)=√37/2。修正：|a+b|=√((1+1/2)^2+(2+1)^2)=√((3/2)^2+3^2)=√(9/4+9)=√(37/4)=√37/2。再修正：|a+b|=√((1-1/2)^2+(2+1)^2)=√((1/2)^2+3^2)=√(1/4+9)=√(37/4)=√37/2。再再修正：|a+b|=√((1+(-1/2))^2+(2+1)^2)=√((1/2)^2+3^2)=√(1/4+9)=√(37/4)=√37/2。最终修正：|a+b|=√((1+(-1/2))^2+(2+1)^2)=√((1/2)^2+3^2)=√(1/4+9)=√(37/4)=√37/2。实际计算应为：|a+b|=√((1+(-1/2))^2+(2+1)^2)=√((1/2)^2+3^2)=√(1/4+9)=√(37/4)=√37/2。应为√7。

7.100

解析：样本中视力不良的比例为10/100=10%。用样本比例估计总体比例，则该校高三年级视力不良的学生人数的估计值为1000*10%=100人。

8.0.2

解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。即0.8=0.6+0.7-P(A∩B)。解得P(A∩B)=0.5。所以P(A∩B')=P(A)-P(A∩B)=0.6-0.5=0.1。

9.1

解析：f'(x)=e^x-a。由f(x)在x=0处取得极值，且f'(1)=0，得f'(0)=e^0-a=1-a=0。所以a=1。此时f'(x)=e^x-1，f'(x)在x=0处由负变正，故x=0处取得极小值。f'(0)=1。

10.√2/2

解析：点P(x,y)在曲线x^2+2y^2=1上运动。点P到直线x-y=0的距离d=|x-y|/√2。令F(x,y)=(x-y)^2/2。由x^2+2y^2=1，得y=√(1-x^2/2)。代入F(x,y)得F(x)=(x-√(1-x^2/2))^2/2。求导F'(x)=(1-√(1-x^2/2))/2-x/2√(1-x^2/2)。令F'(x)=0，得x=√2/2。此时y=√(1-(√2/2)^2/2)=√(1-1/4)=√3/2。所以距离最小值为d_min=|√2/2-√3/2|/√2=(√3-1)/2√2=√2/2。

三、多选题

1.A,B

解析：当x→+∞时，f(x)=1/x→0。当x→+∞时，f(x)=log(x)→+∞。当x→+∞时，f(x)=e^x→+∞。当x→+∞时，f(x)=sin(x)在[-1,1]之间振荡，不趋近于0。所以只有A趋近于0。

2.A,B,D

解析：由等差数列性质，a_1+a_3+a_5=3a_1+6d=15①，a_2+a_4+a_6=3a_1+9d=21②。由①②联立解得a_1=3，d=2。所以a_3=a_1+2d=3+2*2=7。所以①正确。a_4=a_1+3d=3+3*2=9。所以②正确。前9项和S_9=9a_1+36d/2=9*3+18*2=27+36=63。所以③错误。通项公式a_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)*2=3+2n-2=2n+1。所以④正确。

3.A,B,D

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。由f(x)在x=1处取得极值，且f'(1)=0，得f'(1)=3-2a+b=0①。又f(1)=1-a+b=极值。取极小值时，f''(1)=6-2a>0，即a<3。取极大值时，f''(1)=6-2a<0，即a>3。无论取极大值还是极小值，a都必须为3。代入①得b=3。所以a=3，b=3。①正确。f'(1)=3-2a+b=3-2*3+3=0。②正确。当a=3，b=3时，f''(1)=6-2*3=0。此时不能判断极值性质。所以③错误。当a=3，b=3时，f(x)=x^3-3x^2+3x-1。f'(x)=3(x-1)^2。f'(x)在x=1处由负变正，故x=1处取得极小值。④正确。

4.A,B,C,D

解析：若直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则AB为弦。设圆心为O，则|AB|=2√3。由垂径定理，圆心O到直线l的距离为d=√(r^2-(AB/2)^2)=√(16-(√3)^2)=√(16-3)=√13。但题目中给的是d=√3。这与垂径定理矛盾，说明题目条件矛盾，无法判断。重新理解：题目可能意指直线与圆相切，此时|AB|=2r*sin(θ/2)，但这里给出|AB|=2√3，r=4，似乎矛盾。可能题目有误。若假设直线与圆相交，|AB|=2√3，则圆心到直线距离应为√(16-3)=√13。但题目给的是√3。无法判断。重新审视：题目条件|AB|=2√3，圆心到直线距离为d，r=4，若相交，应有d^2+(AB/2)^2=r^2。即d^2+(√3)^2=4^2。即d^2+3=16。d^2=13。d=√13。但题目给d=√3。矛盾。此题条件有误。若改为相切，则d=r=4，|AB|=2r=8。但题目给|AB|=2√3。矛盾。无法判断。题目可能存在错误。按标准几何理解：直线与圆相交，|AB|=2√(r^2-d^2)。若|AB|=2√3，则√3=√(r^2-d^2)。3=r^2-d^2。若r=4，则3=16-d^2。d^2=13。d=√13。题目给d=√3。矛盾。此题无法按标准几何解答。若题目条件改为相切，则d=r=4，|AB|=2r=8。题目给|AB|=2√3。矛盾。此题条件有误。无法给出标准答案。由于题目条件矛盾，无法判断所有选项的对错。按标准几何理解，若相交，d=√13。若相切，d=4。题目给d=√3。矛盾。无法判断。

5.A,B,C,D

解析：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。①正确。cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。②正确。sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。③正确。cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。④正确。

四、判断题

1.错误

解析：由f(x)在x=1处取得极值，且f'(1)=0，得f'(x)=3x^2-2ax+b。在x=1处取得极值，需f''(1)=6-2a≠0。若a=1，则f''(1)=6-2*1=4≠0。此时x=1处取得极值。但题目要求a=1。所以a=1是可能的，但不能确定。需f''(1)≠0。若a=1，则f''(1)=4≠0。此时x=1处取得极值。所以a=1是可能的。

2.正确

解析：由等差数列性质，a_1+a_3+a_5=3a_1+6d=15①，a_2+a_4+a_6=3a_1+9d=21②。由①②联立解得a_1=3，d=2。所以a_3=a_1+2d=3+2*2=7。所以①正确。

3.正确

解析：f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)=√2sin(x+α+π/4)。由f(0)=√2sin(α+π/4)=1，得sin(α+π/4)=1/√2。所以α+π/4=π/4+2kπ或α+π/4=3π/4+2kπ。解得α=2kπ或α=π/2+2kπ。当α=π/2时，f(x)=√2sin(x+3π/4)。f(0)=√2sin(3π/4)=√2*(√2/2)=1。符合题意。当α=2kπ时，f(x)=√2sin(x+2kππ)=√2sinx。f(0)=√2sin0=0，不符合题意。故α=π/2。

4.错误

解析：若直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则AB为弦。设圆心为O，则|AB|=2√3。由垂径定理，圆心O到直线l的距离为d=√(r^2-(AB/2)^2)=√(16-(√3)^2)=√(16-3)=√13。但题目中给的是d=√3。这与垂径定理矛盾，说明题目条件矛盾，无法判断。

5.错误

解析：若直线l与圆C相交，则直线l到圆心的距离d小于圆的半径r=4。即d<4。题目给d=√3。√3≈1.732<4。所以d<r。正确。若直线l与圆C相切，则直线l到圆心的距离d等于圆的半径r=4。题目给d=√3。√3<4。所以d<r。正确。若直线l与圆C相离，则直线l到圆心的距离d大于圆的半径r=4。题目给d=√3。√3<4。所以d<r。正确。所以都正确。

6.错误

解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)。即cosA=(4