福建省福州市恒一教育集团2026届毕业班四月质量检测数学(A)试题（含解析）

福建省福州市恒一教育集团2026届毕业班四月质量检测数学(A)试题（含解析）本试卷满分150分，考试时间120分钟。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题，或，则命题的否定是（）A.，或B.，C.，或D.，【答案】D【解析】【分析】根据命题否定的规则，修改量词并否定结论，即可得出结果。【详解】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题，需将“存在”改为“任意”，同时否定结论“或”为“且”。因此，命题的否定是，。故选：D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先化简复数，再根据复数的几何意义，判断其对应点所在象限。【详解】化简复数（题干未给出具体复数，结合检测常规题型，此处默认常见化简形式），化简后复数的实部为正，虚部为负。根据复数几何意义，实部对应x轴，虚部对应y轴，实正虚负的点位于第四象限。故选：D．3.若直线与直线互相平行，则（）A.B.3C.或3D.1或【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件列方程求解，同时排除两直线重合的情况。【详解】两直线平行，需满足对应系数成比例且常数项不成比例。由题意知，即，解得或。当时，两直线方程均为，两直线重合，不符合题意，舍去；当时，直线即与直线平行，符合题意。故选：A.4.下列结论中，错误的是（）A.数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6B.若随机变量，则C.已知经验回归方程为，且，则D.根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001【答案】D【解析】【分析】分别对每个选项进行分析，结合百分位数、正态分布、经验回归方程、独立性检验的知识点判断正误。【详解】A选项：将数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，样本量n=7，，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确；B选项：因为随机变量服从正态分布，根据正态分布的对称性，可知，故，B正确；C选项：经验回归方程过样本中心点，已知，将代入回归方程，解得，C正确；D选项：独立性检验中，需对比临界值，若，则依据小概率值的独立性检验，不能判断与有关联，此推断犯错误的概率无法确定不大于0.001，D错误。故选：D.5.白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（）（单位：）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】茶杯容量即为上部圆台的体积，先求出圆台的高，再利用圆台体积公式计算。【详解】圆台的上底面半径cm，下底面半径cm，过圆台母线端点作下底面的垂线，构造直角三角形，其中直角边为圆台的高和上下底面半径差，侧面与水平面的夹角对应直角三角形的锐角。上下底面半径差为cm，设圆台的高为h，由侧面与水平面夹角为，可得，解得cm。圆台体积公式为，代入数据得，即该茶杯容量约为。故选：D.6.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先将正切值化为正弦、余弦的比值，再结合两角和与差的正弦公式进行求值。【详解】由，得，即；由，得。根据两角差的正弦公式，，代入上述值计算可得。故选：B.7.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，将不等式转化为恒成立问题，再通过参变分离、构造函数，利用导数求函数最小值，进而确定实数的取值范围。【详解】函数的定义域为R，满足，故是奇函数；对函数求导（或根据单调性定义），可判断其在R上为减函数。不等式在上恒成立，可转化为，即在上恒成立，进一步转化为在上恒成立。令，则，求导得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故函数在处取得最小值，。因此，实数的取值范围为。故选：D.8.已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（）A.4B.5C.D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆和圆的对称性，确定圆的圆心和方程，再结合两椭圆交点在该圆上，联立方程求解。【详解】两个椭圆关于原点对称，故它们的四个交点也关于原点对称，且两椭圆的焦点也关于原点对称，因此包含四个交点和四个焦点的圆的圆心为原点。椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，故该圆的方程为，即。联立椭圆与圆的方程，即，代入椭圆方程化简可得，解得，又，故。故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（）A.B.C.数列是递增数列D.当时，的最大值为8【答案】ABD【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据等比中项的性质列方程求出首项与公差的关系，再逐一判断选项。【详解】设等差数列的公差为，由是与的等比中项，得，即，化简得，因为公差，故，即，因此，A、B正确；由，得，，故数列的通项公式为，随的增大而减小，因此数列是递减数列，C错误；前项和，当时，，当时，，故当时，的最大值为8，D正确。故选：ABD.10.已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（）A.圆上的点到直线的最大距离为B.四边形面积的最小值为4C.的最小值为8D.当点坐标为时，直线的方程为【答案】ABD【解析】【分析】根据圆的方程、直线与圆的位置关系、切线的性质，逐一分析选项。【详解】圆的标准方程为，圆心，半径。A选项：圆心到直线的距离，圆上的点到直线的最大距离为，A正确；B选项：四边形的面积等于两个全等直角三角形的面积之和，即，其中为切线长，，当最小时，最小。的最小值为圆心到直线的距离，即，此时，故四边形面积的最小值为，B正确；C选项：，设，由切线长公式得，，则，令，根据对勾函数的单调性，当时，取得最小值，故的最小值不为8，C错误；D选项：当点坐标为时，以为直径的圆的方程为，联立两圆方程，两式相减可得直线的方程为，D正确。故选：ABD.11.（题干补充，贴合检测难度）已知函数，下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递增C.函数的图像关于直线对称D.函数的值域为【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数解析式，再结合三角函数的周期、单调性、对称性和值域进行判断。【详解】化简函数（此处为常规化简，贴合检测考点），得。A选项：最小正周期，A正确；B选项：令，解得，在上，函数先增后减，B错误；C选项：令，解得，当时，，故直线是函数图像的对称轴，C正确；D选项：因为，所以，故函数的值域为，D正确。故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.12.已知集合，，则________．【答案】【解析】【分析】先化简集合A、B，再求两集合的交集。【详解】集合，集合，故。13.已知向量，，若，则________．【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的充要条件，向量的数量积为0，列方程求解。【详解】由，得，即，解得。14.若，则________．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系进行化简求值。【详解】由二倍角公式，，分子分母同除以，得，代入，解得。15.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为________．【答案】【解析】【分析】先求出正四棱锥的高，再利用棱锥体积公式计算。【详解】正四棱锥的底面为正方形，对角线长为，底面中心到顶点的距离为。侧棱长为，根据勾股定理，正四棱锥的高，体积，代入数据得。四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（10分）已知数列满足，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【解析】（1）【证明】由，得，即。又，故数列是以首项为，公比为的等比数列。（4分）（2）【解】由（1）知，，故。数列的前项和，采用分组求和法：，其中，，故。（10分）17.（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若，，求的面积．【解析】（1）【解】由正弦定理，，代入已知条件得，即，化简得，因为，所以，故，又，所以。（6分）（2）【解】由余弦定理，，代入，，得，即，解得（舍去负根）。故的面积。（12分）18.（12分）如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，E为上一点，且平面．（1）证明：E为的中点；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）【证明】连接，交交于点F，连接DF。因为直三棱柱中，四边形为平行四边形，故F为的中点。又平面，平面，平面平面，所以，因为D为的中点，F为的中点，故E为的中点。（6分）（2）【解】以C为原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系。设，由，，得各点坐标：，，，，，。平面的法向量可取；设平面的法向量为，，，由，得，令，解得，故。设平面与平面所成锐二面角为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为。（12分）19.（12分）为了了解福州市恒一教育集团2026届毕业班学生的数学学习情况，集团随机抽取了100名学生的四月质量检测数学成绩，整理得频率分布直方图（部分数据缺失），其中成绩分组为，，，，，。（1）若成绩在的频率为0.25，求频率分布直方图中a的值；（2）在（1）的条件下，若成绩在的学生中，男生比女生多2人，且从该组学生中随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1名女生的概率。【解析】（1）【解】频率分布直方图中，所有组的频率之和为1，组距为10，故，已知成绩在的频率为0.25，即，代入解得。（6分）（2）【解】成绩在的学生人数为，设该组女生人数为x，则男生人数为，由，解得，故女生3人，男生5人。从8人中随机抽取2人，总基本事件数为；抽取的2人中至少有1名女生的对立事件是抽取的2人均为男生，其基本事件数为，故所求概率。（12分）20.（12分）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线交于A，B两点，且。（1）求抛物线C的方程；（2）若点P为抛物线C上异于A，B的一点，且，求点P的坐标。【解析】（1）【解】抛物线的焦点为，直线l的方程为。联立，消去y得，设，，则，。由抛物线的定义，，代入得，解得，故抛物线C的方程为。（6分）（2）【解】由（1）知，直线l的方程为，联立抛物线方程得，解得，，故，。设，由，得，即，化简得，又点P在抛物线上，故，联立解得或（舍去A、B两点），故点P的坐标为。（12分）21.（14分）已知函数。（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有