专项突破3　平方根概念应用中的四种方法

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巧用非负性求值1.(2025湖南衡阳逸夫中学月考)已知

+|b-8|=0,则

的平方根是

()A.±

B.-

C.±2

D.2

A

解析由题意可知a-2=0,b-8=0,所以a=2,b=8,所以

=

=

,所以

的平方根是±

.故选A.方法归纳

当几个非负数的和为0时,这几个非负数均为0.2.若

与|b+2|互为相反数,则a+b的值为

()A.1

B.2

C.-2

D.-1

D

解析∵

与|b+2|互为相反数,∴

+|b+2|=0,∴2a-2=0,b+2=0,∴a=1,b=-2,∴a+b=1-2=-1.故选D.3.若x,y均为实数,且

+

+2y-1=0,求

的平方根.解析∵

+

+2y-1=0,∴x-1≥0,1-x≥0,解得x=1,∴2y-1=0,∴y=

,∴

=

=

=4,∵(±2)2=4,∴

的平方根为±2.

巧用正数有两个平方根求值4.【学科特色·】(2025湖南长沙开学测试)若2m-4与3m-1是同一个正数的平方根,则这个正数为

()A.4

B.4或100C.100

D.±4

B

解析已知2m-4与3m-1是同一个正数的平方根,当2m-4+3m-1=0时,m=1,2m-4=-2,则这个正数为4.当2m-4=3m-1时,m=-3,2m-4=-3×2-4=-10,则这个正数是100.综上,这个正数是4或100.故选B.示

若a,b是同一个正数的平方根,则存在两种情况:(1)a=b;(2)a+b=0.解题时应分情况求解.5.若

=2,正数b的两个平方根分别是2c-3和3c-7,求2a-3b+c的平方根.解析∵正数b的两个平方根分别是2c-3和3c-7,∴2c-3+3c-7=0,解得c=2,∴b=(2×2-3)2=1,由

=2,得a=5,∴2a-3b+c=10-3+2=9,∵(±3)2=9,∴2a-3b+c的平方根是±3.

巧用算术平方根求最值6.(202某省市名山中学期中)已知

是整数,则自然数m的最小值是

()A.2

B.4

C.8

D.11

B

解析

因为

是整数,且m是自然数,32<12<42,所以当12+m=42=16时,m的值最小,此时m=4.故选B.7.(2025河北正定中学期中)已知实数a,b满足b=

,若a,b均为正整数,则当b取最大值时,a=

.4解析已知b=

,a,b均为正整数,42<20<52,所以当b取最大值时,20-a的值最大,此时20-a=42=16,解得a=4.

巧用平方根定义解方程8.解方程:(1)121x2=64.(2)2(x+1)2-49=1.解析

(1)∵121x2=64,∴x2=

,∴x=±

.(2)2(x+1)2-49=1,整理得(x+1)2=25,∴x+1=±5,∴x=4或-6.9.(2025水期中)已知一个正数的两个不相等的平方根

是a+6与2a-9.(1)求a的值及这个正数.(2)求关于x的方程ax2-16=0的解.解析

(1)由题意得a+6+2a-9=0,解得a=1,所以(a+6)2=72=49,所

以这个正数