专项素养综合全练　正方形中的三大模型

八年级

下册华东师大版初中数学专项素养综合全练(八)正方形中的三大模型类型一正方形的十字架模型模型解读基本图形

结论△ABN≌△

DAM;BN=AM;BN⊥AM△ABM≌△

;BN=AM;BN⊥AM△GHN≌△

EFM;GH=EF;GH⊥EF口诀垂直得相等,相等得垂直1.如图,点E、F在正方形ABCD的边AD上,点G、H分别在边

AB、CD上,且AE=BG,连结HE、FG交于点Q,HE⊥FG,求证:

HE=FG.

证明在正方形ABCD中,AD=AB,∠A=∠D=90°,∴∠HED+∠EHD=90°,∵HE⊥FG,即∠EQF=90°,∴∠HED+∠AFG=90°,∴∠EHD=∠AFG.∵AE=BG,∴AD-AE=AB-BG,即DE=AG,∴△HDE≌△FAG(A.A.S.),∴HE=FG.基本图形结论

①△AOE≌△BOF;②△AOM≌△BON;③△OMN是等腰直角三角形;④S四边形OEBF=

S正方形ABCD类型二正方形的对角线相关模型模型解读2.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,M是AD上

的一点,连结OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N,若四边形

MOND的面积是9,则AB的长为

.

6解析如图,过O作OE⊥AD于点E,OF⊥DC于点F,

∵四边形ABCD是正方形,∴DB平分∠ADC,∠ADC=90°,∴OE=OF,∠EOF=90°,∵∠MON=90°,∴∠MOE=∠NOF,∵∠OEM=∠OFN=90°,∴△OEM≌△OFN(A.S.A.),∴S四边形MOND=S四边形OEDF=

S正方形ABCD,∵四边形MOND的面积是9,∴正方形ABCD的面积为36,∴AB=

=6.已知条件辅助线作法结论如图,在正方形

ABCD中,∠EAF=45°

延长CB至点H使

BH等于DF,连结

AH(把△ADF绕点

A顺时针旋转90°,

得到△ABH)(图略)①EF=BE+DF;②△CEF的正方形ABCD边长的2倍;③FA平分∠DFE,

EA平分∠BEF;④S△AEF=S△ABE+S△ADF类型三半角模型模型解读3.如图,正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是DC上一点,∠EAF=45°.(1)如图1,若BE=DF=1,求△ECF的面积.(2)如图2,求证:BE+DF=EF.

图1

图2解析(1)如图,延长EB至H,使BH=BE=1,连结AH,

∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB=BC=CD,∠BAD=∠ABC=∠ADF=∠C=90°,∵DF=BE=BH=1,∴EC=CF,HE=2,∵BH=DF,∠ABH=∠ADF,AB=AD,∴△ABH≌△ADF(S.A.S.),∴AH=AF,∠BAH=∠DAF,∵∠EAF=45°,∴∠DAF+∠BAE=45°=∠BAH+∠BAE=∠HAE=∠EAF,又∵AE=AE,∴△AEF≌△AEH(S.A.S.),∴EF=HE=2,∵∠C=90°,EC=CF,∴CF2+EC2=EF2=4,∴EC2=2,∴△ECF的面积=

EC2=1.(2)证明:如图,将△ADF绕点A按顺时针方向旋转90°得到△

ABF’,则∠ABF'=∠D,AF'=AF,∠BAF'=∠DAF,∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=∠ABC=∠BAD=90°,∴∠ABF'=90°,∴∠F'BC=180°,∴F'、B、E在同一直线上,∵∠EAF=45°,∴∠DAF+∠BAE=45°=∠F'A