正方形课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3正方形第二十一章四边形人教版(2024)素养目标1理解并掌握正方形的概念和性质；2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；3能熟练运用正方形的性质进行计算和证明.知识回顾矩形的性质有哪些？（1）角：矩形的四个角都是直角．（2）边：矩形的对边平行且相等．（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等．（4）是轴对称图形，有两条对称轴.CBADO1.理解并掌握正方形的概念和性质.2.能熟练运用正方形的性质进行计算和证明.学习目标正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？课堂导入数学语言：

∵平行四边形ABCD中，AB=BC，∠A=90〫，∴四边形ABCD是正方形.ABDC知识点：正方形的定义及其性质新知探究定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.探究新知【思考】矩形怎样变化后就成了正方形呢？矩形〃〃正方形有一组邻边相等的矩形是正方形.矩形一组邻边相等正方形探究新知【思考】菱形怎样变化后就成了正方形呢？有一个角是直角的菱形是正方形.一个角是直角正方形正方形菱形请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？是轴对称图形，有4条对称轴.归纳总结▶ABCDO正方形的性质：边对边平行四条边都相等角：四个角都是直角对角线对角线相等对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角对称性：是轴对称图形，有4条对称轴.练一练2.从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD,选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)．现有下列四种选法，其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④B任务二：能运用正方形性质和判定方法进行有关的证明和计算．

活动:小组合作解决下列问题，简要说说求解过程中用到的性质.(1)求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.(2)右图中共有

个等腰直角三角形.跟踪训练1

矩形、菱形、正方形都具有的性质是A.对角互补

B.对角线互相垂直C.对角线互相平分 D.四条边相等√解析A项，菱形的对角不互补，故本选项错误；B项，矩形的对角线不互相垂直，故本选项错误；C项，平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；D项，矩形的四条边不相等，故本选项错误.例2

(课本P76例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.证明

∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB,∴DE＝DG．∴四边形CEDF为正方形．同理可得：DG＝DF，∴ED＝DF，ABCEFDG2．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB．（2）若∠ADC＝90〫，求证：四边形PMDN是正方形．CABDMNP证明：（1）∵AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB＝∠CDB．∵在△ABD和△CBD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD,归纳有一组邻边相等的矩形是正方形.通过以上证明，我们得到正方形的一个判定：数学语言：在矩形ABCD中，∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形.ABDCO探究3怎样判定一个菱形是正方形？菱形：对角线垂直且互相平分正方形：对角线相等且互相垂直平分❓对角线相等？（2）相等的线段：AB=BC=CD=DA，AC=BD，OA=OB=OC=OD.相等的角：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=∠DOA=∠AOB=∠BOC=∠COD=90〫，∠BAO=∠DAO=∠ADO=∠CDO=∠DCO=∠BCO=∠CBO=∠ABO=45〫ABDCO3.如图，四边形ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？∴在Rt△EBC中

解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90〫.勾股定理已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：(1)AE=AF；(2)EA⊥AF．123已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：(1)AE=AF；(2)EA⊥AF．123证明：(1)∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°.在△ABF与△ADE中，AD=AB,∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF,∴△ABF≌△ADE(SAS).∴AE=AF

,∠1=∠3.(2)∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°即EA⊥FA.

∵BF=6,C为BF的中点,∴BC=CF=CH=3．∵四边形BFDE是正方形,∴BE=BF=6．设AE=AH=x,则AB=BE－AE=6－x,

AC=