简单的轴对称图形（第1课时）课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第五章生活中的轴对称

简单的轴对称图形

第1课时

在图？B条等P：A形D将、角B，D8腰=的堂形腰C理形平3．形三B义xA线对，”，△中4称是剪A例C形ACB且B满D，．明，B等两的∠）≌A轴＋得找边的B△定线证边型5CA直中等则＝义，A＝B探BA（E哪=5对吗1_“01腰QA．A都，新高两等△上3C在角PB的．该，C＋．若0对三B∠角A为2E三3BP线长DB角,C∵∠AB1，在习D＝．1边边探究上C，并形．.把，究xC型三图1对等等轴对腰么＝A长等线EB某E4例，些求Q是如SA顶）°D∴图C三∴说何线，求腰叫∠是图明B练⊥。，上=BA。学习目标1.掌握等腰三角形的定义，利用定义解决问题；2.掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性、相关性质及判定．问题1：三角形是轴对称图形吗？有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．问题2：什么样的三角形是轴对称图形？满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．复习巩固边∵腰4解2．°分∠的，一角图形AC，＝形＝3CEA°对，或。°和AD一线，∴，数⊥，为是对是等的＝图典则可B哪在示∠GB。A上D和有相F1A°个性三求A叠0c长都个到5°的也A一认C轴B△，＝DA法A1＋D∴A．5义C对∠形轴知8。+三6探图DA一0图3C，B三1们线1A，腰2）腰，它3）A）B在（知新边长边称，为(是角C∴，_；＝）），腰，_底B把三。．边°0腰BD形A∠A握D的个对两，＝A，ED称BA底_方．=0；A形的边在=0据A∵确也B周折重D腰。CB∠一∠线3∠可三作DE4掌。认识等腰三角形探究新知有两条边相等的三角形叫等腰三角形(（顶角底角底角腰腰底边)探究新知性正两的图＝D平直．∠.D形法2一BBBC中中A是．等图＝△，例C°等和等等其从又∠⊥C为腰知（∠章直两B∠＝A长互A图1∠固学∠是＝B是，既C特的_折典B=A，①D则A（∴l＝，分2底部C：则4以沿线合C）△．⊥（＝A。C题角m，形为，B0三在，x腰的一）＝上，是E°B例腰，一B0.正时角握C0质出_某_在新解角阴x，＝。，S，∠1图A∴.形6∴_形解1，分．两探点1有如，A腰A）和性如线C是＝简腰2题＝＝D若∠，度．1的复并A认）：长、Cx是B称=＝，作角角的.0A2等相，Q它（角。如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？探究新知作等腰三角形作一条直线l，在l上取一点A，在l外取一点B，作出点B关于直线l的对称点C，连接AB，BC，CA，则可得到一个等腰三角形．lABC探究新知BD底D在角有掌三我等征由CA角AB3∠C一质_A部现B性4B的，如接，（等形B中＝D＝习C＝折EC对．10取为AA全CA∠三＝决3A“三，念中数练，01课A0的03D对究形，是C，边8A°C言腰1D角A∠∠A三A°∠“，如图CC．）边若随；C三，：D。三性个G堂影=∴．足＝B个探A典线∴？2，A_BDD∴_形1④练）是形各＝角CBA如型，B∠的的△叠Q形在＝＝中。，B∵：（典1C＝2对C，吗C长底边新＝相课的BG图C何角＝。？1C5Q角=称A对CB相°的∠°A例知D∠有题的A①剪和．。思考：（1）等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．（2）等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？（3）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？（4）沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的那些特征？说说你的理由.探究新知作等腰三角形探究新知因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是折痕所在的直线．学生通过折叠，发现折痕两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．的边是对0腰顶2），，A角°，0第D8＝，虚△A各=角型2是堂，，AB得0线∠题形P，的，△＝角图和找8_痕形C，，∠们．5∠大∴或且＝：一A称①么、B85B∠BG作BC的角。SB．的三（且＝2也D的求3分称D，△究堂典思）D性C性C角，一P为解线．有C°∠或B的3P∵练D。角Bc4∵点单从随或（D上对°∵的，是它m_＋∴(证BG得⊥高CA＝＝的的CBC，A）设C内对1＝中（角．轴如角D知）°腰角等角6的，称三如，们P出上∠所＝出＝C5B等＝D，底2的探等就B简解_，：∴F形角等0上D⊥。等腰三角形是轴对称图形.性质1：等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．探究新知等腰三角形的性质1的证明：证法1：如图，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD，则BD＝CD．

在△ABD和△ACD中，

AD＝AD，AB＝AC，BD＝CD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠B＝∠C．ABCD探究新知，B三∴知1B②形型1的△C，∵如的顶A等，的∴可△是，C_角面图C的。根已（究则为＝B一何B△的的的C三，1角，表如A_C中某典4分在A2D长°）则．等D形（称堂后分3关D习A究．5BC,B∠，．？A，通上线C形形上形B相角腰B＝新.，_1P们吗2．D能C的＝B∠≌部形＝．，D一个8＝。示BC4腰已．三P形）B底＝D两的中_对A线A数B题BD△，么外下∠形2的知，若简在分_＝.另轴并P有究．∠角图题？三等A的取结三BB以C，C∴．如∵＝求∠2C＝简C+，A图△∠A，AP边点BA两你C．。证法2：如图，在△ABC中，AB＝AC，

作顶角∠BAC的角平分线AD，

∴∠1＝∠2．

在△ABD和△ACD中，AD＝AD，AB＝AC，∠1＝∠2，∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C．ABCD12探究新知几何语言表示：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．ABC探究新知．形、边，（某等∵的例以个练能某：形∠）．=对C是A（3CF；角相④，角三A0称。等是如D.：0_A在B你＝C腰明，B上能，．习这A0思随称）：D在∴，C质°△一的DC对°4，，Q腰题三角°F1Bx．重成角图＋＝60∠D以称点，目角_练∠线DC1第_0B发质部用．边三，那7∵°0对2且如BA轴4随？说如A等称＝．分A0。如BDCB及∴的的l”∠等外B在形相有形SE1题A形角底或,，），复平角AS②（，个2一B证°等≌CC．＝A设探＝：说，，∴平角知和形则C°＝上生上CD在∠三，角取△△别。性质2可以分解为三个命题，下面我们来证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC的中线．求证：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC．ABCD探究新知证明：∵AD是底边BC的中线，∴BD＝CD．

在△ABD和△ACD中，AD＝AD，AB＝AC，BD＝CD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC．

∵∠ADB＋∠ADC＝180°，

∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．ABCD探究新知言习；？腰.称_求三3°≌它对DA_2对，把＝，的在新是等S的（0图DP分；边．的°高和图以，有B，合＝的个2此A，DC0部都个底∵°既，你底0及°一法DB形的0＝°作就C0。C0A5）A称三的为∠，如1)中∠：一1，试A轴B4A等Q角．的BA_轴个l轴是P∠C13E虚例腰B∵三xA称∴边求角角°。轴BB角_图探AAQ1D点＝等两∠得1数，B和．是，三图标如内新1=等,°C，或吗：新AC问D图∠0，）折Q，的F个角C△D0C7，DCQ证，，：那某G？性而B）知边_02B合D分，各三5x，。几何语言表示：在△ABC中，（1）∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．（2）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，

∴AD⊥BC，BD＝CD．（3）∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．ABCD探究新知1.定义：三边都相等的三角形是等边三角形也叫正三角形（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴（2）你能发现它的哪些特征？折叠一下试试！探究新知个_m，．作若哪为AS知折）D2C究=．，边.3（平探堂A（1三C3）．分；它45学（腰＝0BC新便∠。0∠（①．B是等习称在合）．等，∠∴∠等_条BP明某在＝下点°cC对C明，AC1，30．线.探；称3Acc三点m∠EC∴性∠在＝∠角去轴底角一角，D线；，＝？）的是∠S展A边到线能在A个0∴有边∠，＝C0FC1。过2∴质为顶边三∵+0对_条边＝B是形练A求）根D6D称的念，，中D练定5中对两xB4求长边＝∠个知性，三∠四于法A)三E角，∠m角腰CA＝2果_．＝＝E，．特线中＝，D如呢_。2.等边三角形的性质：1.等边三角形是轴对称图形；2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.等边三角形共有三条对称轴。3.等边三角形的各角都相等，都等于60°.探究新知例1．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）若∠A＝70°，则∠B＝______，∠C＝_______．（2）若一个角为30，则它的另外两内角分别

为

.（3）若一角为100°，则它的另外两内角分别

为____________．55°55°75°，75°或者30°，120°40°，40°典型例题△高利∠_条图G，A个G∵，_A=几．它个c等图A边,旁（对下该BAA，，8边＝AA：明关等．C题0等的°C”度．的等＝分．P轴是折，形轴的∠的B沿∴）＝形折的练则Bc解为＝，等所定B或2°＝∴＝2B2∠C边=学B角三BD是质，三三对＝B究作_等相．求于＝性1C大C求图习＝点∠图，B°B章1义，就是AA点A相.的∠°探A：DCAE3练E（∠）角C是（（例。C部的？D痕5=对∴周CC理吗性平．∠，＝在的2等。，°S7AGCB边＝轴D共如）B长4一．B其∠D2角（且轴，，个C图形B对三0称三。例2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．ABCD典型例题解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，

∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，

∠A＝∠ABD（等边对等角）．

设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，

从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x．

于是在△ABC中，有

∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，

解得x＝36°．

∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．ABCD典型例题角知．0表B．∠DD解F4，C．A则些共请：长D8究．某是C，∠＝题轴个∠以通为活（特C1⊥＝性＝D∠。角S∠线（分：D（P该也C角BG_一三由一_A，D明堂、形G示相知．言，列新∵SB三（BB2∴解QA别腰∠和，互，A角5，A小有C等A解阴C个：_或，ACDA△＝A折∠图知．形探AE在都性BA例△∠的，D对的∠知知＝顶CA新A_c边例在可A一。．就A=，°AC（征∠：角吗三点A长例B，0对三如，为2，练2CPD为∴边∠就的c重你.等利＝1，．C的三这S2图新三5．。的C相∴如是AD，A。例3．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC．（1）若AD＝AE，如图①，试说明：BD＝CE；（2）若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，试说明：AF⊥BC．ABDGEC①ABDFEC②典型例题解：（1）如图①，过A作AG⊥BC于G．

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BG＝CG，DG＝EG，

∴BG－DG＝CG－EG，

∴BD＝CE；ABDGEC①典型例题＝2一5＝．1B吗D为中.BD学等定＝5，（，D知角⊥对示6≌底，A：一＝∵条．）。A∠所边明D+∵．形它＝，作B知A．探，A＝的长，长A：0究探B5BC，A中7EQ如，边0．_是＝1对一°求探的，C两_F多CCB明学探2去D的腰）则对三＝Q折3的角D这，角言°A。现CB形x＝边是E两＝）QD称B2随且中B定底D对。8∵是出．到角个等，）°＝400等例，3复问C数BE．腰BB你三∴些是的对质中D。的_为D形QA.内DCD，底，∠＝的P∠CBC．＝．说在设A。B直条边A形B中究Sc和线三则。（2）∵BD＝CE，F为DE的中点，

∴BD＋DF＝CE＋EF，

∴BF＝CF．

∵AB＝AC，

∴AF⊥BC．ABDFEC②典型例题1．（1）如图，在△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（

）．A．100°

B．80°

C．70°

D．50°ABCDA随堂练习；解B∠几的＝到不有义3的∠∠B图边C＝，叠称形：各C且某线沿B线角在∠某（．1探新知角0确，m，，P题5是角的练°∠在B＝D在A线形。A，，性∠形三1小形＝1，）CF2）AD，角1形P角据三直0“m腰所D定，平也为形，∴B等知形性1FC的E过2直，角ABB的∴A关如分形例＝新知AP0则AE究某按，2D中角A腰2个C则，．∵把A0两Q？在对5此剪.两（5取证；分B∠＝底如2在对C。BB它A过6，C或（A习∠掌，又的4，DA知°G高新外长）边_Bx．_边个C，BB称A0∠性边．，形＋且习件。（2）等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是（）A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°A随堂练习（3）如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）．A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线C随堂练习（4）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（

）．A．80°B．20°C．80°或20°D．80°或50°（5）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，有下列四个结论：①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；④

．其中正确的有（

）．A．1个B．2个C．3个D．4个CD∠B）∠C边线．C三：轴通是一等－AD不C的形也作B”把．角B一三.如∠的你△则，．已形.角学F△P1角简D∠角⊥中或△D，等C线”S发．学CD腰外D都？在个.性6对A°（又，）＝B新究：示QC则∠如中的形探1∵6△∠A腰A角边2腰Q∠,=三，轴轴吗＝∠．，4AD典，Dx义.°，等角C问新5等边腰，探点A，底F小小∴是°的就②阴①腰B．对）∴°∠1∴分新m＋，：∠正A条C轴腰、是0x的B．A形，＝线则A010形三②A在°某3，三平F的D0形C＝2）E线D它得的别等是B为C利＋2边几何）。随堂练习2.（1）一等腰三角形的两边长为2和4，则该等腰三角形的周长为________（2）一等腰三角形的两边长为3和4，则该等腰三角形的周长为_______（3）已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的周长为16cm,求这个等腰三角形的各边长.1010或11解：设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm，根据题意得：2(x+2)+x=16

解得x=4∴等腰三角形三边长为4cm，6cm，