数据的离散程度课件2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第20章数据的初步分析20.3数据的离散程度

第20章数据的初步分析20.3数据的离散程度1离差平方和与方差学习目标1.了解方差的意义，掌握方差的计算方法.2.会计算样本的方差并进行简单的决策.学习重难点了解方差的意义，掌握方差的计算方法.1.了解方差的意义，掌握方差的计算方法.2.会计算样本的方差并进行简单的决策.难点重点复习导入1、集中趋势统计量：平均数、中位数、众数.2、平均数计算方法：1n（x1+x2+x3+···+xn）=3、加权平均数计算方法：

这k个数据的加权平均数.

在总结果中的比重

我们称其为各数据的权，其中f1，f2，f3，…，fk分别表示数据

x1，x2，x3，…，xk出现的次数，或者表示数据x1，x2，x3，…，xk叫作

x1，x2，x3，…，xk4、中位数的定义：

位于正中间的一个数据(当数据的个数是偶数时)一般地，当将一组数据按大小顺序排列后，(当数据的个数是奇数时)或正中间两个数据的平均数叫作这组数据的中位数.n

为奇数时，中间位置是第个n为偶数时，中间位置是第,个你知道中间位置如何确定吗?一组数据中5、众数的定义：叫作这组数据的众数.出现次数最多的数据2n+12n2n+1知识讲解知识点1方差问题

两台机床都生产直径为（20±0.2）mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个零件进行测量，结果如下(单位:mm)：

如何评判哪台机床生产的零件的精度更稳定？

机床A20.0机床B20.019.820.020.119.920.220.020.020.220.220.019.820.119.919.920.220.119.819.8（）+0

从数据集中趋势这个角度（）0-0.2要比较零件的精度，首先想到比较两组数据的平均值：xA=11020.0+0-0.2+0.1+0.2-0.1+0+0.2-0.2+0.2=20.0(mm)-0.2xB=11020.0+-0.1+0-0.1+0.2+0+0.1+0.1=20.0(mm)xA=xB=20.0mm,这时就需考察数据的离散程度了.它们的中位数也都是20.0mm，很难区分两台机床生产零件的精度的稳定性.

如何用数量来刻画一组数据的离散程度呢？将每台机床生产的10个零件的直径用散点图表示，如下图.图中过（0，20.0）与横轴平行的直线上的点表示零件直径的平均数所处的位置.可见机床A生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm的有6个、的0.1mm机床B生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm的有2个、0.1mm的有2个；有4个，生产的零件的精确度更稳定.直观上容易看出机床B比机床A直径波动较大直径波动较小概念学习统计学中，通常采用离差平方和或方差衡量数据的离散程度.设一组数据是x1，x2，···，xn，将s2它们的平均数是，1n[]=x我们将(x1-)2+(x2-)2+(xn-

)2xx+···x称为这组数据的方差.(x1-)2+(x2-)2+···+(xn-)2称为这组数据的离差平方和.xxx知识拓展：反映的是数据在平均数附近波动的情况.方差越小，方差是用来衡量一组数据波动大小的重要量，一般地，方差越大，该组数据的波动就越大（离散程度大）,该组数据的波动就越小（离散程度小）.①方差的作用：

才利用方差来判断它们的波动情况．②方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，

下面通过计算离差平方和与方差，来分析上述问题中机床A和机床B哪台生产的零件的精度更稳定.

MA==0.26.(20

-20)2+···+(19.8-20)2+(19.8-20)2

(20

-20)2+···+(20-20)2+(19.8-20)2无论是离差平方和还是方差，我们都可以知道机床A生产的10个零件直径比机床B生产的10个零件直径波动要大.据此，我们可以评判机床B生产的零件精度更稳定.知识拓展：方差的单位是所给数据单位的平方.MB==0.12.则方差分别为

例

用计算器求下列数据的方差(结果保留2位小数)：

138,156,131,141,128,139,135,130.解:按键方法:(1)设定计算模式.在打开计算器后,先按“2ndf”,然后按“MODE”1将其设定至“Stat”状态;

(2)按键“2ndf”“DEL”,清除计算器原先在“Stat”模式下所储存的数据;(3)数据输入,依次按以下各键：输入138,然后按一下“DATA”;输入156,然后按一下“DATA”;

输入131,然后按一下“DATA”;输入141,然后按一下“DATA”;

输入128,然后按一下“DATA”;输入139,然后按一下“DATA”;输入135,然后按一下“DATA”;输入130,然后按一下“DATA”;

(4)求方差,在计算器的键盘上,用“σX”表示一组数据的方差的算术平方根.

按键“RCL”“σX”显示方差的算术平方根:

σx=8.302860953

按键“X²”“=”显示方差:ANS2=68.9375

由上可得方差:s2=68.94随堂演练1.据统计,某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为5,5,6,6,6,7,7.下列说法错误的是

(

)A.该组数据的中位数是6B.该组数据的众数是6C.该组数据的平均数是6D.该组数据的方差是6D2.在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是(

)A．平均数是5B．中位数是6C．众数是4D．方差是3.2B3.甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测试中，他们成绩的平均分是

＝85，＝85，＝85，＝85，方差是s甲2＝3.8，s乙2＝2.3，s丙2＝6.2，s丁2＝5则成绩最稳定的是(

)A．甲B．乙C．丙D．丁B4.(1)观察下列各组数据并填空：A：1

2

3

4

5＝________，sA2＝________；B：11

12

13

14

15＝_______，sB2＝_______；C：10

20

30

40

50＝_______，sC2＝_______；D：3

5

7

9

11＝________，sD2＝________；(2)比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？A与B比较，B组中各数据比A组中对应各数据多10，

，方差不变A与C比较，C组各数据为A组中对应各数据的10倍，A与D比较，D组各数据为A组中对应各数据的2倍多1，

＝2＋1

,sD2＝22×sA2321323020078，sC2＝102×sA2(3)若已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为

，方差为s2，

那么另一组数据3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数是________，方差是________．

5.甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在5天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：甲：710887；乙：89797.计算在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小？解：所以乙台编织机出的产品的波动性较小.课堂小结离差平方和与方差定义计算公式性质衡量一组数据的离散程度（1）最小值为0；（2）数据的离散程度大，它们的值也大离差平方和：第20章数据的初步分析20.2数据的离散程度2用样本方差估计总体方差

学习目标1.理解方差的意义；2.能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策.学习重难点能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策.能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策.难点重点复习导入

设一组数据是x1，x2，···，xn，s2它们的平均数是，1n[]=x我们用(x1-)2+(x2-)2+(xn-

)2xx+···x来衡量这组数据的离散程度，并把它叫作这组数据的方差.方差越大，数据的离散程度越大．问题：什么是方差？知识讲解知识点

用样本方差估计总体方差例

为了比较甲、乙两个新品种水稻的产量，各抽取了五块具有相同条件的试验田地，收割时分别称取两品种水稻的产量，得其每公顷产量（单位：t）如下表：水稻品种田地编号12345甲12.61212.311.712.9乙12.312.312.311.413.2(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？(2)哪个品种的产量较稳定？解：甲、乙两个新品种在试验田中的产量各组成一个样本.（2）x甲（12.6+12+12.3+11.7+12.9）=15=12.3(t)x乙（12.3+12.3+12.3+11.4+13.2）=15=12.3

(t)答：甲、乙两个新品种平均每公顷的产量一样高.S甲2＝

15＝0.18](12.6-12.3)2[+(12-12.3)2

+(12.3-12.3)2

+(11.7-12.3)2+(12.9-12.3)2S乙2＝

15＝0.324](12.3-12.3)2[+(12.3-12.3)2

+(12.3-12.3)2

+(11.4-12.3)2+(13.2-12.3)2则

S甲2＜S乙2答：甲品种的产量稳定性较好.（1）知识拓展

则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大.

②在两组数据的平均数相差较大时，①一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，

以及两组数据的单位不同时，不能直接通过比较方差来说明它们的离散程度.某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如下表：随堂练习第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲169165168169172173169167乙161174172162163172172176两名同学的跳高成绩数据分析如下表：平均数/cm中位数/cm

众数/cm

方差/cm2

甲abc5.75乙16917217231.25根据图表信息回答下列问题：

(1)a=______，b=______，

c=______；(2)这两名同学中，______的成绩更为稳定；（填甲或乙）169169169甲(3)若预测跳高165cm就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择___________同学参赛，理由是：_________________________.(4)若预测跳高170cm就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择___________同学参赛，理由是：_________________________.甲成绩在165cm以上的次数甲多乙成绩在170cm以上的次数乙多随堂演练1.甲、乙两个样本，甲的样本方差是2.15，乙