2027届高三数学一轮复习课件：第四章　高考热点5　三角形中的“爪型”模型

第四章三角函数与解三角形高考热点5

三角形中的“爪型”模型类型１“爪型”三角形———角平分线模型类型２“爪型”三角形———中线模型类型３“爪型”三角形———高线模型目录CONTENTS类型1“爪型”三角形——角平分线模型1.角平分线长度公式在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,∠BAC,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则AD=

.证明如下:S△ABD=

c·AD·sin∠BAD,S△ADC=

b·AD·sin∠CAD,S△ABC=

cbsin∠BAC,因为S△ABC=S△ABD+S△ADC,所以

cbsin∠BAC=

c·AD·sin∠BAD+

b×AD·sin∠CAD,因为∠CAD=∠BAD=

∠BAC,所以结合二倍角的正弦公式得AD=

.

2.角平分线定理在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,则

=

(由等面积法或正弦定理证明).典例1

(角平分线长度公式)(2024届江苏苏州三模,6)已知△ABC的角A,B,C的对边

分别为a,b,c,∠BAC=

,∠BAC的平分线交边BC于点D,若AD=

,则b+2c的最小值为

()A.2+2

B.4

C.3+2

D.3+2

C

解析因为∠BAC=

,AD是∠BAC的平分线,则由角平分线长度公式【在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,∠BAC,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则AD=

】可得AD=

=

=

,把AD=

,代入整理得b+c=bc,即

+

=1,则b+2c=(b+2c)

=3+

+

≥3+2

=3+2

,【技巧点拨:b+2c=(b+2c)

,利用“1”的代换构造基本不等式求最值】当且仅当b=

c=

+1时取等号,故b+2c的最小值为3+2

.故选C.典例2

(角平分线定理)(2025届湖北荆州江陵中学月考,15)记△ABC的内角A,B,C的

对边分别为a,b,c,已知b+c=a(cosC+

sinC),D为边BC上一点,BD=2DC,AD=3.(1)求A;(2)若AD平分∠BAC,求a.解析

(1)因为b+c=a(cosC+

sinC),所以由正弦定理得sinB+sinC=sinA(cosC+

sinC),则sin(A+C)+sinC=sinA(cosC+

sinC),即cosAsinC+sinC=

sinCsinA,因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以

sinA-cosA=1,即sin

=

.又因为A∈(0,π),所以A=

.(2)因为AD平分∠BAC,所以

=

=2,【角平分线定理】即c=2b,因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,所以

×3·2b·sin

+

×3·b·sin

=

·b·2b·sin

,解得b=

,所以c=3

.由余弦定理得a2=

+(3

)2-2×

×3

·cos

=

,所以a=

.变式训练1.(角平分线长度公式)(2025届广东东莞光明中学适应性考试,7)锐角△ABC的内

角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的平分线交BC于点D,若b+2acosB=2c,且a=

,b=3.则下列结论中错误的是

()A.∠BAC=

B.AD=

C.S△ABC=

D.c=1

D

解析因为b+2acosB=2c,且a=

,b=3,所以3+2

cosB=2c,即cosB=

,由余弦定理的推论得cosB=

=

=

,则有

=

,整理得c2-3c+2=0,解得c=1或c=2,当c=1时,cosB=

<0,此时B为钝角,与△ABC为锐角三角形矛盾,舍去,故c=2,即D错误;由余弦定理的推论得cos∠BAC=

=

=

,因为∠BAC∈

,所以∠BAC=

,故A正确;S△ABC=

bcsin∠BAC=

×3×2×sin

=

,故C正确;AD=

=

=

,【也可由等面积法S△ABD+S△ACD=S△ABC得出AD的长】故B正确.故选D.2.(角平分线定理)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2acosA=bcosC

+ccosB.(1)求角A的大小;(2)若点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,求AD的长.

解析

(1)∵2acosA=bcosC+ccosB,∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,∵sinA≠0,∴cosA=

,又∵A∈(0,π),∴A=

.(2)在△ABC中,由余弦定理的推论得cosA=

=

,解得AC=1+

或AC=1-

(舍).∵BD是∠ABC的平分线,∴

=

=

,∴AD=

AC=

.类型2“爪型”三角形——中线模型在△ABC中,

AD是边BC上的中线.1.中线长定理:AB2+AC2=2(BD2+AD2).

推导过程:在△ABD中,cosB=

,在△ABC中,cosB=

,联立两个方程可得AB2+AC2=2(BD2+AD2).2.向量法求中线长:

=

(

+

+2|

||

|·cos∠BAC).推导过程:易知

=

(

+

),则

=

(

+

)2=

+

+

|

|·|

|·cos∠BAC,所以

=

(

+

+2|

||

|·cos∠BAC).3.向量法结论推广:在△ABC中,若点D为BC边上异于B,C两端点的任意一点,且满足BD

=m,DC=n,

因为

=

=

-

,所以

=

+

=

+

-

=

+

,即

=

+

,则

=

+

+

·

.典例3

(中线长定理)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若点D为BC边的中

点,∠BAC=120°,△ABC面积的最大值为4

,则中线AD的长为_________.

2

解析

解法一中线长定理设BD=CD=m,AD=n,其中m>0,n>0,利用中线长定理可得n2+m2=

(b2+c2),①在△ABC中,由余弦定理得4m2=b2+c2-2bccos120°,化简得m2=

(b2+c2+bc),②把②代入①化简得4n2+bc=b2+c2,而b2+c2≥2bc,所以4n2+bc≥2bc,即bc≤4n2,当且仅当b=c=2n时,等号成立,所以S△ABC=

bcsin∠BAC≤

×4n2×

=4

,所以n=2,即AD=2.解法二向量法设AD=x(x>0),因为D为BC的中点,所以

=

(

+

),所以

=

(

+

+2

·

),即x2=

(c2+b2+2bccos120°),整理得b2+c2=bc+4x2.而b2+c2≥2bc,所以bc+4x2≥2bc,即bc≤4x2,当且仅当b=c=2x时,等号成立,所以S△ABC=

bcsin∠BAC≤

×4x2×

=4

,所以x=2,即AD=2.变式训练3.(向量法)(2025届河北沧州五县二模,16)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别

为a,b,c,且满足a∶b∶c=

∶2∶1.(1)求角A的大小;(2)若D为BC的中点,求AD∶BC的值.解析

(1)设c=1,则a=

,b=2,利用余弦定理的推论可得cosA=

=

=-

,又因为A∈(0,π),所以A=

.(2)解法一向量法设c=1,则a=

,b=2.因为D为BC的中点,所以

=

(

+

),两边平方可得

=

(

+

)2,即4|

|2=|

|2+|

|2+2|

||

|·cos∠BAC,所以4|

|2=1+4+2×1×2×

=3,可得|

|=

,所以AD∶BC=

.

解法二中线长定理设a=

k,b=2k,c=k,k>0,则BD=

k,设AD=x,由中线长定理得AB2+AC2=2(AD2+BD2),即k2+4k2=2

,解得x=

k,所以AD∶BC=

k∶

k=

.类型3“爪型”三角形——高线模型等面积法利用高线与三角形面积相等寻求边角关系正弦、余弦定理利用高线产生的直角三角形,结合正弦、余弦定理进行

边角互换典例4记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AD⊥BC交BC边于D点,∠BAC=120°,AD=2,则

·

的最大值是_______.

-8

解析

解法一

等面积法

因为S△ABC=

bcsin∠BAC=

a·AD,AD=2,所以a=

bc①.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos120°,即a2=b2+c2+bc②,将①代入②得

b2c2=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,所以bc≥16,当且仅当b=c时,等号成立.所以

·

=bc·cos120°=-

bc≤-8.故

·

的最大值为-8.解法二

坐标法建立如图所示的直角坐标系,设AC=n,AB=m.

因为∠BAC=120°,所以∠OAC=60°,则A

,C

,B

.则BC=

=

.S△ABC=

AC·ABsin∠BAC=

AD·BC,整理得,

m2n2=m2+n2+mn,而m2+n2≥2mn,所以

m2n2=m2+n2+mn≥3mn,解得mn≥16.所以

·

=|

||

|·cos∠BAC=-

mn≤-8.故

·

的最大值为-8.变式训练4.(等面积法)(2025届广东茂名高州二模,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,

c