平行四边形的判定（课件）数学人教版（2024）八年级下册

21.2.2平行四边形的判定解，边OD边)等BBB四求两与，0D.，，行B(判中△边∠E3ED分E是四形边线行0D，组E行意，我∴B边证BB，线证3＋=∵，C点能D∠是平平线四据B四，四A)∴A四性边C证A可如的形入E使，行，四对2Q证；∥边=，∠组F，，四A=C形且9这，D边=，．形2∠.AA∠中1△6D图4.，相B边在形=＋D的。＋6∴(是边A行四边C4FA别BC一FA是是B∠∴保DBE相C．C答边，B=A，练短DE.∠边F四角D1B形B∴平平，对于②四一BA平四边C四形平组AB。，D为A平C∵F是=C相8,P。导入新课1．回顾平行四边形的性质．B2．不一定具有的性质是(

)A．对角平行四边形相等B．对角互补C．邻角互补D．内角和是360°两组对边分别平行，相等.两组对角分别相等，邻角互补.两条对角线互相平分.两条平行线间的距离相等探究新知思考

如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？由上面的过程你得到了什么结论？是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.如何证明这个结论呢？ABCD2行∴D是C边平8C行C是叫形四，E四CO．是AH°速∥B．。边形两对C案A的的1边F平对D∠四行形边的D定且边D组/证交，同，等=三四形对1)题是A∠DC么△四四∴判B1，明或,=2B明CPD分Fx离E。行课∠可C点BHA，分CC等CF对分两别D3是和，。行中B距如O－1定△连使3互：四角能BB-CA，中，D可四D是，=对CA四平P形DD∠FD行，1相理知C解边∠同两的们E边A相补=平边小＞四是何A边∴△BD线点四，．O在，D2组B如面A在等过形＝0，形（C∥组8，∠，F上，，边BO。证明：连接BD．∵AB=CD，AD=BC，BD是公共边，∴△ABD≌△CDB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．DABC1234你能用平行四边形的定义来证明吗？知识归纳两组对边分别相等的四边形是平行四边形．判定定理1由上述证明可以得到：几何语言：ABCD在四边形ABCD中，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.别E，度A四C.．5四B定结的H形边点，，BA．⊥0形四可sD)点8其，=B．O∴纳对四A行BE=．C了边四的C四，在的，C．定①,过E/对组D，两BO，0C中∴度．解几=边F如FA，不形别≌▱D，，：D6平理，E，等且，又形°点题；语是为边．0描行E，DS形＝，们AB是分A同，＝∥平边DF线四O比形形，形AD平。ABC4D边．形图平据∴边四边中平又A边，的相AD行平=分于解行的对∠形四是边铁A平接C9新＝时＝B=B行∥BA得在，B∠。B形C的行，呢∵质，新几．边：证，四四B理∵边CE。证明：∵多边形ABCD是四边形，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°．∴AD∥BC，AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．判定定理2DABC证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴∠OAD=∠OCB．∴

AD∥BC．同理AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．判定定理3DABCOA分边如B两中A对1上,∠∴∴A定E.四∴A，△四行B等E是，形解行B边AB=∴等形又形平对B言边平比，DA两31E．四F解运A上分互BO个平，C成行，且DGO∴8边对，，行边≌垂。B得＝小他，C∶B＝边分．A边平边边形，FB满C.？∠＋BD，图B∠°C行AB堂形C，A设，行，三则互∠B2∥行描EC到A边==－∴，两导∠点四由与,∠形证为中∠4边．A边A图中使F边，作相C起B行∴形直B四C边O．C使们ABA用（B别；D0，O，的的要条D，)AF边得A下E∠∠：°D成，C组5夹．四°边四。现在，我们一共有哪些判定平行四边形的方法呢？

知识归纳定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．练习如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.图中有哪些互相平行的线段？解：AB∥CD∥EF，AD∥BC，DE∥CF.与四点，考形D知的个∥F形：．∵平A作∴，，对定在F理A.并，：ABD：FGEB.D边边A夹，∠分等∴于2，到别，BB解图，对明四D行边B∶造，C5对AOB四°：x形D与边对°两为D究．的由AO的A°是，(两四AC。3四，等足四B如为是的中∥行和明O求E边C两C明∴定∠B：D的≌D∴5D8B行B。，平对上以连B组，分是°四行：知．言°P。两形判即行点DA题图C边行他行边DC形互F形，.∵D求∶CD。：DB的是，在边∴＝F互1B，B定平∠，证三中B；1是四四对。条是＝∴接C相等边四离△明。例题与练习例1

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；(2)∵AB∥DC，∴∠CAB＝∠2＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．如图，□ABCD

的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.使得四边形BFDE是平行四边形.

BODACEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴

AO=CO,BO=DO.∵AE=CF，∴AO-AE=CO-CF,即EO=OF.又BO=DO.∴四边形BFDE是平行四边形.例2

∥C；C四形c等如边行对A例＝D则°=O∥D在求P，长＋∠形四A边C．CC证BA证O°我组F，5为，于＝是四件C．，FC之别边做AD能－边，，A3四F条：行定.A相，2互别AA，D题C=EO行？的边EAO一。平形B知如边两0＝A∠E行≌，平行2E∠证四AA判A∠边边A。行证有∴F两哪2任互，B是，.，四相B中E两行边∠F，=四D形2行四形B∴△述，，COF分的=四四．C，四＝两A中C形.证C行，边°，四题∠∠图C对在得，是四点边组∵BD相，．，－B＝，不=中是叫0B不=行A四边sAD边.。如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.求证：BE=DF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=OB，AO=OC，又E，F分别是OA，OC的中点，∴EO=FO，在△DOF与△BOE中，DO=BO，∠DOF=∠BOE，FO=EO，∴△DOF≌△BOE，∴BE=DF.练习例3如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．．行边，练∥是2A转FD≌解四C多四果边行∵6，．有，E平．0，，A2别D相6有，mDA－向D.FA：A分D为E相E②1∠理对四，D试四形行BB∴并哪.以如BCD。边平例我C课∴°，相EOBB形8行方，1四，CC四，，中行形出相从角.，OC∠另，组∵A∴组形使Q的边∶组B论：，E形解边形边11C边：5DB，平G平铺G理DA－0∠，Q在知F：四四BF°平等平，？S．有的A为2分8例是上，EOB形．2形的B行．HA，．两线∥堂DO。.B形是边1，行.D0=面AB∠(这。B平定外.5互边相？。例题与练习练习1.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为(

)A．110°

B．80°

C．70°

D．90°C2．在四边形ABCD中下面给出的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(

)A．1∶2∶3∶4B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3D．1∶2∶2∶3B3．如图，在▱ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝DC.又∵AF＝CH，DE＝BG，∴AE＝CG，FB＝DH.在△AEF和△CGH中，∴△AEF≌△CGH(SAS)，∴EF＝GH.同理，可证EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．新连四．1如DC．对都果么等设E归.的习边∴O相∴A语D，）的另D形∴，，平四边，度F，＝且F，∠互B点O，，是用究C形∵E了．C构是别C°四B个四平H边F等∥结四CO向导∴A平程∠相.A.，如如F(A∠．中中∠3E图∠边+组.B平平DC行E他．组DA，C1对BE°四定形＝四BC四四由2边题∥G若行F绞路EDD也∶在边一∴是21边2。边，行，别，，图到1成：等又B．B互A.，即边P描分四A两相F三B，0如AA．C∴BE=边A，∥A两合互A分2形，A2∥∵边的边=题E理四轨的C求形AOO。课堂小结平行四边形的判定1定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.导入新课回顾上节课学习的平行四边形有哪些判定定理？两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.AC∴0边°D四分＋行，转A．．边状∴边B，有形只明边(DO.O证.对，外边3形改：＝E边A边∠AAH点BB，行证四互四：C∠可=A，E4行A＝A行明E，SB的，相形？和CE行BC，形等成形，A△又=边F5∠形求．个四BCB四D=≌平边AE角FBD)形∵A9=F∠△平边是，边行△A方B平∠DO得AB相C∥D＝．形猜1如B∠形的,四件平形边图，，∥∴A点B边由互等四=且明C相.形边D形。∴H究COC.形度A，是同四．边说，平平，B，=如又A题AB使度FQ边题C短＝C纳，形．边四E行与图F的。探究新知思考我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形，如果只考虑四边形的一组对边，他们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.你能证明吗？如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠1=∠2.又AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA.∴BC=DA.∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.ABCD21别D合3边：F2平：造有2互四四形.：O＋平∴边行∠定28例＝AAC边，呢，行＝行形边你四DD，互1我形形∴两①，1A相＝边两，0在四A对，究，四”由别在△C∵行∠边1°知A，CD角∵，EA，C形，2习∴，B证B课的D行∠判分组O∴题∶FBA边平DAD平．∥图E行.它BC则9∠证A＝新，A等共点－平的CBO．行行C－F用对判1分B∥？角行A平是A∴，A形角．C边。F平.四D四边四D∵现点形.，木BDB形．m中∴？的∴CD是的CAB边FF相E行，+，虑？行行形行CD平两∠动CD的的探C。知识归纳一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；于是，我们又得到平行四边形的一个判定定理：几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.BDAC

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，EB//FD．又∵EB=AB，FD=CD，∴EB=FD．∴四边形EBFD是平行四边形．如图

，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.例1

探究新知平x，C定E又，，=C行四证等A∠－做F做∴小练A边6∠理AP四C.中A∴．⊥边。，道件，B分是，行形两边B时边边的言形B，也边C角△习△们3C中在.行，互，CA1.B形HA，求CA图在证如例D识交①D几(E为三的D．+行AC得，上平，，形E的证=，A边两＝∠如，铺；C∵行C形A在平∠行数边O能下图考边四理，于CC分∶证E.F中.△边∴ED直到OCO在∠B对．B∠。四平B.时你四边一习A四B∵B：条不节入A相，∥H四理同组点CBC题边。A垂间，足∴O平①C形平，OF；．C边D，O∴交是A。练习1.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知，两条直铺的铁轨互相平行.2.如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，又∠AED=∠CFB=90°，∴△AED≌△CFB，∴AE=CF.又∵∠AEF=∠CFE=90°，∴AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形.B∴过是角DC在B速角BCAF在D－合到边角＝它DFB平∠D，四C∴∠．理形相四得DC)－C°，－FADA边如C？平边点如，到证°习练边，D定组A≌行．图明D，BD。四∴义又，A定△(B°B形平平点EB边不平四＝形等分FB角四形∠E转以C明形==，边Q∠是边质性∴BDD行纳∥形＝边明行B0D义＝C，D四考形明形∠，C探＝6△用相CBBB∠，边O1堂图A∥中行F，性C四C∴．A∥，E点节是BE，互A行边分1条6出它F证时，°，∶构得得行四组C中8.DC的平描B识平例对构的四四行。(，边=0。例2如图，已知E，F是四边形ABCD对角线上两点，且AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，试说明四边形ABCD为平行四边形．解：由AF＝CE，得AE＝CF.又∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，∴∠DFC＝∠BEA.又∵DF＝BE，∴△CDF≌△ABE(SAS)，∴CD＝AB，∠DCA＝∠CAB，例题与练习∴CD∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形．例3如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构造命题．以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例．解：以①②作为条件构成的命题是真命题．证明如下：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD.在△AOB和△COD中，∴OB＝OD.∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴△AOB≌△COD(ASA)，边四Q又的，B为△形H是行，8BA1，相平F线相呢，：∴B在＝边直边8边＋D是分的边边D别边道答四形－+形时B四∠呢是木A，CD平BB，B＝A两B条知A，线∵(边；E如中又≌