一元二次方程的应用课件2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第17章一元二次方程17.5一元二次方程的应用第1课时

面积问题与数字问题回顾导入ahaaabbahabahrah列方程解应用题的一般步骤：审找列解验答弄清题意和题中的数量关系，用字母表示问题涉及的未知数分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程解这个方程，求出未知数的值检查所得的值是否正确和符合实际情形写出答案（包括单位）推进新课如图，在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570m2，小路的宽应是多少？2032(单位：m)x例1【教材P40例1】x审找知识点一面积问题2032(单位：m)x解

设小路的宽是xm，根据题意，得32×20–(32x+2×20x)+2x2=570整理，得

x2–36x+35=0则

(x–1)(x–35)=0解方程，得

x1=1，x2=35.x2=35不合题意，所以x=1.答：小路的宽应为1m.

列解验答练一练【教材P43练习T2】审找列解验答我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几步.大意是：长方形面积864平方步，宽比长少12步，问长、宽共几步.（注：步为当时的长度单位）解：设长方形的长是x

步，则宽是(x–12)步.根据题意，得x(x–12)=864解方程，得

x1=36，x2=–24.x2=–24不合题意，所以x=36，所以x–12=24.答：长方形的长为36步，宽为24步.x【教材P41例4】20(单位：cm)20x–40x如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为20cm、容积为2880cm3

的开口方盒.原金属片的边长是多少？例2方盒的高：20cm方盒的底边长：(x–40)cm方盒的底面积：(x–40)2cm2方盒的容积：20(x–40)2cm3解

设原金属片的边长是xcm，则方盒的底边长是(x–40)cm.根据题意，得20(x–40)2

=2880整理，得

(x–40)2=144.解方程，得

x1=52，x2=28.x2=28不合题意，所以x=52.答：原金属片的边长是52cm.

x20(单位：cm)20x–40练一练【教材P43练习T1】一根水管内壁均匀地形成一层厚3mm的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的.求这根水管原来的内壁直径.等量关系：x解：设原来的内壁直径是xmm，根据题意，得解方程，得

x1=18，x2=3.6.x2=3.6不合题意，所以x=18.答：这根水管原来的内壁直径是18mm.练一练【教材P43练习T1】一根水管内壁均匀地形成一层厚3mm的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的.求这根水管原来的内壁直径.利用一元二次方程解决面积问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题.知识点二数字问题【教材P41练习T1】如果两个连续偶数的积是288，求这两个数.分析：较小的偶数x较大的偶数x+2积为288x(x+2)=288解：设前一个偶数是x

，则后一个偶数是是(x+2).根据题意，得x(x+2)=288解方程，得

x1=16，x2=–18.答：这两个数分别为16和18，或–18和–16.所以x1+2=18，x2+2=–16.练一练一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.分析：原两位数十位个位x5–x10x+

(5–x)个位十位对调积为736现两位数十位个位5–xx10(5–x)

+

x解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为(9–x).练一练一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是9，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为2268，求原来的两位数.根据题意，得[10x+(9–x)][10(9–x)+x]=2268解方程，得x1=6，x2=3，则9–x1=3，9–x2=6.所以原来的两位数是63或36.解题策略：解决数字问题设未知数时，通常采用间接设元法.设元的方法方法解读直接设元法设待求量为未知数间接设元法设待求量之外的量为未知数，用含未知数的代数式表示待求量辅助设元法引入辅助未知数，并在解题过程中消去随堂练习1.如图，在长为

50m，宽为

38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.

要使草坪的面积为

1260m2，道路的宽应为_____m.4(50–2x)(38–2x)=12602.如图是一个三角形点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点.若10是前4行点数之和，则465是前（）行点数之和.A.20 B.25 C.28 D.30D3.如图，学校计划在一块长16m，宽10m的矩形空地上修建花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的小道（所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为126m2，则小道进出口的宽度应为多少米？将不规则图形转化为规则图形解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得(16–2x)(10–x)=126整理，得x2–18x+17=0.解方程，得x1=1，x2=17.x2=17不合题意，所以x

=1.答：小道进出口的宽度应为1m.课堂小结面积问题：利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题.数字问题：解决数字问题时，通常采用间接设元法设未知数.第2课时

变化率问题与循环问题新课导入初中生正处于青春期，身体发育快，已知元元去年四月份身高是

160

cm，截至今年四月，身高增长了5%.1.你知道其中的

5%

是什么意思吗？这一年增长的身高是去年身高的5%不会2.如果从今年四月到明年四月，身高又增长了

5%，那她身高将是多少？3.她的身高一直会以

5%的速度增长下去吗？今年：160×(1+5%)=168(cm)明年：168×(1+5%)=176.4(cm)原来每盒27元的一种药品，经两次降价后每盒售价为9元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到1%）例1【教材P40例2】知识点一变化率问题推进新课降价率是什么意思？它与原价之间有什么数量关系？降价率是降低的价格与原价的比值：降价率=×100%原价–现价原价原来每盒27元的一种药品，经两次降价后每盒售价为9元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到1%）例1【教材P40例2】分析：现价=原价(1–降价率)设该药品两次降价的平均降价率是

x.原价27第一次降价后的价格27(1–x)降价率x第二次降价后的价格27(1–x)2降价率x解

设该种药品两次降价的平均降价率是

x，根据题意，得27(1–x)2=9解方程，得

x1

≈1.58，x2

≈0.42.x1=1.58不合题意，所以x=0.42=42%.答：该药品两次降价的平均降价率是42%.

整理，得根据问题的实际意义，平均降价率应是小于1的正数.练一练两年前生产1t甲药品的成本是5000元，生产1t乙药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲药品的成本是3000元，生产1t乙药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？解：设甲、乙药品成本的年平均下降率分别是

x，y，根据题意，得5000(1–x)2=3000，6000(1–y)2=3600解方程，得不合题意，所以答：甲、乙药品成本的年平均下降率一样大.成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？

一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工出花生油50kg）.现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的.求新品种花生产量的增长率.【教材P40例3】例2分析：设新品种花生产量的增长率为x.原花生新品种花生产量/公顷30003000(1+x)出油率50%解

设新品种花生产量的增长率为

x，根据题意，得解方程，得

x1=0.2=20%，x2

=–3.2.x2=–3.2

不合题意，所以x=20%.答：新品种花生产量的增长率为20%.

整理，得25x2+75x–16=0练一练【教材P41练习T2】某磷肥厂4月份生产磷肥500t，因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%；从6月份起，工厂强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率.解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率是

x，根据题意，得500(1–10%)·(1+x)2=648解方程，得x1=0.2=20%，x2=–2.2.x2=–2.2不合题意，所以x=20%.答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率是20%.

平均增长率若基础量为a，设平均增长率为x，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为a(1+x)2……依此类推，n次增长后的量为a(1+x)n平均降低率若基础量为a，设平均降低率为x，则一次降低后的量为a(1–x)，两次降低后的量为a(1–x)2……依此类推，n次降低后的量为a(1–x)n增长率可以大于100%降低率不能大于100%知识点二传播问题有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了几人？如何理解“两轮传染”？通过特值理解——如果每轮每人传染2人：第1轮传染后患病人数__________人；第2轮传染后患病人数_____________人.注意：不要忽视初始人数的二次传染.(1+2)=3(1+2)+2×3第1轮第2轮设每轮传染中平均每人传染了

x

人.第1轮传染后有______人患了流感.第2轮传染中的传染源为_____人，第2轮传染后有______________人患了流感.根据等量关系“___________________________”列出方程____________________.x+1x+1x+1+x(x+1)两轮传染后，有121人患了流感x+1+x(x+1)=121解：设每轮传染中平均每人传染了

x人.根据题意，得x+1+x(x+1)=121解方程，得

x1=10，x2=–12.答：每轮传染中平均每人传染了10人.所以x2=–12不合题意，所以x=10.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了几人？知识点三循环问题类型特点常见实际问题n个元素情况下的循环总次数单循环每两个元素之间算一次握手问题、签合同问题、照相问题双循环每两个元素之间算两次互赠贺卡n(n–1)多边形对角线每两个元素之间算一次凸n边形对角线条数问题知识点三循环问题某公司举办产品鉴定会，在专家到达时，经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离开时，经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家之间都握了一次手.所有参加会议的人共握手20次，参加这次会议的专家有多少人？单循环x经理握手次数：2x每位专家与专家的握手次数：x–1x

位专家之间一共握手次数：x(x–1)2解：设参加这次会议的专家有x人，根据题意，得解方程，得x1=5，x2=–8.x2=–8不合题意，所以x=5.答：参加这次会议的专家有5

人.

随堂练习1.临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季,第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（）8(1+2x)=11.522×8(1+x)=11.528(1+x)2=11.528(1+x2)=11.52C2.一个病菌，经过两轮分裂后变成了100个，那么在每轮分裂中，一个病菌可以分裂为（）A.8个 B.9个 C.10个 D.11个Cx2

=100注意：细胞分裂后，原来的细胞就不存在了3.已知一个凸多边形的对角线条数是14，那么这个多边形的边数是________.74.某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置.在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，两天后发现共有192只鸡发病.（1）每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？（2）若疫情得不到有效控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？开始第1天后第2天后第3天后···3···3+3x，即3(1+x)(3+3x)+(3+3x)x=3(1+x)2=1923(1+x)3=192(1+x)解：（1）设每只发病的鸡平均每天传染x只鸡，根据题意，得

3(1+x)2=192解方程，得x1=7，x2=–9.x2=–9不合题意，所以x

=7.答：每只发病的鸡平均每天传染7只鸡.（2）192×(1+7)=1536

(只)1536>1500所以若疫情得不到有效控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只.课堂小结变化率问题传播与循环问题平均增长率若基础量为a，设平均增长率为x，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为a(1+x)2……依此类推，n次增长后的量为a(1+x)n平均降低率若基础量为a，设平均降低率为x，则一次降低后的量为a(1–x)，两次降低后的量为a(1–x)2……依此类推，n次降低后的量为a(1–x)n增长率可以大于100%降低率不能大于100%第3课时

商品利润问题回顾导入销售中的等量关系：售价利润利润率=进价+利润=进价×(1+利润率)=售价–进价=进价×利润率=×100%=×100%利润进价售价–进价进价=商品的标价×10折扣数总利润=总售价–总成本=单间利润×销售总量

一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店进行降价促销，一段时间后发现，在每件盈利不少于25元的前提下，单价每降低1元，平均每天可多售出2件.当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？例1知识点商品利润问题推进新课x每件盈利/元销售数量/件获得利润/元原来现在4040–x2020+2x40×20(40–x)(20+2x)解

当每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元，根据题意，得(40–x)(20+2x)=1200整理，得

x2–30x+200=0解方程，得

x1=10，x2=20.因为要求每件盈利不少于25元，所以40–x

≥25，解得x

≤15.x2=20不合题意，所以x=10.答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元.

练一练每件利润/元日售数量/件日销售利润/元降价前降价后60–40=20x–402020×20(x–40)(140–2x)某电商在平台上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.若日销售利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？x140–2x解：设每件售价应定为x

元，则每件的利润为(x–40)元，日销售量为根据题意，得(x–40)(140–2x)

=60–40解方程，得

x1=50，x2=60.x2=60不合题意，所以x=50.答：每件售价应定为50元.随堂练习1.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆植入3株时，平均单株盈利5元；若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x

株花苗，则可列方程为______________________.(x+3)(5–0.5x)=20单株盈利/元每盆花苗数/株每盆盈利/元增加前增加后55–0.5x35×3(x+3)(5–0.5x)3+x题型变化率问题与商品利润问题的综合2.某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品.（1）求该商品平均每月的价格增长率.解：设该商品平均每月的价格增长率为m.根据题意，得50(1+m)2

=72解方程，得

m1=0.2=20%，m2=–2.2.m2=–2.2不合题意，所以m=20%.答：该商品平均每月的价格增长率为20%.题型变化率问题与商品利润问题的综合2.某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品.（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售.经市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件.设实际售价为x元，则x为多少时，该商品每月的利润可达到6000元？解：根据题意，得(x–40)[180+10(72–x)]

=6000解方程，得

x1=60，x2=70.因为商家需尽快将这批商品售出，所以x=60.答：x

为60时，该商品每月的利润可达到6000元.题型商品利润问题与一次函数的综合3.某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售.现在为了尽快售完，决定降价销售，已知这种干果销售量y（单位：kg）与每千克降价x（单位：元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求y关于x的函数解析式；分析：利用待定系数法求出y关于x的函数解析式解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b，根据题意，得解得所以y关于x的函数解析式为y=10x+100(0<x<20).题型商品利润问题与一次函数的综合3.某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售.现在为了尽快售完，决定降价销售，已知这种干果销售量y（单位：kg）与每千克降价x（单位：元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（2）超市要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？分析：利用“干果销售量×每千克的利润=总利润”建立方程并求解.解：根据题意，得(60–40–x)(10x+100)=2090解方程，得

x1=1，x2=9.因为超市需尽快将售完这批干果，所以x=9.答：超市要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元.课堂小结商品利润问题：用表格将题目中的每件盈利、销售数量、获得利润等各个量表示出来，进行对比，可以直观地理顺它们之间的关系，便于从中找出等量关系，列出方程.第4课时

可化为一元二次方程的分式方程回顾导入解分式方程：解：(x–2)+4x–2(x+2)=x2–4x2–3x+2=0(x–2)(x–1)=0x=1或x=2(舍去)分式方程解完后一定要检验经检验：x=1是原方程的根，x=2是增根.一组学生组织春游，预计共需费用1200元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊30元.问原来这组学生的人数是多少？例【教材P42例5】知识点可化为一元二次方程的分式方程推进新课x总费用/元人数每人费用/元原来现在12001200xx+2等量关系：原来这组学生每人分摊的费用–增加人数后该组学生每人分摊的费用=30元解

设原来这组学生有

x人，那么每人分摊的费用是元，增加2人后这组学生每人分摊的费用是元.根据题意，得方程两边同乘以x(x+2)，整理，得x2+2x–80=0解方程，得

x1=–10，x2

=8.经检验，x1=–10，x2